方程的意義精選(九篇)

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第1篇：方程的意義范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；方程式

人教版五年級上冊P53 的《方程的意義》（以下簡稱方程）是對數(shù)學(xué)概念――方程的教學(xué)，但是如果把教學(xué)目標(biāo)僅僅定位于學(xué)生對方程概念的掌握――“教孩子怎么做，知道什么”，顯然是不夠的。如何在學(xué)生形成方程概念的過程中得到某些數(shù)學(xué)思想的浸潤――“引導(dǎo)孩子怎么想”，是筆者在教學(xué)設(shè)計中思考的重點，在教學(xué)實施中的著力點。筆者試圖讓學(xué)生通過“觀察、比較、操作、辨析”等活動體驗，感受到“分類、集合、建?！钡葦?shù)學(xué)思想，讓學(xué)生獲得“思想”的浸潤，使《方程的意義》成為一堂有“思想”的課。

一、在方程的產(chǎn)生過程中滲透建模思想

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段?，F(xiàn)在我們來分析方程的數(shù)學(xué)建模過程是怎么樣的？我們來看人教版關(guān)于方程的意義的教材：

教材是利用天平的兩種基本狀態(tài)平衡與不平衡，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)式子來描述（表達），由此引出方程含義。很明顯，教材中隱含的是把天平的平衡狀態(tài)作為方程的基本原型。

由此我們是否可以這樣理解：

（1）“天平”是方程建模的一個合適的生活原型。方程是實際數(shù)量相等關(guān)系的一種模型，而天平恰恰是最符合這種模型的，因為天平平衡的原理實質(zhì)上就是等式的性質(zhì)。它是方程認識的基礎(chǔ)模型，是學(xué)生理解的關(guān)鍵。

（2）文字等式是已經(jīng)抽象化的方程的原型。天平是學(xué)生可以直觀的感知等量關(guān)系的生活原型，但是文字等式的提煉是方程的更高的抽象化的原型。文字等式是從現(xiàn)實的復(fù)雜的情境中，對小學(xué)生而言從現(xiàn)實情境到文字等式，這個過程是有一定難度。

為此，筆者在執(zhí)教《方程的意義》時，做了這樣的設(shè)計和嘗試：

（1）借助天平稱物體的情境。引導(dǎo)學(xué)生觀察：當(dāng)天平處于傾斜、天平保持平衡狀態(tài)時的物重關(guān)系，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，用語言表述兩邊的平衡關(guān)系，并運用式子表達出來。用這種生活原形幫助學(xué)生概括并理解等式的意義。初步直觀形象地感受等量關(guān)系的模型。

（2）在學(xué)生對等量關(guān)系模型有一定感知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在心中模擬天平，找出等量關(guān)系。

師：“你能根據(jù)題意列出方程嗎？”

生1：“ 380÷4= x”

師問：“此時，你的心中能架起一架天平嗎？它的左邊是什么？右邊是什么？開始想象！”

生1：“左邊是4個月餅，右邊是380克砝碼？”

師：“那你的天平和你的算式對應(yīng)嗎？”

生2：“老師，應(yīng)該4x=380 ，一個月餅的質(zhì)量×4=380?！?/p>

這樣的設(shè)計讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實問題――“天平”問題到方程等量關(guān)系建立的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中這樣地引導(dǎo)和滲透模型的思想，更有利于學(xué)生后面的列方程解決問題的學(xué)習(xí)。在實際教學(xué)中，天平本身作為方程等量關(guān)系原型，小學(xué)生是非常容易建立的，但是以“天平”模型來思考建立文字等式的模型，小學(xué)生是有一定困難的，讓學(xué)生有這樣嘗試經(jīng)歷，積累列方程的基本經(jīng)驗。引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建一種數(shù)學(xué)模型，在方程概念的形成過程中得到“數(shù)學(xué)模型”思想的浸潤。

二、在式子比較中滲透“分類”思想

分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想，核心在于分類的標(biāo)準。而標(biāo)準在定義時就是概念的“內(nèi)涵”――因此，分類思想是數(shù)學(xué)概念邏輯定義的核心思想。

《方程》的一個重要教學(xué)目標(biāo)是如何定義“方程”的概念。不管何種教材，對方程的定義都是“像5x=10……這樣含有未知數(shù)的等式叫方程”。很明顯，方程的定義含有兩個內(nèi)涵：一是等式，二是含有未知數(shù)。而這兩點在教學(xué)中實質(zhì)就是兩種分類標(biāo)準，在分類的過程中，從本質(zhì)理解就是方程的定義過程。所以，筆者采用了人教版的設(shè)計，下面就是筆者對方程的定義過程的教學(xué)實踐。

在《方程》教學(xué)中，利用天平列出左右兩邊的平衡和不平衡，左右兩邊的關(guān)系列出很多的關(guān)系式：①50+50=100 ②50×2=100 ③100+x>200④100+2x=300⑤100+x=200-Y⑥100+x200⑦50×5

師：“同學(xué)們，如果我們要來研究它時需要整理，你會怎么做？”

生：“分類?！?/p>

師：“你先分一分，把你分的結(jié)果記錄下來？”

讓學(xué)生獨立去思考、操作，個別到黑板上來擺一擺。

師：“你是按什么分的呢？”

生1：“我是按符號分的，大于一類、小于一類，等于一類?！?/p>

師：“哦，還有不同的分法嗎？”（老師板書）

生2：“我分兩類，大于小于分一類，等于分一類?！?/p>

“我根據(jù)天平是否平衡分，這樣更加簡潔?！?/p>

生3：“我還可以分有未知數(shù)的一類，沒有未知數(shù)的一類?！?/p>

師：“真好，同學(xué)們在分類的時候都有自己明確的標(biāo)準了，在今后的學(xué)習(xí)中，如果遇到分類問題，我們都不要急著去分，先想好你的分類標(biāo)準?！?/p>

在老師的啟發(fā)下，學(xué)生通過認真思考、操作，慢慢地把雜亂的式子按照一定的標(biāo)準清晰地分成四類。再讓學(xué)生通過觀察比較這四類式子輕松的概括出方程的定義：含有未知數(shù)的等式就是方程。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會遇到分類的問題，學(xué)會分類，可有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問題。

三、在方程與等式的辨析中滲透集合思想。

方程與等式之間的關(guān)系，雖然在教材中沒有明顯的要求，但是對方程意義的真正理解，這個關(guān)系的教學(xué)是無法避免的，集合思想在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中應(yīng)該可以滲透。

方程與等式之間的關(guān)系是相對比較抽象，學(xué)生很難真正區(qū)分。所以筆者設(shè)計了這樣一個教學(xué)環(huán)節(jié)：找一找下面哪些是等式？哪些是方程？

師：“誰來說一說哪些是方程？哪些是等式？要說明理由?！?/p>

根據(jù)學(xué)生的回答課件演示隱去非等式。

師：“剩下的這些都是等式，我們用一個圈圈起來。這些都是等式，那是不是都是方程呢？”

生1：“不是的，⑤和⑧不是方程，其他都是方程?！?/p>

師：“那我們把是方程的圈在一起。同學(xué)們，看著這個集合圈，你有什么想說的嗎？”

生2：“等式和方程之間有聯(lián)系?！?/p>

生3：“方程肯定是等式，等式不一定是方程?！?/p>

生4：“我同意他的說法，等式只要符合是等號這樣一個條件就行，方程必須是既是等式，還要有未知數(shù)，要符合兩個條件?！薄?…。

通過這樣一道練習(xí)題的設(shè)計，讓學(xué)生在獨立思考，匯報，爭論中鞏固教學(xué)內(nèi)容，落實了教學(xué)目標(biāo)，更是巧妙的滲透了集合思想，幫助學(xué)生理解方程與等式之間的聯(lián)系與區(qū)別。更主要的是孩子得到集合思想的浸潤，得到了運用集合思想思考解決問題的數(shù)學(xué)體驗。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貪B透數(shù)學(xué)思想，對培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要的，不僅是我們?nèi)嫱七M素質(zhì)教育，培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的重要手段，也是數(shù)學(xué)課標(biāo)的要求。為不讓教學(xué)僅僅停留在知識的傳授上，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在課前更加深入研讀教材，分析隱藏在其中的數(shù)學(xué)思想方法。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕的，而是有一個較長的過程。作為數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須具備循序漸進和反復(fù)滲透的教學(xué)方法和理念，這樣才能讓數(shù)學(xué)思想在學(xué)生心中扎根發(fā)芽。有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)教師才會有真正是有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)課，有思想的數(shù)學(xué)課才會真正有具有數(shù)學(xué)思想的學(xué)生。――“引導(dǎo)孩子怎么想比教孩子怎么做更重要”。

參考文獻：

第2篇：方程的意義范文

新課程的改革，使得小學(xué)的知識要體現(xiàn)與初中更加的接軌，五年級上冊第四單元“解簡易方程”中進行了一次新的改革。下面是小編為大家收集的解簡易方程的教學(xué)反思，望大家喜歡。

解簡易方程的教學(xué)反思范文一學(xué)生經(jīng)歷由天平上的具體操作抽象為代數(shù)問題的過程，能用等式的性質(zhì)(天平平衡的道理)列出方程，對于解比較簡單的方程，學(xué)生并不陌生。

比如:x+4=7學(xué)生能夠很快說出x=3，但是就方程的書寫規(guī)范來說，有必要一開始就強化訓(xùn)練，老師規(guī)范的板書，以發(fā)揮首次感知先入為主的強勢效應(yīng)，促進良好的書寫習(xí)慣的形成。對于稍復(fù)雜的方程要放手讓學(xué)生去試一試，這樣就可以使探究式課堂教學(xué)進入一個理想的境界。

不難看出，學(xué)生經(jīng)歷了把運算符號“+”看錯成了“-”，又自行改正的過程，在這一過程中學(xué)生體驗到了緊張、焦急、期待，成功的感覺，這時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)已進入了學(xué)生的內(nèi)心，并成為學(xué)生生命成長的過程，真正落實了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心”的目標(biāo)，在這個思維過程中，學(xué)生獲得了情感體驗和發(fā)現(xiàn)錯誤又自己解決問題的機會。老師以人為本，充分尊重學(xué)生，也體現(xiàn)在耐心的等待，熱切的期待的教學(xué)行為上，老師的教學(xué)行為充滿了人文關(guān)懷的氣息，微笑的臉龐、期待的眼神、鼓勵的話語，無時無刻不使學(xué)生感到這不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，更是一種生命交往的過程，學(xué)生有了很安全的心理空間，不然，他怎么會對老師說“老師，我太緊張了”，這是學(xué)生對老師的信任和自己不安的復(fù)雜情緒的表現(xiàn)。反思我們的教學(xué)行為，如果在課堂中多一些耐心和期待，就會有更多的愛灑向更多的學(xué)生，學(xué)生的人生歷程中就會多一份信心，多一份勇氣，多一份靈氣。

解簡易方程的教學(xué)反思范文二新課程的改革，使得小學(xué)的知識要體現(xiàn)與初中更加的接軌，五年級上冊第四單元“解簡易方程”中進行了一次新的改革。能過本次活動我課下反思如下：

1、在本課開始出示天平，提出“怎樣才能使得天平左邊只剩下X，而保持天平平衡”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生由天平保持平衡的變化規(guī)律，推出

議程兩過保持相等的變換方法，這樣的過程做到了“寓知識于游戲，化抽象為形象，變空沒為具體”，使學(xué)生的學(xué)習(xí)具有形象性、趣味性。

2、如果我在課前準備一些“小蛋珠”來代替演示砝碼，學(xué)生會更直觀的明白方程保持不變與等式一樣的規(guī)律了。

要求方程的解法要根據(jù)天平的原理來進行解答，也就是說要通過等式的性質(zhì)來解方程，這一方法雖然說讓方程的解法找到了本質(zhì)的東西，但是也讓我感到了許多困惑：

1、從教材的編排上，整體難度下降，有意避開了，形如：45-X=23等類型的題目。

把用等式解決的方法單一化了。在實際教學(xué)中我們要求學(xué)生較熟練地利用等式的方法來解方程，但用這樣的方法來解方程之后，書本不再出現(xiàn)X前面是減號或除號的方程題了，學(xué)生在列方程解實際應(yīng)用時，我們并不能刻意地強調(diào)學(xué)生不會列出X在后面的方程，我們更頭痛于學(xué)生的實際解答能力。在實際的方程應(yīng)用中，這種情況是不可避免的。很顯然這存在著目前的局限性了。對于好的學(xué)生來說，我們會讓他們嘗試接受--解答X在后面這類方程的解答方法，就是等號二邊同時加上X，再左右換位置，再二邊減一個數(shù)，真有點麻煩了。而且有的學(xué)生還很難掌握這樣方法。

2、內(nèi)容看似少實際教得多。

難度下降后，看起來教師要教的內(nèi)容變得少了，可以實際上反而是多了。教師要給他們補充X前面是除號或減號的方程的解法。要教他們列方程時怎么避免X前面是除號或減號的方程的出現(xiàn)等等。

解簡易方程的教學(xué)反思范文三解方程是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一塊兒重要內(nèi)容，在實際生活中，學(xué)會了列方程解決問題之后，很多不易用算術(shù)方法解答的習(xí)題，卻能列方程很容易地解答出來，這足以說明列方程解決問題比算術(shù)法解決問題有非常明顯的優(yōu)越性。

今年我教的是四年級，所用教材是青島版五四制教材，第一單元就出現(xiàn)了解方程的內(nèi)容，這部分教材我已經(jīng)教學(xué)了四遍了，按理說這第五次教學(xué)這部分內(nèi)容應(yīng)該是易如反掌、揮灑自如，可是面對新教材的設(shè)計，我這個五年不教學(xué)高年級的老師卻有了很大困惑----本教材的教學(xué)設(shè)計打破了傳統(tǒng)的教學(xué)方法，而出乎我預(yù)料的則是借用天平演示使學(xué)生感悟“等式”，知道“等式兩邊都加上或減去都乘或除以同一個非零的數(shù)，等式仍然成立”這個規(guī)律，從而使學(xué)生進一步從真正意義上理解方程的意義，并學(xué)會運用等式的性質(zhì)解方程。在以前幾輪教材中，學(xué)習(xí)解方程之前都是先要求學(xué)生熟練掌握加、減、乘、除法各部分之間的關(guān)系，然后利用：一個加數(shù)=和-另一個加數(shù);被減數(shù)=減數(shù)+差;減數(shù)=被減數(shù)-差;被除數(shù)=商×除數(shù);除數(shù)=被除數(shù)÷商等關(guān)系式來求出方程的解，就連我自己小時候?qū)W習(xí)的解方程也都是根據(jù)加減、乘除法各部分之間的關(guān)系求方程的解的。

開始我有些懷疑，以為只有青島版五四制這個版本的教材利用了等式的性質(zhì)教學(xué)的，于是急切的打開電腦找到各種版本的電子教材翻看這部分內(nèi)容，卻發(fā)現(xiàn)各種版本的教材設(shè)計思路是一樣的，都是先學(xué)習(xí)等式的基本性質(zhì)，接著再運用等式的基本性質(zhì)解方程。為了徹底弄明白教材的編寫意圖，我又找到了這幾個版本的教材所配套的教師教學(xué)用書翻看，新教材編寫者大致都是這樣解釋的：長期以來，小學(xué)教學(xué)簡易方程時，方程變形的依據(jù)總是加減、乘除運算之間的關(guān)系，這實際上是用算術(shù)的思路求未知數(shù)。到了中學(xué)又要另起爐灶，引入等式的基本性質(zhì)或方程的同解原理來教學(xué)解方程。小學(xué)的思路及其算法掌握得越牢固，對中學(xué)代數(shù)起步教學(xué)的負遷移就越明顯。因此，現(xiàn)在根據(jù)《標(biāo)準》的要求，從小學(xué)起就引入等式的基本性質(zhì)，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出解方程的方法。這就較為徹底地避免了同一內(nèi)容兩種思路、兩種算理解釋的現(xiàn)象，有利于加強中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。看了這些內(nèi)容，我才從思想上認可了這種設(shè)計思路，原來是為了使小學(xué)教學(xué)解方程和中學(xué)教學(xué)解方程的方法保持一致。

理解了教材的設(shè)計意圖，我開始強迫自己扭轉(zhuǎn)老的教學(xué)思路。結(jié)果學(xué)生因為是初次接觸，課堂上學(xué)習(xí)的竟是那樣的有滋有味。但在后面的教學(xué)中，我漸漸發(fā)現(xiàn)采用等式的基本性質(zhì)解方程給學(xué)生帶來的竟然是局部的銜接，而存在局部的銜接對學(xué)生會更困難。從教材的編排上，整體難度雖然有所下降，卻把用等式的性質(zhì)解方程的方法單一化了。教材有意避開了形如a—X=b a÷x=b等類型的題目，不教學(xué)此類方程的求解方法，因為這類題目如果采用等式的性質(zhì)來解非常麻煩。很顯然采用等式的性質(zhì)這種方法教學(xué)小學(xué)階段的解方程目前存在著很大的局限性。

但在教學(xué)列方程解決實際問題時，我們又不能避免學(xué)生在列方程時，依然出現(xiàn)形如a-x=b和a÷x=b的方程，特別是我們不能刻意地給學(xué)生強調(diào)不能列出X在后面做減數(shù)或做除數(shù)的方程，如果這樣強調(diào)，學(xué)生心中會存在很大的疑惑，當(dāng)學(xué)生列出這樣的方程時，我們更頭痛于學(xué)生求解能力的局限性。

鑒于以上原因，課堂上我采用了新老教學(xué)思路結(jié)合使用的方法，先從教材中的新思路運用等式的基本性質(zhì)教會孩子解較簡單的方程，以便于日后初中學(xué)習(xí)時順利接軌，同時對于初中學(xué)習(xí)“移項”也能順利接收。但是面對現(xiàn)在四年級孩子的思維及接受能力，我再利用老教材的教學(xué)思路 “加減、乘除法各部分之間的關(guān)系”教給孩子解方程，至少這樣能讓我的學(xué)生會解各種類型的方程，特別是有利于孩子們列方程解決實際問題，他們不會再被“以乘代除”、“以加代減”的思路困擾著列方程，并且列出來還能順利解這個方程。

我個人以為，這樣用新舊方法結(jié)合著教學(xué)，既能讓學(xué)生為以后的學(xué)習(xí)做好銜接，形成綠色的通道，同時又體現(xiàn)解決同一問題方法、思路的多樣性。通過學(xué)生的課堂作業(yè)，我發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果出奇的好。

第3篇：方程的意義范文

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 牛頓迭代法 共軛梯度法

【中圖分類號】O241.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1006－9682（2011）01－0021－03

一、引 言

方程（組）的求解是計算方法中的重要內(nèi)容，也是當(dāng)今高性能計算的重要方面。［1］由于方程（組）的特殊性，目前已經(jīng)發(fā)展了許多依賴于導(dǎo)數(shù)這一概念的有效方法。［2～4］然而，由于這些方法在形式上具有多樣性以及導(dǎo)數(shù)在表達方面的特殊性和多樣性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常感到茫然――即學(xué)完這些方法后，對方程（組）的求解顯得還是力不從心，理不清楚這些方法之間到底有沒有關(guān)系，以及如何高效利用這些方法來解決實際問題。

在關(guān)于求解方程（組）的教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，雖然在講述牛頓法、弦切法、最速下降法、梯度法、雙共軛梯度法等方法的基本原理時，學(xué)生是能夠順利理解的，但由于這些方法計算形式差異較大，使得很多同學(xué)在理解過程中很難將他們統(tǒng)一到同一個概念下來――雖然我們知道這些方法都基于同一個重要的概念――導(dǎo)數(shù)。

下面本文就從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)的基本含義來論述常見的牛頓法、弦切法、最速下降法、共軛梯度法、雙共軛梯度法等迭代法之間的區(qū)別和聯(lián)系；并試圖利用導(dǎo)數(shù)的概念將這些方法竄聯(lián)起來，使老師更容易進行教學(xué)，讓學(xué)生也更容易理解這些方法的精要。

為方便敘述，首先引入導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，其直觀含義就是應(yīng)變量關(guān)于自變量的變化率，在一般不太嚴格的場合可以直接叫變化率。數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)定義為：當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。其幾何意義就是曲線（面）在一點切線（面）的斜率［注1］。

二、迭代法

1．牛頓迭代法

首先回顧求解單個方程的牛頓迭代法。牛頓迭代法又稱為牛頓－拉夫遜方法（Newton－Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點在于在方程f（x）＝0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復(fù)根以及非線性方程的解。另外，由于該方法簡單高效，因而廣泛用于工程計算中。

牛頓迭代法基本思想：牛頓迭代法是借助于對函數(shù)f（x）＝0作泰勒展開而構(gòu)造的一種迭代格式。將f（x）＝0在初始值x0作泰勒展開：

f（x）＝f（x0）＋f '（x0）（x－x0）＋ （x－x0）2＋…。

取展開式的線性部分作為f '（x）＝0的近似值，則有：

f（x0）＋f '（x0）（x－x0）≈0

在f '（x）≠0的情況下可得下面的迭代函數(shù) ，

利用此迭代格式可由一個初始值計算得到一個新的近似值：

（1）

在迭代法收斂的情況下，由于x1計算的幾何含義為在根的附近用x0處的切線

y－f（x0）＝f '（x0）（x－x0）

代替原曲線求根――此切線與x軸的交點x1，故其近似程度比x0要好；再作f（x）在（x1，f（x1））處的切線，得交點x2，其近似程度又比x1要好。不斷將此過程進行下去，則可逐步逼近方程的根x*。于是有如下的牛頓迭代格式：

，k＝1，2…（2）

從上面分析不難看出牛頓迭代法的核心思想：在區(qū)域［x0，x0＋h］局部“以直代曲”。當(dāng)f（x）為線性函數(shù)時，函數(shù)的切線和函數(shù)本身在圖形上是重合的，此時切線的根自然也是原方程的根，因此只需一步就可以得到其真實根。利用由導(dǎo)數(shù)所決定的線型函數(shù)（切線方程）在局部對連續(xù)函數(shù)逼近的有效性，我們不難看出：若牛頓法是收斂的，則其是一個非常高效的方法。

2．牛頓法的改進

在實際應(yīng)用中，常常根據(jù)具體情況對牛頓迭代法作適當(dāng)?shù)男薷亩玫叫拚惴ā?/p>

第一，當(dāng)x*為f（x）的m重根時，取下面迭代格式：

，k＝1，2… （3）

第二，初值選取有困難時，可改用如下迭代格式，以擴大初值選取范圍：

，k＝1，2…（4）

其中p稱為下山因子，p選取應(yīng)當(dāng)滿足單調(diào)性條件：即xk＋1所對應(yīng)的函數(shù)的絕對值應(yīng)小于xk所對應(yīng)的函數(shù)的絕對值。這樣將下山法與牛頓法結(jié)合起來使用的方法，稱為牛頓下山法。

由于上面這兩種方法直接來源于標(biāo)準的牛頓迭代法（2），他們的思想和原理基本一致，此處不在重述（方法的詳細介紹請參見［4～6］）。

第三，弦截法。

為了避免計算導(dǎo)數(shù)，在牛頓迭代格式（2）中：用差商f［xk

－L，xk］＝ 代替導(dǎo)數(shù)f '（xk），并在給定兩個初始值x0和x1的條件下，那么迭代格式可寫成如下形式：

xk＋L＝xk－ ，k＝1，2…（5）

上式稱為弦截法。用弦截法迭代求根，每次只需計算一次函數(shù)值，而用牛頓迭代法每次要計算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值。弦截法的幾何意義在于利用割線來代替切線。

所以，我們看到弦截法和牛頓迭代法都是線性化方法，在這其中起著關(guān)鍵作用的就是切線和割線這些概念；而在這些概念背后更為基本的概念則是導(dǎo)數(shù)，正是導(dǎo)數(shù)把這些不同的方法聯(lián)系起來，只不過這些方法之間的區(qū)別在于有些用的是精確的導(dǎo)數(shù)，而有些用的是導(dǎo)數(shù)的近似值。

上面這四種方法都可以推廣到多維情形，不過由于高維情形的導(dǎo)數(shù)計算比較復(fù)雜，因而限制了其應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)在求根時的作用（中值定理）還可以導(dǎo)出一些其它高效的方法。［6］

3．最速下降法（梯度法）

梯度在當(dāng)代文獻研究中涉及的方向非常廣，各種運用梯度這一概念解決復(fù)雜或疑難問題的論文非常多。［5、7］為了將方法的基本原理闡述清楚，又不至于引入太多的函數(shù)細節(jié)，下面以二元函數(shù)來說明最速下降法的基本思想。這里不妨假定被研究的函數(shù)具有足夠高的光滑性；并且為簡單起見，我們假設(shè)多元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

為敘述方便，首先引入函數(shù)z＝f（x，y）在一點P沿某一方向的變化率問題。設(shè)l是xOy平面上以P0（x0，y0）為始點的一條射線el＝（cosα，cosβ）是與l同方向的單位向量。射線l的參數(shù)方程為：

x＝x0＋tcosα，y＝y(tǒng)0＋tcosβ（t≥0）

若函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）可微分，則對于每一點P0（x0，y0）∈D都可確定函數(shù)在點（x0，y0）處的方向?qū)?shù)：

＝fx（x0，y0）cosα＋fy（x0，y0）cosβ

特別地，若α＝0，則可確定如下向量：

fx（x0，y0）i＋fy（x0，y0）j （6）

該向量稱為函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）的梯度，記作gradf（x0，y0）。沿梯度方向，模|gradf（x0，y0）|取得最大值，也就是說梯度方向是函數(shù)在這點導(dǎo)數(shù)取得最大值的方向――函數(shù)增加最快的方向。

考慮線性方程組：

Ax＝b（7）

其中A是給定的n階對稱正定矩陣，b是給定的n維向量，x是待求的n維向量。引入下面的二次泛函：

（x）＝xTAx－2bTx（8）

在A對稱正定的條件下，求解方程組Ax＝b等價于求二次泛函 （x）的極小點。于是，利用（8）式可將線性方程組（7）的求解轉(zhuǎn)化為求二次泛函 （x）的極小點的問題。

求二次函數(shù)（8）的極小值，不同于一元函數(shù)（一元函數(shù)實際求切線和x軸的交點），多元函數(shù)在空間一點的導(dǎo)數(shù)方向有很多個，因而如何求其中某一平面的與坐標(biāo)軸的交點成為一個不確定問題。

為解決這個難題，對任意給定一個初始向量x0以及精度eps，需確定一個下降方向p0。由于沿 （x）增加最快的方向是梯度方向，因此負梯度方向應(yīng)該是 （x）減小最快的方向，于是最簡單而直觀的做法是選取pk為負梯度方向（其中k＝0，1，2，…）。記rk為第k次迭代的負梯度方向。于是有如下算法：

x0∈Rn（9）

r0＝b－Ax0；k＝0

while|rk|≥eps

k＝k＋1

αk＝

xk＝xk－1＋αk－1rk－1

rk＝b－Axk

end

從上面的算法可以看出：最速下降法的基本原理是在前一步計算的結(jié)果xk－1處，取沿這一點下降最快的方向（負梯度rk）作為搜索方向進行迭代。這樣的下降方向是局部的，只是在這一點的附近能夠保證是下降速度最快，但不是全局的；另一方面，這樣一個新的下降方向和原來的下降方向之間也沒有什么必然的聯(lián)系。從幾何上看，我們就是在一點的附近用梯度向量所在的某一平面來近似曲面；并且這樣的近似只是局部的，不是牛頓法中整體切平面和坐標(biāo)軸的交點，因而不是全局的。這樣一來，最速下降法的收斂性一般不會太高，尤其是在近似解靠近真實解的時候。

4．共軛梯度法

最速下降法從任何一向量x（0）出發(fā)，迭代產(chǎn)生的向量序列總是收斂到原方程（7）的解。理論上其收斂速度的快慢則由A的特征值分布所決定。當(dāng)A的最小特征值和最大特征值相差很大時λ1＜＜λn最速下降法收斂速度很慢，所以負梯度方向從局部來看是二次函數(shù)的最快下降方向，但是從整體來看，卻并非最好。然而這種方法卻揭示了利用二次函數(shù)極小問題求解對稱正定矩陣的線性方程組的算法思想。正是在此基礎(chǔ)上的進一步改進，形成了著名的共軛梯度法。

共軛梯度法最早由Hestenes和Stiefle提出來，用于解正定系數(shù)矩陣的線性方程組。共軛梯度法的基本思想也是將方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為二次優(yōu)化的最下值問題，所以和最速下降法有相同的數(shù)學(xué)背景。然而共軛梯度法是一個典型的共軛方向法，和最速下降法不同的是：共軛梯度法的每次搜索方向是互相共軛的（類似于相互垂直），而這些搜索方向不僅僅是負梯度方向，還與上一次迭代的搜索方向相組合。從幾何上看，共軛梯度法也是在局部用線型平面去近似曲面，但和最速下降法不同在于：共軛梯度法中局部用到的平面，其方向不是簡單的梯度最大的方向，而是尋找在和前面已經(jīng)找到的方向能夠共軛，又盡可能下降快的方向，也就是說這些局部的曲面有著某種類似“相互垂直”的特點，所以它是整體上的。

對于對稱正定矩陣A，共軛梯度法考慮選擇關(guān)于A共軛的向量p1，p2，…，代替最速下降法中的負梯度方向。理論上講，如果該方法是收斂的，則對任意給定的初始點x（0），經(jīng)有限步就可以得到問題的準確解。

借助向量組Schmidt正交化過程，有如下的共軛梯度算法：［1～2］

x0∈Rn，k＝0

r0＝b－Ax0，p0＝r0

while|rk|≥eps and（pk，Apk）≥eps

αk＝（rk，rk）/（Apk，pk）

xk＋1＝xk＋αkpk，rk＋1＝rk－αk Apk（10）

βk＝（rk＋1，rk＋1）/（rr，rk）

pk＋1＝rk＋1＋βk pk

k＝k＋1

end

其中x0為初始向量，eps為求解精度。

從上面的計算可以看出，共軛梯度法是從不同的方向來找最小值；這樣將全局的最小分解成在不同方向上的最小。直觀上看，也就是沿不同方向（共軛的方向）來找最小，后一次的查找是在前一次的最小的基礎(chǔ)上進行的，因此每次得到的結(jié)果會越來越好；并且由于這些方向是共軛的，所以總在有限步內(nèi)完成。這就像我們在n維超曲面找曲面的最小一樣：沿座標(biāo)軸一個個搜索――當(dāng)然可以在搜索所有的坐標(biāo)方向后得到最優(yōu)的值。

從對導(dǎo)數(shù)信息的使用方面來看，共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法。雖然它僅用到一階導(dǎo)數(shù)，但它既克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法中需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，所以有較高的計算效率。

5．雙共軛梯度法

在最速下降法和共軛梯度法中要求矩陣A是對稱正定的，但在實際生活中還有大量的矩陣不具備這樣的性質(zhì)――即不是對稱正定的。于是為了利用共軛梯度法的思想來解決這類問題，便出現(xiàn)了雙共軛梯度法。［6］

雙共軛梯度法和共軛梯度法的不同在于將共軛梯度法中的一步共軛性轉(zhuǎn)化為兩步的共軛性，從而用兩步的共軛性來代替矩陣的非對稱性。實際上對于對稱矩陣、兩次共軛的結(jié)果和一次是一致的。從幾何上看，其基本原理也是一樣，在此不再敘述。

除了上面提到的方法之外，還有很多方法都可以和導(dǎo)數(shù)這個概念聯(lián)系起來，比如常用的廣義極小殘差法（GMRES）、非線性方程組的牛頓法、Anord、Lanczos等方法，在此不再一一論述。［6］

三、總 結(jié)

通過對上面諸多典型迭代法的分析，我們發(fā)現(xiàn)在這些紛繁復(fù)雜的方法背后，其實都隱含著一個重要的思想，那就是“以直代曲”（線性化）這樣一種簡單而又有效的方法；在這其中導(dǎo)數(shù)起著舉足輕重的作用――將方程組求解和多元函數(shù)的根聯(lián)系起來。這樣利用導(dǎo)數(shù)這個概念，我們將這些重要的方法串聯(lián)起來、統(tǒng)一起來，從而簡化了我們對這些方法的理解和掌握，也方便了學(xué)生的學(xué)習(xí)。

注 釋

1 為避免引入不必要的概念（法向量），對于曲面或超曲面，此處的斜率僅僅表示其切平面中的一個向量。

參考文獻

1 蔡大用、白峰杉.高等數(shù)值分析［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005

2 戴虹、袁亞湘.非線性共軛梯度法［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2000

3 A. Quarteroni, A.Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1994

4 鐘爾杰、黃廷祝.數(shù)值分析［M］.北京：高等教育出版社，2006

5 William H. Press, Sual A. Teukolsky, etc, Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press, 2003

第4篇：方程的意義范文

【關(guān)鍵詞】一元一次方程 應(yīng)用題 方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）1-0166-02

新課程教學(xué)標(biāo)準指出，在課堂教學(xué)中要明確學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的積極能動性。作為主導(dǎo)地位的教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中給學(xué)生留有充分的主動權(quán)。一元一次方程應(yīng)用題的教學(xué)是重難點，對鍛煉學(xué)生的分析與解決問題的能力作用巨大。

第一，把好列代數(shù)關(guān)，打好列方程基礎(chǔ)

掌握列代數(shù)式的方法技能是列方程解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，只有正確熟練地掌握用代數(shù)式表示數(shù)才可能合理地列方程，因此在學(xué)列方程解應(yīng)用題之前應(yīng)補一補列代數(shù)式的教學(xué)，盡量不留后患，可根據(jù)學(xué)生實際由淺入深分階段提出不同要求：首先要求學(xué)生將只含一次運算結(jié)果的普通語言直接翻譯，如：x與6的差；其次會寫出二次或三次復(fù)合運算的結(jié)果，如：x與b的差的三分之一；進而學(xué)會設(shè)某數(shù)為x，用含x的式子表示另一個數(shù)，如：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)比甲數(shù)的三分之一少5，用式子表示乙數(shù)；最后再過渡到幾何圖形，行程問題等常見的數(shù)量關(guān)系，用含有某個量的式子表示另一個量。

在列代數(shù)式的教學(xué)過程中要隨時注意查漏補缺幫助學(xué)生進一步透徹理解掌握四則運算的有關(guān)法則，熟習(xí)常見的那些數(shù)量關(guān)系從不同方向為列方程鋪平道路。

第二實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)變

我通個教學(xué)實踐，要想本階段教學(xué)取得預(yù)期的好效果，必須實現(xiàn)以下兩個轉(zhuǎn)變。

1.實現(xiàn)學(xué)生由習(xí)慣算術(shù)思想理解應(yīng)用題轉(zhuǎn)變?yōu)檫\用代數(shù)式――列方程解應(yīng)用題。

七年級學(xué)生長期習(xí)慣以直接求得結(jié)果為目的的列綜合算式的方法，由算術(shù)法到代數(shù)法是一個質(zhì)的飛躍.而學(xué)生原來形成的思維定勢不同程度的成了他們接受新思想的障礙，因此如何使學(xué)生由習(xí)慣算術(shù)法向自覺運用代數(shù)法列方程解應(yīng)用題的轉(zhuǎn)變是這一階段教學(xué)面臨的第一課題，這一方面比較好的方法是進行對比教學(xué)，它直觀易于學(xué)生接受。

例1.一種小麥磨成面粉后，質(zhì)量要減少15%，要得到4250千克面粉需要多少千克小麥？

分析：設(shè)需要x千克小麥

代數(shù)法（1-15%）x=4250

這里使用代數(shù)法只需依照題意直接翻譯成方程，思維上要簡捷得多。

有學(xué)生認為此題算術(shù)法還要簡單些，當(dāng)然要使學(xué)生從思想上真正認識到代數(shù)法的優(yōu)越性而自覺運用，舉一個例子是不夠的，因此應(yīng)有意識地在后續(xù)課的教學(xué)中安排一些針對練習(xí)。如：例2.在甲處勞動有27人，乙處勞動有19人，現(xiàn)另調(diào)20人去支援，要使甲處勞動的人數(shù)為乙處的2倍。應(yīng)調(diào)往甲、乙兩處各多少人？

分析：設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處人.

算術(shù)法：

代數(shù)法：27+=2〔19+（20-）〕

相比之下代數(shù)法要優(yōu)越得多。

2.實現(xiàn)學(xué)生由盲目亂套硬搬轉(zhuǎn)變?yōu)榭焖贉蚀_科學(xué)判斷等量關(guān)系列方程。

從邏輯思維角度看七年級學(xué)生長期以來基本上都是從條件出發(fā)去尋找結(jié)論，不自覺地使用綜合思想由因索果考慮問題，而綜合法對一些簡單應(yīng)用題確有成效，因此在開始階段教學(xué)宜采用啟發(fā)式教學(xué)因勢利道指導(dǎo)學(xué)生由不自覺到自覺使用綜合法去尋找等量關(guān)系探求解答，培養(yǎng)他們形成比較規(guī)范的思維習(xí)慣，爭取早日擺脫亂套硬湊思想混亂的狀態(tài)。

例3.甲乙兩站相距390km，一列慢車從甲站開出速度為72km/h，一列快車從乙站開出速度為96km/h.若快車先開出25分，輛車相向而行.快車開了幾小時與慢車相遇問題

分析：設(shè)快車開了x小時與慢車相遇.

問：快車行駛了多少km？ 答：96x

問：慢車行駛了多少小時？ 答：（x-25）÷60

問：慢車行駛了多少km？ 答：72[（x-25）+60]

問：兩車兩車一共行駛了多少km？ 答：390

問：相等關(guān)系是什么？ 答：兩車行駛之和為390km

至此可利用相等關(guān)系列方程：=72[（x÷25）÷60]+96x=390

在問答過程中為加深學(xué)生印象同時把上述問答結(jié)果逐一填入下面表格：

圖表形象直觀一目了然，有利于學(xué)生透徹了解問題所涉及的各種數(shù)量關(guān)系.而且正確靈活地設(shè)計運用圖表分析問題本身就是一項十分重要的基本技能，在數(shù)學(xué)中要加強示范輔導(dǎo)，并有必要根據(jù)學(xué)生的實際情況提出一定的要求。

第5篇：方程的意義范文

定理1已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0),若直線l過不在橢圓C上的定點T(x0,y0)(非橢圓C的中心)且與橢圓C交于A,B兩點,l1,l2分別是橢圓C在A,B兩點的切線,直線l3:x0xa2+y0yb2=1.則直線l1,l2,l3互相平行,或相交于一點.

證明： 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則橢圓C在A,B兩點的切線方程分別是

l1:x1xa2+y1yb2=1,l2:x2xa2+y2yb2=1.

1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,x1=x2=x0,由對稱性知y2=－y1≠0,

若l1,l2平行,則x1y2－x2y1=0,于是有

x1=x2=x0=0,易知l1,l2,l3互相平行;

若l1,l2相交于點M,則x1y2－x2y1≠0,于是x1=x2=x0≠0,易求得l1,l2的交點

M(a2x0,0),顯然點M在直線l3:x0xa2+y0yb2=1上.故l1,l2,l3相交于一點M.

2)當(dāng)直線l的斜率存在時,x1－x0≠0,x2－x0≠0,

若l1,l2平行,則x1y2－x2y1=0,易知l過原點O,由T,A,,O三點共線,可得

x1y0－x0y1=0,于是有l(wèi)1,l3平行,從而l1,l2,l3互相平行;

若l1,l2相交于點M,則x1y2－x2y1≠0,由T,A,B三點共線,得y1－y0x1－x0=y2－y0x2－x0,

從而有x0(y2－y1)－y0(x2－x1)－(x1y2－x2y1)=0.

由x1xa2+y1yb2=1,x2xa2+y2yb2=1, 解得

x=a2(y2－y1)x1y2－x2y1y=－b2(x2－x1)x1y2－x2y1 ,于是

M(a2(y2－y1)x1y2－x2y1,－b2(x2－x1)x1y2－x2y1).

因 x0xa2+y0yb2－1=x0a2?a2(y2－y1)x1y2－x2y1+

y0b2?(－b2(x2－x1)x1y2－x2y1)－1=

x0(y2－y1)－y0(x2－x1)－(x1y2－x2y1)x1y2－x2y1=0

所以點M在直線l3:x0xa2+y0yb2=1上.從而l1,l2,l3相交于一點M.

綜上可知, 直線l1,l2,l3互相平行,或相交于一點.

定理2已知雙曲線C:x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0),若直線l過不在雙曲線C上的定點T(x0,y0)(非雙曲線C的中心)且與雙曲線C交于A,B兩點,l1,l2分別是雙曲線C在A,B兩點的切線,直線l3:x0xa2－y0yb2=1.則直線l1,l2,l3互相平行,或相交于一點.

類似于定理1的證明可證,此略.

定理3已知拋物線C:y2=2px(p＞0),若直線l過不在拋物線C上的定點T(x0,y0)且與拋物線C交于A,B兩點,l1,l2分別是拋物線C在A,B兩點的切線,直線l3:y0y=p(x0+x).則直線l1,l2,l3相交于一點.

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則拋物線C在A,B兩點的切線方程分別是

l1:y1y=p(x1+x),l2:y2y=p(x2+x).

1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,x1=x2=x0,由對稱性知y2=－y1≠0,易知l1,l2不可能平行,設(shè)l1,l2相交于點M,易求得l1,l2的交點M(－x0,0),顯然點M在直線y0y=p(x0+x)上,從而直線l1,l2,l3相交于點M.

2)當(dāng)直線l的斜率存在時,x1－x0≠0,x2－x0≠0,且y2－y1≠0,

易知直線l1,l2不可能平行,設(shè)l1,l2相交于點M, 由y1y=p(x1+x)y2y=p(x2+x) ,解得

x=x2y1－x1y2y2－y1y=p(x2－x1)y2－y1 ,于是

M(x2y1－x1y2y2－y1,p(x2－x1)y2－y1).

由T,A,B三點共線,得y1－y0x1－x0=y2－y0x2－x0,

從而有y0(x2－x1)－x0(y2－y1)－(x2y1－x1y2)=0.

因y0y－p(x0+x)=y0?p(x2－x1)y2－y1－

p(x0+x2y1－x1y2y2－y1)=p?

y0(x2－x1)－x0(y2－y1)－(x2y1－x1y2)y2－y1=0

所以點M在直線l3:y0y=p(x0+x)上.從而直線l1,l2,l3相交于點M.

參考文獻

1 何才富.直線方程x0xa2+y0yb2=1的幾何意義.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2000(4)

2 王芝平,張玉強,.直線方程x0xa2－y0yb2=1的幾何意義.數(shù)學(xué)通報,2002(11)

第6篇：方程的意義范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；列方程；教學(xué)

方程作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它對豐富學(xué)生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發(fā)展學(xué)術(shù)素養(yǎng)有著非常重要的意義。

六年級（上冊）“方程”單元教學(xué)內(nèi)容的安排和數(shù)學(xué)的設(shè)計是在繼承傳統(tǒng)優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，從便教利學(xué)出發(fā)，著眼于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)，加強了學(xué)生的自主探索，注重學(xué)生對方程思想方法和價值的感受和體驗。突破了傳統(tǒng)教材先學(xué)解方程。再利用解方程來解決實際問題的做法，把列方程解決實際問題和解方程安排在一起進行教學(xué)，使學(xué)生在列方程解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程。教師在解讀教材，研究教法，學(xué)法，具體教學(xué)中可從以下幾個方面認真把握。

一、從促進學(xué)生有效地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，提高學(xué)習(xí)效率出發(fā)，科學(xué)合理安排教學(xué)內(nèi)容

六年級（上冊）教科書“方程”單元安排了兩個例題，通過這部分內(nèi)容的教學(xué)，一方面可以使學(xué)生進一步感受方程的思想和方法，增強用方程方法解決問題的意識和能力，另一方面，也能使學(xué)生進一步積累解方程的經(jīng)驗，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

教材為了讓學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)效率，把解方程和列方程解決實際問題的教學(xué)融為一體。同步進行，這是和以前教材不同的編排。這兩道例題即教學(xué)解方程的思路和方法，和教學(xué)列方程的相等關(guān)系和技巧。這樣編排，能較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)實生活的聯(lián)系。一方面分析實際問題里的數(shù)量關(guān)系，抽象成方程，形成知識與技能的教學(xué)內(nèi)容，提高了學(xué)生的求知欲望，觸動他們好奇心，為了解決實際問題，還必須解這道方程，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)解方程。提供了學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也提供了學(xué)生自主探索的空間和進行數(shù)學(xué)活動的機會。另一方面，利用方程解決實際問題，使知識技能的教學(xué)具有現(xiàn)實意義，成為數(shù)學(xué)思考、解決問題、情感態(tài)度有效發(fā)展的載體。在解決問題的過程中，學(xué)生充分體會到列方程和解方程的實際意義，感受到解方程是解決問題的途徑和必經(jīng)過程，枯燥的知識技能教學(xué)變得有意義、有情趣、有價值。

二、從引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)方程解法考慮，讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法

教材沒有把解方程作為教學(xué)的重點，而是把列方程解決實際問題作為教學(xué)的主線，讓學(xué)生在解決問題的過程中自主探索并掌握有關(guān)方程的解法。化復(fù)雜為簡單、變未知為已知是人們解決新穎問題的常用策略。教師要鼓勵學(xué)生自主解釋并理解運算的依據(jù)，找出方法，從而初步掌握解法。突出轉(zhuǎn)化的過程，鼓勵學(xué)生獨立求解，復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化成簡單方程，使新知識植根于已有的經(jīng)驗和能力的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合題意檢驗方程。進一步理解并掌握解方程的完整過程。

練習(xí)過程中要先讓學(xué)生說說解每道方程的第一步要怎樣做，以及這樣做的根據(jù)是什么，然后讓學(xué)生獨立完成。交流時，除了關(guān)注學(xué)生是否求得了正確的解，還要關(guān)注學(xué)生解方程的過程是否進行了檢驗。這樣及時的練習(xí)使解方程的思路和方法得到了進一步鞏固，也更好達成了解方程這個重要的教學(xué)目標(biāo)。

三、從學(xué)生的實際思維和有利于學(xué)生發(fā)展的角度，正確看待解方程的不同思路和不同解法

能解方程和會解方程是學(xué)生的基本技能，也是學(xué)習(xí)能力。教師在幫助學(xué)生掌握教材提供的利用等式的性質(zhì)解方程的基礎(chǔ)上，教師要尊重學(xué)生解決問題的實際情況，尊重他們所看好的策略和方法，從有利于學(xué)生思維、有利于學(xué)生解決問題和有利于學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，正確地對待學(xué)生不同的思考和運用不同的方法解方程。

既然讓學(xué)生在列方程解決實際問題的過程中學(xué)習(xí)解方程，那么，解方程的學(xué)習(xí)也應(yīng)該和數(shù)量關(guān)系的分析聯(lián)系起來。學(xué)生根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系可以列出不同的方程，也反映出學(xué)生在解方程時也會有各自獨到的思考過程，我們應(yīng)該尊重不同的思考。并幫助他們理清思路。同時也讓學(xué)生感受到解方程在解決實際問題過程中的價值。教學(xué)中，我們要充分尊重教材，領(lǐng)會教材的意圖，幫助學(xué)生完成必需的學(xué)習(xí)任務(wù)。在此基礎(chǔ)上，我們就要結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)實際，從利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考，促進學(xué)生有效發(fā)展的角度，科學(xué)地、綜合地、全面地考慮，通過創(chuàng)新教學(xué)，使教學(xué)真正扎實、有效和有可持續(xù)發(fā)展性。

四、從學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗和數(shù)學(xué)思想的滲透的高度思考，讓學(xué)生在解方程和列方程解決實際問題的過程中感受方程的思想方法和價值

第7篇：方程的意義范文

一、怎樣用字母表示數(shù)？

如何根據(jù)字母所取的值，計算含有字母的式子的值？數(shù)學(xué)中一引起運算定律、計算公式，如果用字母表示，比文字敘述更簡明易記，更便于應(yīng)用。

例如：用a、b、c表示三個數(shù)，乘法分配律寫成a×（b+c）=a×b + a ×c，加法結(jié)合律寫成a+b+c=a+（b+c）。用字母表示一些圖形的周長和面積的計算公式，也很簡明易記。

例如：長方形的周長公式：c=（a+b）×2，長方形的面積公式：s=a×b，三角形的面積公式：s=a×b÷2，梯形的面積公式：s=（a+b）×h÷2。

為了書寫方便，在含有字母的式子里，數(shù)字和字母中間、字母和字母中間的乘號可以記作“.”，也可以省略不寫。但是要注意在省略乘號的時候，應(yīng)當(dāng)把數(shù)字寫在字母的前面。

以上面積公式還可以寫作：長方形的周長公式：c=2（a+b），長方形的面積公式：s=a.b，那么三角形的面積公式和梯形的面積公式還可以寫成：s=ah/2，s=1/2（a+b） h

在計算一個圖形的面積或周長時，實際上是把數(shù)值代入有關(guān)的公式，算出的結(jié)果就是它的面積或周長。例如：一個長方形的長是7.2米，寬是4。8米，它的周長和面積是多少？

二、怎樣理解方程的意義及如何解方程？

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

方程是等式里面一種特殊的形式。

例如：2X+4=16X―8=32等等都是方程，而24+15=37 9=20―11 等雖然是等式，但它們中沒有未知數(shù)，因此它們不是方程。

判斷下面各題，是方程的畫“√”不是方程的畫“×”。

①18+2X（） ②15―X=0（） ③8―X1（） ④20―4=16（）

求方程的解的過程叫做解方程。解方程的依據(jù)就是以前學(xué)過的加、減、乘、除法運算各部分之間的關(guān)系。即在學(xué)習(xí)準備中要求熟記的六道數(shù)量關(guān)系式。

例X在方程X+12=30中處于加數(shù)位置，因此解方程X+12=30的依據(jù)是：一個加數(shù)=和―另一個加數(shù)。

X+12=30 X=30―12 X=18

解方程時，先弄清“X”在什么位置，再找出解題依據(jù)。

三、怎們用方程解應(yīng)用題？

列方程應(yīng)用題，首先要分析數(shù)量關(guān)系，列出數(shù)量關(guān)系式，未知量用X代替，使它參與運算，并根據(jù)題中數(shù)量間的等量關(guān)系列出方程。通過解方程求出未知量。

例：小明買4本筆記本，付出5元，找回1.4元。每本筆記本多少元？這類有關(guān)用錢數(shù)購物的應(yīng)用題，等量關(guān)系一般為：付出的錢數(shù)―應(yīng)付的錢數(shù)=找回的錢數(shù)。

解：設(shè)每本筆記本X元，5―4X=1.4，4X=5―1.4，4X=3.6，X=0.9。

答：每本筆記本0.9元。

第8篇：方程的意義范文

關(guān)鍵詞：直線 平面 相交 方向向量 法向量

中圖分類號：G644.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）04-0024-01

1 引言

在空間中當(dāng)兩直線相交時可以唯一確定一個平面，兩相交平面又可以唯一確定一條直線，在教材[1]第三章的例子中就采用這種思想得出所求直線方程，但是此種方法很大的缺陷就是計算量過大，并且滿足條件過多，導(dǎo)致解題思路不夠明朗，對于剛接觸這門學(xué)科的學(xué)生而言，這并不是一種最好的解題思路，基于此種原因，這篇文章給出了該題的另一種解法，相較教材上的解題方法來說，新的解題方法更簡單快捷，易于理解。

2 教材[1]第三章有例題

求通過點P（1，1，1）且與兩直線L1，L2都相交的直線L的方程，

新解法：分析兩條直線L1，L2的方程，發(fā)現(xiàn)兩條直線都過同一點M={1，2，3}，且1∶2∶3≠2∶1∶4即L1，L2是空間兩條相交直線，而兩條相交直線能唯一確定一個平面，如果P點不在這個平面上，則所求直線只能過M點才能與L1，L2同時相交，且一旦知道一條直線上的兩點，根據(jù)兩點式方程即可求出所求直線方程。

解：已知L1過點M1={0，0，0}，方向向量為v1={1，2，3}，L2過點M2={1，2，3}，方向向量為v2={2，1，4}，因L1與L2都過同一點M2{1，2，3}且1∶2∶3≠2∶1∶4，則L1與L2相交，由L1與L2所確定的平面方程的法向量為：

則該平面方程為：5（x-0）+2（y-0）-2（z-0）=0，整理得：

5x+2y-2z=0，將P點帶入平面方程有5≠0，故P點不在平面上，因此所求直線L的方程為：

從上面解法中可得出求類似例題的一般解法：求過空間一點P且與兩已知直線L1，L2都相交的直線的方程時，可以先考慮這兩條已知直線是否相交，如果相交于點M，則求出所_定的平面方程，并判斷P點在不在該平面上，如果不在，則所求直線必過M點，由直線上兩點可得出所求直線的方程，且該直線唯一；如果P點在平面上，則所求直線有無數(shù)條，可利用點P和點M求出其中一條直線的方程。采用此種解題方法，不僅計算量小，且思路簡單清晰。

參考文獻：

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[2] 歐宜貴，李文雅.空間解析幾何：綜合學(xué)習(xí)與指導(dǎo)[M].北京：中國科技技術(shù)大學(xué)出版社，2009.01.

第9篇：方程的意義范文

關(guān)鍵詞：培訓(xùn)效果滿意度；結(jié)構(gòu)方程模型；影響因素

引言

職業(yè)教育培訓(xùn)是我國國民教育體系和人力資源開發(fā)的重要組成部分，是廣大青年打開通往成功成才大門的重要途徑，也是企業(yè)人力資本投資的有效途徑。目前，我國企業(yè)在人力、物力、財力以及時間等各方面對培訓(xùn)投入的力度越來越大，但是整體培訓(xùn)效果卻并不理想，培訓(xùn)效果評估的相關(guān)工作仍然處于薄弱環(huán)節(jié)。因此，對培訓(xùn)效果評估的深入探索勢在必行，極為必要。

影響培訓(xùn)滿意度的因素多種多樣，許多因素?zé)o法直接測量，這也增加了培訓(xùn)效果評估的難度。利用結(jié)構(gòu)方程模型對培訓(xùn)效果評估進行研究，可以在一個模型里展示出潛在變量和測量指標(biāo)的各類關(guān)系。

1. 研究方法和研究數(shù)據(jù)

1.1 研究方法

本文基于針對性設(shè)計的調(diào)查問卷和量表獲得數(shù)據(jù)，運用結(jié)構(gòu)方程建立模型，進行定量分析和實證研究。問卷對教學(xué)滿意度的影響因素設(shè)計了12個測量指標(biāo)，作為12個外生觀測變量，分別構(gòu)建三個潛在變量；對教學(xué)滿意度的調(diào)查設(shè)計了2個測量指標(biāo)，作為內(nèi)生觀測變量，解釋一個內(nèi)生潛在變量，命名為滿意程度，對于潛在變量之間的關(guān)系建立結(jié)構(gòu)方程全模型。本文運用統(tǒng)計軟件IBM SPSS Statistics 22保存數(shù)據(jù)，結(jié)構(gòu)方程模型軟件IBM SPSS AMOS 22編制路徑圖，采用極大似然法得到參數(shù)的估計結(jié)果。

1.2 調(diào)研過程

為了能夠?qū)ε嘤?xùn)效果進行簡捷、科學(xué)的實測，滿足學(xué)員真正的需求，得到有效的統(tǒng)計結(jié)果，本文采用了自行設(shè)計的調(diào)查量表，量表選項基于李特五級量表（Likert Scale）技術(shù)，對測量項目進行統(tǒng)計分析。

在預(yù)調(diào)查、修改調(diào)查表、模型試擬合的基礎(chǔ)上，本次調(diào)查于2014年3月在北京京城機電控股有限責(zé)任公司培訓(xùn)中心正式開展。本次調(diào)查所發(fā)放問卷，均為當(dāng)面填寫，當(dāng)場回收。調(diào)查抽樣方式基于分層抽樣和簡單隨機抽樣相結(jié)合的方法，首先按不同專業(yè)的學(xué)員進行分層，分為高層管理者、中層管理者、基層管理者和專業(yè)技術(shù)人員，在每一層內(nèi)按年齡分為25～34歲、35～44歲和45歲（含）以上三個類型，然后對每一種類型用簡單隨機抽樣的方法進行抽樣，共計發(fā)放問卷200份，獲得有效樣本194個，回收率97%。

1.3 研究數(shù)據(jù)

在文獻資料研究以及相關(guān)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，本文作者將影響培訓(xùn)效果滿意度的因素歸納為課程情況、教師情況和教學(xué)服務(wù)3個方面，即3個潛在外生變量，并且把這3個方面分別分解成了3到5個不等的指標(biāo)作為外生觀測變量，具體情況如表1。

2. 模型構(gòu)建

用Xi表示外生觀測變量，即表1中調(diào)查指標(biāo)的前12個問題，Xi ∈ {A1， …， A5， B1， …， B4， C1， …， C3}，i = 1， 2， …， 12；用ξi表示調(diào)查因素的外生潛在變量，即ξk ∈ {A， B， C}，k = 1， 2， 3；λik是第i個外生觀測變量在第k個外生潛在變量上的因子載荷；用ei（i = 1， …， 12）表示測量誤差。建構(gòu)測量方程，如下：

Xi=λikξk+eii = 1，…， 12（1）

用Yj表示內(nèi)生觀測變量，即表1中調(diào)查指標(biāo)的最后2個問題，Yj ∈ {D1， D2}，j = 1， 2；用η表示調(diào)查因素的內(nèi)生潛在變量――培訓(xùn)效果滿意程度，即η∈ {D}；μj是第j個內(nèi)生觀測變量在內(nèi)生潛在變量上的因子載荷；用dj（j = 1， 2）表示測量誤差。建構(gòu)測量方程，如下：

Yj=μjη+djj = 1， 2（2）

則，結(jié)構(gòu)方程式有：

η=Bη+Γξ+ζ（3）

其中，B為內(nèi)生潛在變量的系數(shù)，Γ=（γ1， γ2， γ3）是外生潛在變量的系數(shù)向量，ξ=（ξ1， ξ2， ξ3）T是外生潛在變量，ζ為內(nèi)生潛在變量殘差。

3.運算結(jié)果和模型評價

3.1 結(jié)構(gòu)方程路徑圖

根據(jù)前文所述模型，采用極大似然法（Maximum Likelihood Estimation， MLE）對模型參數(shù)進行估計，運行IBM SPSS AMOS 22結(jié)構(gòu)方程模型軟件，得到了完全標(biāo)準化解的輸出結(jié)果和路徑圖。路徑圖見圖1。

圖1培訓(xùn)效果滿意度的結(jié)構(gòu)方程路徑圖

3.2 模型整體擬合評價

根據(jù)AMOS對結(jié)構(gòu)方程模型的分析，表明概念模型大體通過驗證，具有理論和實證意義。

首先，各個因子載荷的絕對值大多都在0.5～1之間，都達到了0.05顯著性水平，說明，模型完全符合擬合標(biāo)準。

其次，從絕對適配度、簡約適配度和增值適配度三個方面的指標(biāo)，對擬合良好性指標(biāo)（GFI）、擬合優(yōu)度（CMIN/DF）、非常規(guī)擬合指標(biāo)（NFI）、近似均方根誤差估計（RMSEA）以及比較擬合指標(biāo)（CFI）等進行分析，發(fā)現(xiàn)本文所述的結(jié)構(gòu)方程模型具有不錯的擬合度，擬合程度較好，具有進一步分析的價值。詳見表2。

3.3 效度分析

觀測變量對潛在變量的標(biāo)準化估計參數(shù)，可以有效地反映其兩者之間的相關(guān)程度，同時也反映了潛在變量對觀測變量的解釋能力。

由圖1的培訓(xùn)效果滿意度的結(jié)構(gòu)方程路徑圖上可以看出，3個潛在變量在12個觀測變量上的標(biāo)準化因子載荷不小于0.80的有9個，根據(jù)結(jié)構(gòu)方程模型對內(nèi)容效度的相關(guān)評價原則，如果標(biāo)準化因子載荷大于0.80，那么復(fù)相關(guān)系數(shù)有：R2 > 0.5，這就是說該潛在變量可以解釋量表相應(yīng)問題的50%以上。

3.4 信度分析

一個好的結(jié)構(gòu)方程模型，必須是穩(wěn)定可靠的，這說明了調(diào)查問卷指標(biāo)是內(nèi)部一致的。本文檢驗結(jié)構(gòu)方程模型的這種內(nèi)部一致性，使用了建構(gòu)信度（Construct Reliability）檢驗。結(jié)構(gòu)方程模型的建構(gòu)信度是指潛在變量與其對應(yīng)觀測變量的一致性程度，其具體計算如下：

CR=∑λi2∑λi2+∑ei（4）

其中，CR為建構(gòu)信度，λi為觀測變量在潛在變量上的標(biāo)準化因子載荷參數(shù)，ei為是觀測變量的測量誤差。如果建構(gòu)信度較高，則表示指標(biāo)之間有高互為關(guān)聯(lián)（inter-correlated）存在。此時，可以有信心認為此次調(diào)查的指標(biāo)之間是一致的。如果信度較低，則表示其較不一致，并且對此潛在變量而言，是比較差的指標(biāo)。

雖然并沒有一個首要規(guī)則來決定到底多高的系數(shù)才能夠認為信度是好的，但相當(dāng)多的研究采用如下較為粗率的判斷原則：信度系數(shù)在0.9以上認為是“優(yōu)秀的”（Excellent）；在0.8左右，是“非常好”（Very Good）；在0.5以上，則可以接受（acceptable）[5]。

從表3可以看出，四個潛在變量的建構(gòu)信度都已達到0.5以上，在0.75左右，說明本文觀測變量與潛在變量的一致性還是較高的，觀測變量能夠較好地解釋和支持對應(yīng)的潛在變量。

4. 模型分析與結(jié)果討論

4.1 模型分析

從第3.1節(jié)的培訓(xùn)效果滿意度的結(jié)構(gòu)方程路徑圖（圖1）可以看出，對“A課程方面”影響最大的觀測變量是“A3工作適應(yīng)”和“A4教學(xué)案例”。由此可見，職業(yè)教育培訓(xùn)與高校教學(xué)是有很大不同的。參加職業(yè)教育培訓(xùn)的學(xué)員，在課程方面更關(guān)注學(xué)到的內(nèi)容是否與自己的工作相適應(yīng)，自己所面臨的情況在哪些方面可以借鑒課堂教學(xué)的案例。這也對職業(yè)教育培訓(xùn)的教師提供了參考意義，在選取課程內(nèi)容時，更接近現(xiàn)實的工作；在選用教學(xué)案例方面，應(yīng)及時更新用例情況，以便學(xué)員遷移學(xué)習(xí)。

對“B教師情況”影響最大的觀測變量是“B1備課充足”和“B3互動關(guān)系”。無論何種情況的教學(xué)培訓(xùn)，教師備課是否充足是教學(xué)成敗的關(guān)鍵性因素，也是教學(xué)態(tài)度的首要指標(biāo)。而職業(yè)教育培訓(xùn)的學(xué)員相比較而言對于互動的課堂教學(xué)更容易接受，這也是職業(yè)教育培訓(xùn)與高校教學(xué)的不同點之一。

對“C教學(xué)服務(wù)”影響最大的觀測變量是“C1教學(xué)設(shè)備”。本文作者認為，這并不是說其他教學(xué)服務(wù)人員的組織能力和服務(wù)態(tài)度對職業(yè)教育培訓(xùn)的教學(xué)服務(wù)工作不重要，而是學(xué)員更多的融入到互動關(guān)系的培訓(xùn)課堂中，對教學(xué)設(shè)備的感受更為深切，而教學(xué)服務(wù)人員在整個職業(yè)教育培訓(xùn)過程中與學(xué)員接觸較少，所以才有如此結(jié)果。

4.2 結(jié)果討論

潛在變量間完全標(biāo)準化解的矩陣形式如下：

η=0.59，0.49，0.29ABC+ζ（5）

根據(jù)第（5）式可以得出，“A課程方面”對培訓(xùn)效果滿意度的影響最大。與基礎(chǔ)教育、高等學(xué)校教育相比，職業(yè)培訓(xùn)教育的學(xué)員更加理性，更關(guān)注課程相關(guān)內(nèi)容。因此，若要取得好的培訓(xùn)效果，職業(yè)教育培訓(xùn)師應(yīng)努力提高課程相關(guān)內(nèi)容，使得學(xué)員收益最大，效果最佳。這對職業(yè)教育培訓(xùn)教師也提出了較高的要求。

5. 結(jié)語

本文根據(jù)結(jié)構(gòu)方程模型原理，針對職業(yè)教育培訓(xùn)效果滿意度的問題，提出了課程相關(guān)、教師情況、教學(xué)服務(wù)情況3個外生潛在變量，以及12個外生觀測變量作為度量；發(fā)放調(diào)查問卷并進行有效回收，運用統(tǒng)計軟件IBM SPSS Statistics和AMOS對調(diào)查數(shù)據(jù)進行模型構(gòu)建、模型計算和評價，以及模型分析和結(jié)果討論。本文所構(gòu)建的結(jié)構(gòu)方程模型為職業(yè)教育培訓(xùn)滿意度的研究提供理論參考，所得結(jié)果對職業(yè)教育培訓(xùn)師的課堂教學(xué)質(zhì)量和效果評價具有參考價值。

（作者單位：北京京城機電控股有限責(zé)任公司培訓(xùn)中心）

參考文獻：

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[2]廖穎林. 構(gòu)成型顧客滿意模型的偏最小二乘路徑建模及其應(yīng)用 [J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理， 2009，28（1）.

[3]陳必勝. 結(jié)構(gòu)方程模型分析影響教學(xué)滿意度因素 [J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報， 2009，（4）.