高中數(shù)學(xué)求最大值的方法精選(九篇)

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第1篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題技巧；解題思維

在新課標(biāo)的改革中，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、加強(qiáng)學(xué)生的解題能力、加強(qiáng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中舉一反三的能力越來(lái)越受到重視。尤其是在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，以上各方面的能力培養(yǎng)就顯得更加重要。而能力的培養(yǎng)又非一朝一夕能實(shí)現(xiàn)的，這就需要教師不斷督促學(xué)生完成能力的培養(yǎng)，在傳授基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程中，注重學(xué)生應(yīng)變能力的培養(yǎng)。下面將介紹幾種常用的解題技巧。

一、換元法

在很多求最大值或者最小值的題目中，如果利用尋常的不等式的解法，很難求出一些題目的答案，但是如果轉(zhuǎn)變思路，利用三角函數(shù)換元進(jìn)行計(jì)算，或許能夠使計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便很多。

如，已知a2+b2=4，x2+y2=9，求ax+by的最大值。

解法如下：由a2+b2=4，可以聯(lián)想到（2cosα）2+（2sinα）2=4，因此可設(shè)a=2cosα，b=2sinα，由x2+y2=9，可以聯(lián)想到（3cosβ）2+（3sinβ）2=9，因此可設(shè)x=3cosβ，y=3sinβ.

于是ax+by=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β）≤6。又當(dāng)α-β=2kπ（k=1，2，3…）時(shí)，上式中等號(hào)成立，即ax+by的最大值是6。

二、比較系數(shù)法

比較系數(shù)法也就是教師們經(jīng)常說(shuō)的觀察法。在運(yùn)用這個(gè)方法的時(shí)候，需要學(xué)生的觀察力足夠敏銳，通過(guò)觀察恒等式左右兩邊的系數(shù)，找出其中的聯(lián)系，從而建立若干個(gè)方程，將其聯(lián)立，從而解出未知數(shù)。

三、特殊值法

這是一種比較少用但卻很好用的方法，一般不建議使用。但對(duì)于對(duì)公式比較敏感的成績(jī)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是一種比較節(jié)省時(shí)間的方法。在恒等式中帶入特定的數(shù)字，令式子左右相等，從而得到系數(shù)間的關(guān)系，聯(lián)立方程組并求解。

在眾多高中學(xué)科中，數(shù)學(xué)可以說(shuō)是相當(dāng)有難度的。為了不使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由于學(xué)習(xí)效果不佳而產(chǎn)生逆反心理，教師就要在此過(guò)程中注意培養(yǎng)學(xué)生良好的思維方式，注重學(xué)生對(duì)解題技巧的把握，在教學(xué)中滲透多角度看問(wèn)題的思想，讓學(xué)生能做到“舉一反三”。此過(guò)程中，教師適量地布置習(xí)題并及時(shí)地進(jìn)行解答也是很有必要的。教師要積極跟隨時(shí)代的要求，積極引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)思考的習(xí)慣，這是新形勢(shì)下對(duì)教師提出的考驗(yàn)。

第2篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)分析思想；解題技巧；應(yīng)用研究

數(shù)學(xué)分析思想是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的關(guān)鍵，能夠幫助學(xué)生合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，逐漸形成完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維。高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，而目前很多高中學(xué)生只會(huì)做題，對(duì)題目背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法理解不夠透徹，同一題型盲目套用同一種解題方法，缺乏創(chuàng)新能力。所以，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)有創(chuàng)新意識(shí)、邏輯思維能力強(qiáng)的人才，必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)分析思想的教育。

一、高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想的意義

（一）開(kāi)拓學(xué)生的思維潛能

通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想，充分發(fā)散思維，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，解決引申、變通出來(lái)的習(xí)題，真正將知識(shí)為己所用，從而拓寬學(xué)生的解題思路，開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維潛能，讓學(xué)生的思維更靈活，更有創(chuàng)造性。

（二）提高學(xué)生的觀察能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要學(xué)生要有較強(qiáng)的觀察能力，數(shù)學(xué)分析思想能讓學(xué)生養(yǎng)成好的觀察習(xí)慣，透過(guò)數(shù)學(xué)習(xí)題表面，挖掘其中潛藏的數(shù)學(xué)原理，將理論知識(shí)與實(shí)踐聯(lián)系起來(lái)，繼而解決實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)清事物的本質(zhì)。

（三）提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果

在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)學(xué)分析思想能夠激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有效促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的進(jìn)一步提高。

二、數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的實(shí)踐運(yùn)用

高中數(shù)學(xué)解題常用的數(shù)學(xué)分析思想有類(lèi)比與歸納、逆向思維、化歸思想、整體思想四種。

（一）類(lèi)比與歸納思想

類(lèi)比與歸納思想是指在解題時(shí)通過(guò)對(duì)比形式或本質(zhì)相近的事物，從中歸納、總結(jié)出共同點(diǎn)，訓(xùn)練解題技能，是高中數(shù)學(xué)解題最常用的一種數(shù)學(xué)思想。函數(shù)題計(jì)算中運(yùn)用類(lèi)比與歸納思想，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，避免學(xué)生盲目做題。比如題目cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n），分析題目可以發(fā)現(xiàn)，等式的左邊有一定規(guī)律，符合2sinx/2cosx/2=sinx，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)左邊等式可以變形為2sinx/2ncosx/2n=sinx/2n-1，繼續(xù)替換、計(jì)算后，等式左邊與原等式右邊一樣，都是sinx/（2n?sinx/2n），可以證明出cosx/2?cosx/22?cosx/23…cosx/2n=sinx/（2n?sinx/2n）。

（二）逆向思維

逆向思維是數(shù)學(xué)思維中最重要的思維方式之一，適用于題型比較復(fù)雜，正面解題困難，運(yùn)算量較大的題目中。以題目“已知a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，求解c的值”為例，學(xué)生在解這道題時(shí)往往會(huì)通過(guò)配方消元的方法來(lái)解出c的值，但這道題目含有許多未知元素，用配方消元來(lái)解的話(huà)需要大量運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程也相對(duì)比較復(fù)雜，這時(shí)可以運(yùn)用逆向思維分析題目，提高解題效率。題目中已經(jīng)有了a，b，c的等量關(guān)系，從逆向思考一元二次方程的定義，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0，得出方程的解就是a和b，然后再通過(guò)韋達(dá)定理可以得出a與b的和為1，a與b的積為-c/2，題干中已經(jīng)給出條件a-b=c，此時(shí)就能快速計(jì)算出這道題的答案。高中數(shù)學(xué)題中也比較常遇見(jiàn)這種題型：求5-52-53-54-55-56-57-58-59+510的結(jié)果，在計(jì)算此類(lèi)型題目時(shí)，一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的計(jì)算既浪費(fèi)時(shí)間，也很容易算錯(cuò)，而運(yùn)用逆向思維， 從右到左利用5n-5n-1=5n-1的規(guī)律來(lái)計(jì)算，可以快速得出結(jié)果，大大提高做題效率。

（三）化歸思想

化歸思想是指在解題時(shí)將一些復(fù)雜的、難解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成容易解決的問(wèn)題，其核心觀點(diǎn)就是化難為易，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為已知的?；瘹w思想最重要的就是如何尋求化歸方法，確定明確化歸目標(biāo)，以2010年江蘇理科高考數(shù)學(xué)題“設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，求x3/y4的最大值”為例，直接解題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題形式不易構(gòu)造，計(jì)算很花時(shí)間，所以需要等價(jià)轉(zhuǎn)化，將x3/y4轉(zhuǎn)換為（x2/y）2?1/xy2，由題目可知，3≤xy2≤8，4≤x2/y≤9，所以1/8≤1/xy2≤1/3，16≤（x2/y）2≤81，可以得出2≤x3/y4≤27，x3/y4的最大值為27。也就是指，化歸思想要將高次轉(zhuǎn)為低次，多元轉(zhuǎn)為一元，三維轉(zhuǎn)向二維，以實(shí)現(xiàn)由難到易的轉(zhuǎn)換。

（四）整體思想

高中數(shù)學(xué)題經(jīng)常會(huì)整合課本知識(shí)，從另一角度考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，整體思想就是讓學(xué)生立足整體，綜合運(yùn)用已經(jīng)學(xué)到的知識(shí)解決未知問(wèn)題。比如求tan15°+tan15°tan60°的值，課本沒(méi)有直接給出tan15°的值是多少，但根據(jù)三角函數(shù)公式，可以計(jì)算將題目整體變形，計(jì)算出答案。

三、總結(jié)

高中數(shù)學(xué)題看似復(fù)雜，計(jì)算困難，但歸根究底仍是對(duì)課本知識(shí)的變相考察，這就需要學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)分析思想，并在解題時(shí)能綜合運(yùn)用整體思想、化歸思想、類(lèi)比與歸納思想、逆向思維等數(shù)學(xué)分析思想，加快解題速度，提高學(xué)習(xí)效率。

【⒖嘉南住

[1]麥康玲.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 科教文匯（下旬刊），2015.05：110-111

[2]李明銳.數(shù)學(xué)分析思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2016.10：16

第3篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；選擇題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6

高中數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要階段，學(xué)生的很多重要基礎(chǔ)都開(kāi)始在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段開(kāi)始掌握，與初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相比，高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求更高，已經(jīng)脫離了小學(xué)、初中階段直來(lái)直去的思維方式，開(kāi)始出現(xiàn)思維方法上的要求，很多高中題型，存在著一題多解的現(xiàn)象，簡(jiǎn)便的方法可以讓學(xué)生節(jié)約答題時(shí)間，提高成績(jī)，而如何尋找到簡(jiǎn)便方法，就牽涉到了數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維，其中，數(shù)形結(jié)合法就是高中階段學(xué)生必須掌握的一種數(shù)學(xué)方法，也是高中階段考察的重點(diǎn)，尤其是在選擇題中容易出現(xiàn)需要學(xué)生特別的掌握。

有效地運(yùn)用圖形結(jié)合法，可使問(wèn)題由復(fù)雜變得簡(jiǎn)單，抽象變得具體，進(jìn)而便于學(xué)生們接受和理解[1]

一、以數(shù)助形，簡(jiǎn)潔直觀

對(duì)于一些比較復(fù)雜的圖形，若果單純從幾何的方面去考慮，可能繞來(lái)繞去，陷入了困境，這時(shí)候可以考慮將圖形條件適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)化，根據(jù)題意要求，把“形”的特征正確的表達(dá)成為“數(shù)”的性質(zhì)，進(jìn)行解題。[2]

例1：（2010全國(guó)卷1文數(shù)）已知圓 的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線(xiàn)，A、B為兩切點(diǎn)，那么 的最小值為（）

A． B．C． D．

思路解析：如圖所示：設(shè)PA=PB=,∠APO= ,則∠APB= ，PO= ， ，

= = = ，令 ，則 ，即 ，由 是實(shí)數(shù)，所以

， ，解得 或 .故 .此時(shí) .

二、以數(shù)轉(zhuǎn)形，直觀深刻

在處理到代數(shù)問(wèn)題時(shí)，并不像面對(duì)幾何問(wèn)題那樣很容易的就想到數(shù)形的轉(zhuǎn)化,若不借助形的輔助往往會(huì)事倍功半,陷入題海無(wú)法自拔。[3]相反，如果善于借助圖形簡(jiǎn)潔直觀的特點(diǎn)，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形，有助于尋找突破口。

例2：方程 的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

畫(huà)出 在同一坐標(biāo)系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內(nèi)遞增， ，所以 和 的圖象應(yīng)該有三個(gè)交點(diǎn)。

例3. 定義在 上的函數(shù) 在 上為增函數(shù)，且函數(shù) 的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為 ，則（）

A. B.

C. D.

解： 的圖象是由 的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知 的圖象關(guān)于直線(xiàn) （即 軸）對(duì)稱(chēng)，故可推知， 的圖象關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，由 在 上為增函數(shù)，可知 在 上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。

實(shí)際上，在高中數(shù)學(xué)里面，經(jīng)常會(huì)遇到關(guān)于方程（組）解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，如果通過(guò)正面不好計(jì)算，都可以考慮數(shù)形結(jié)合去求解。

例4. 函數(shù)u＝ 的最值是（）．

A. 最大值為2 ，最小值為2 B. 最大值為3 ，最小值為2

C. 最大值為6 ，最小值為3 D. 最大值為10 ，最小值為2

分析：觀察得2t+4+2(6－t)＝16，若設(shè)x= ，y= ，則有x2+2y2=16，再令u=x+y則轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系問(wèn)題來(lái)解決．

解：令 ＝x,=y, 則x2+2y2=16, x≥0, y≥0, 再設(shè)u=x+y, 由于直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)隨著u的變化而變化，易知，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓相切時(shí)截距u取得最大值，過(guò)點(diǎn)(0，2 )時(shí)，u取得最小值2 ， 解方程組 ，得3x2－4ux+2u2－16=0,

令=0, 解得u=±2 .

所以u(píng)的最大值為2 ，最小值為2選A

例5. 已知A（1，1）為橢圓 =1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)

求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值是（）

A.B.

C. D.

解：將原方程化為

，且

令 ，它表示傾角為 的直線(xiàn)系，

令 ，它表示焦點(diǎn)在 軸上，頂點(diǎn)為 的等軸雙曲線(xiàn)在 軸上方的部分，

原方程有解

兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖知 或

的取值范圍為 選A

例6：某單位共有員工50名，為了鍛煉員工的身體素質(zhì)，單位組織員工參加體育活動(dòng)小組，已知員工每人至少參加一個(gè)體育活動(dòng)項(xiàng)目小組，參加跑步、跳高、羽毛球小組的人數(shù)分別為27、26、16，同時(shí)參加跑步、跳高小組的9 人，同時(shí)參加跑步、羽毛球小組的7 人，同時(shí)參加跳高、羽毛球小組的人數(shù)為8，問(wèn)：同時(shí)參加跑步、跳高、羽毛球小組的有（ ）人

A.1B.2 C.3D.5

思路解析：本題屬于典型的集合問(wèn)題，如果單純根據(jù)題意里面的數(shù)量關(guān)系去解答，非常容易出現(xiàn)混亂，但是如果借助于文氏圖，則關(guān)系一目了然。

我們用三個(gè)圓來(lái)表示跑步、跳高、羽毛球小組的人數(shù)，分別是A、B、C，通過(guò)下圖我們可以觀察的到，三個(gè)圓兩兩相交，相交重合的的地方就是表示共同參加活動(dòng)的人數(shù)部分，同時(shí)參加跳高、羽毛球小組的人數(shù)就是三個(gè)圓共同的交集。如果用n表示集合的元素,則有：

n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)=50

即27 +26+16−9−7−8+n(A∩B∩C)=50；故n(A∩B∩C)=5, 同時(shí)參加跑步、跳高、羽毛球小組的有5人 選D

結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的一種思維方法，通過(guò)“數(shù)”與“形”，“形”與“數(shù)”的互相轉(zhuǎn)換去解決問(wèn)題，讓抽象的圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)潔明了的代數(shù)關(guān)系，讓復(fù)雜的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀的幾何圖形關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化，可以有效地開(kāi)拓思路，找到簡(jiǎn)明的解題思路，

參考文獻(xiàn)：

[1] 宋端坤. 淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究, 2013,(21) .

第4篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

[關(guān)鍵詞]抽象函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性

1 前言

高中數(shù)學(xué)課程中抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性是非常重要的章節(jié)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性掌握的要求也越來(lái)越高。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中我們要不斷進(jìn)行抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究，才能對(duì)單調(diào)性與奇偶性的掌握更加?jì)故臁?/p>

2 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的重要性

函數(shù)的單調(diào)性這一性質(zhì)學(xué)生在初中所學(xué)函數(shù)中曾經(jīng)了解過(guò)，但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降，而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去刻畫(huà)它。這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，因此要在概念的形成上重點(diǎn)下功夫。單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的，許多學(xué)生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明，也沒(méi)有意識(shí)到它的重要性，所以單調(diào)性的證明自然就是教學(xué)中的難點(diǎn)。

3 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

3.1 學(xué)生沒(méi)有掌握數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。但大部分學(xué)生并沒(méi)有這種習(xí)慣和意識(shí)，沒(méi)有掌握數(shù)形結(jié)合的正確方法。而函數(shù)的單調(diào)性?xún)H依靠學(xué)生的想象是難以理解的，沒(méi)有這種正確的學(xué)習(xí)方法會(huì)極大地阻礙學(xué)生的學(xué)習(xí)。

3.2 對(duì)定義域的理解較為抽象。定義域作為函數(shù)中非常重要的一個(gè)組成部分，在函數(shù)單調(diào)性中的作用不可忽視。定義域往往決定了函數(shù)的單調(diào)性，但學(xué)生對(duì)定義域的理解較為抽象，沒(méi)有深刻領(lǐng)悟到定義域的內(nèi)涵和其對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的重要作用。例如：已知函數(shù)f（x2）的定義域?yàn)?1≤x≤1，求函數(shù)f（x）的定義域。在這種復(fù)合函數(shù)中，學(xué)生難以理解定義域，難以得到正確的答案，也就無(wú)法進(jìn)一步確定函數(shù)的單調(diào)性。

3.3 奇偶性的判斷。若定義域不對(duì)稱(chēng)，則為非奇非偶函數(shù)；若定義域?qū)ΨQ(chēng)，則有成為奇（偶）函數(shù)的可能，到底怎樣，取決于數(shù)量關(guān)系，f（-x）=±f（x）怎樣成立？若，f（-x）=f（x）成立，則為偶函數(shù)；若，f（-x）=-f（x）成立，則為奇函數(shù)；若，f（-x）=±f（x）成立，則為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；若f（-x）=±f（x）都不成立，則為非奇非偶函數(shù)。

4 高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究

4.1 判斷單調(diào)性和奇偶性。

4.1.1 判斷單調(diào)性。根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫(huà)出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問(wèn)題迅速獲解。

例1：如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且有最小值為5，那么f（x）在區(qū)間[-7，-3]上是（ ）。

A、增函數(shù)且最小值為B、增函數(shù)且最大值為

C、減函數(shù)且最小值為D、減函數(shù)且最大值為

分析：畫(huà)出滿(mǎn)足題意的示意圖，易知選B。

4.1.2 判斷奇偶性。根據(jù)已知條件，通過(guò)恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f（x）與，（-x）的關(guān)系。

例2：若函數(shù)y=f（x）（f（x）≠0）與y=-f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，判斷：函數(shù)y=f（x）是什么函數(shù)。

解：設(shè)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)為P（x0，y0），y=f（x）與y=-f，（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P（x0，y0）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（-x0，-Y0）在y=f（x）的圖象上，-Y0=-f（-x0） y0=f（-x0），又Y0=-f（x0）f（-x0）=f（x0）。即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意x都有f（-x）=f（x），所以y=f（x）是偶函數(shù)。

4.2 求參數(shù)范圍。這類(lèi)參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f’符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。

4.3 不等式。①解不等式。這類(lèi)不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f’，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。②討論不等式的解。求解這類(lèi)問(wèn)題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。

4.4 比較函數(shù)值大小。利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)，將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后，利用其單調(diào)性使問(wèn)題獲解。

第5篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo)；高中數(shù)學(xué)；習(xí)題教學(xué)；探析

數(shù)學(xué)習(xí)題作為數(shù)學(xué)知識(shí)要義、教師教學(xué)意圖以及教材目標(biāo)要求等方面的有效“承載”和生動(dòng)“代言”，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)程中占據(jù)不可替代的重要地位，并在助推教學(xué)進(jìn)程中發(fā)揮著積極顯著的深刻功效。課堂之中的習(xí)題教學(xué)，表面看似解題思路和方法的探求過(guò)程，實(shí)際上貫徹著教學(xué)的目標(biāo)要求、滲透著先進(jìn)的教學(xué)理念、體現(xiàn)著教者的教學(xué)技能、執(zhí)行著能力培養(yǎng)的要旨。讓學(xué)生在習(xí)題教學(xué)中提升解決問(wèn)題的技能，在習(xí)題探析中實(shí)現(xiàn)能力素養(yǎng)的升華，是新課程改革背景下，高中數(shù)學(xué)課堂教師習(xí)題教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。鑒于上述的認(rèn)知和感悟，本人現(xiàn)簡(jiǎn)要闡述新課標(biāo)背景下的高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施。

一、抓住教材知識(shí)要義，實(shí)施互動(dòng)式習(xí)題教學(xué)

教師在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)進(jìn)程中的重要目的之一就是鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、強(qiáng)化已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。具備堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)根基、良好的數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)，是學(xué)生主體有效認(rèn)知數(shù)學(xué)問(wèn)題、正確解決問(wèn)題、提高解體技能的重要前提和知識(shí)保障。教育運(yùn)動(dòng)學(xué)認(rèn)為，教師與學(xué)生之間應(yīng)該是雙向、互動(dòng)、交流的發(fā)展過(guò)程，師生只有深入其中、積極配合，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)與教之間的科學(xué)融合，有機(jī)統(tǒng)一。筆者以為，教師習(xí)題教學(xué)應(yīng)成為師與生深入互動(dòng)、深刻交流的“橋梁”，應(yīng)成為鞏固強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)素養(yǎng)的重要“階梯”。因此，高中數(shù)學(xué)教師習(xí)題教學(xué)，不能好高騖遠(yuǎn)，將解題技能培養(yǎng)作為唯一要?jiǎng)?wù)，而應(yīng)該重視基礎(chǔ)工作和要點(diǎn)教學(xué)，通過(guò)開(kāi)展師與生之間的深刻互動(dòng)活動(dòng)，深入挖掘數(shù)學(xué)習(xí)題中隱含和呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，及時(shí)回顧和復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題有效解答和數(shù)學(xué)知識(shí)升華的完美統(tǒng)一。

如“兩條直線(xiàn)位置關(guān)系判定”一節(jié)課教學(xué)中，教師在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，設(shè)置了“已知兩直線(xiàn)l1：x+ysinθ-1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，試求θ的值，使得兩直線(xiàn)平行和垂直”習(xí)題，組織高中生開(kāi)展習(xí)題解答活動(dòng)。教師抓住鞏固練習(xí)習(xí)題在強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)方面的積極功效，將復(fù)習(xí)該節(jié)課數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容作為重要任務(wù)之一，引導(dǎo)高中生開(kāi)展該習(xí)題條件及要求的認(rèn)知和解析活動(dòng)，高中生通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題條件感知活動(dòng)，認(rèn)識(shí)到該習(xí)題主要考察“對(duì)兩條直線(xiàn)的垂直和平行的判定”。此時(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)進(jìn)行相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的回頭看活動(dòng)，組織高中生對(duì)已學(xué)的“兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系判定內(nèi)容以及已知三角函數(shù)值求角的大小”等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的要義以及注意事項(xiàng)等方面進(jìn)行全面深刻的研習(xí)和鞏固，并結(jié)合問(wèn)題條件獲取該習(xí)題的解題思路。教師針對(duì)高中生認(rèn)知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)情進(jìn)行及時(shí)的鞏固和強(qiáng)化補(bǔ)充。在此習(xí)題教學(xué)進(jìn)程中，高中生不僅以題為媒，由此及彼，實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的及時(shí)鞏固強(qiáng)化，同時(shí)還對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題解析思路有了深刻認(rèn)知，效果顯著。

二、注重探究過(guò)程指導(dǎo)，實(shí)施探究式習(xí)題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程改革實(shí)施綱要強(qiáng)調(diào)指出：“學(xué)科教學(xué)的根本出發(fā)點(diǎn)和落點(diǎn)是學(xué)生主體能力素養(yǎng)的培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生探究、思維、實(shí)踐等方面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，是教師課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一，教學(xué)工作者應(yīng)在教學(xué)進(jìn)程中予以深入貫徹和有效落實(shí)?！绷?xí)題教學(xué)作為課堂教學(xué)不可或缺的實(shí)踐活動(dòng)之一，就必須將學(xué)生主體的動(dòng)手操作、推理分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)融入其中，在探究式習(xí)題教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題能力的提升和進(jìn)步。教師講解高中數(shù)學(xué)習(xí)題，既要重視解題策略傳授，更要強(qiáng)化探究過(guò)程教學(xué)，有意識(shí)的延伸習(xí)題思路探知、問(wèn)題解題方法辨析、數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程展示等環(huán)節(jié)進(jìn)程，并讓高中生滲透和參與其中，親身參與、親自探知，成為現(xiàn)場(chǎng)“當(dāng)事人”，在深入有效探究解析中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題能力的錘煉和提升。

問(wèn)題：已知二次函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（0）=1和f（x+1）-f（x）=f（2x），試求出f（x）和f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值。

高中生分析習(xí)題條件，指出：“該問(wèn)題主要考查關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值運(yùn)用”。

教師組織高中生結(jié)合習(xí)題要求，進(jìn)行合作探究分析活動(dòng)，高中生探究獲取解題思路：“設(shè)f（x）=ax2+bx+c；則f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，求出a，b，c相應(yīng)的值從而求出f（x）的解析式。要求最小值和最大值，可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方，結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性分別求出涵數(shù)的最值。

教師根據(jù)高中生解析思路予以評(píng)點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)指出：“本題主要利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式以及最值的求解，要注意所給區(qū)間的單調(diào)性?！?/p>

高中生依據(jù)教師指點(diǎn)，補(bǔ)充完善進(jìn)行解題活動(dòng)。

三、凸顯評(píng)判促進(jìn)功效，實(shí)施反思式習(xí)題教學(xué)

筆者在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)課觀摩中發(fā)現(xiàn)，有極少數(shù)教師習(xí)題講解往往止步于解題方法的規(guī)律，而沒(méi)有對(duì)學(xué)生主體在解析習(xí)題中的成效予以點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)，不利于高中生良好解題方法和習(xí)慣的養(yǎng)成和形成。教育學(xué)認(rèn)為，教師的主導(dǎo)作用應(yīng)通過(guò)“導(dǎo)”的活動(dòng)予以呈現(xiàn)。因此，高中數(shù)學(xué)教師開(kāi)展習(xí)題教學(xué)，要充分利用評(píng)價(jià)教學(xué)所表現(xiàn)出來(lái)的指導(dǎo)促進(jìn)功效，將解題過(guò)程評(píng)價(jià)作為習(xí)題教學(xué)有效延伸和生動(dòng)補(bǔ)充，通過(guò)評(píng)判手段，引導(dǎo)高中生深刻思考解題得失、思路優(yōu)劣、表現(xiàn)好差，從而促進(jìn)高中生更加深入的自我反思和深刻剖析，在師與生的共同作用下形成良好解題習(xí)慣。

除此之外，高中數(shù)學(xué)教師開(kāi)展習(xí)題講解，還要利用數(shù)學(xué)習(xí)題發(fā)散特性，舉一反三，設(shè)置多樣性、發(fā)散性的數(shù)學(xué)習(xí)題，引導(dǎo)高中生深入思考研習(xí)，錘煉和培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力。

【參考文獻(xiàn)】

第6篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；恒成立；轉(zhuǎn)化；最值

恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一類(lèi)重要題型，很多函數(shù)問(wèn)題都需轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題才可解決。該類(lèi)問(wèn)題有較高的綜合性和靈活性，往往通過(guò)一道綜合試題即可全面考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的能力，考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和敏捷性。本文將探討解決恒成立問(wèn)題的如下三種策略：二次函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問(wèn)題（利用數(shù)形結(jié)合的方法解決）；分離變量法――轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；構(gòu)造函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值。

一、二次函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的問(wèn)題（利用數(shù)形結(jié)合的方法解決）

二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中解決函數(shù)問(wèn)題最重要的工具之一，在恒成立問(wèn)題中，有許多問(wèn)題本身就是或可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)恒成立問(wèn)題。所以二次函數(shù)恒成立問(wèn)題是恒成立問(wèn)題中的一個(gè)重點(diǎn)。而解決二次函數(shù)恒成立問(wèn)題的專(zhuān)屬方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)已知畫(huà)二次函數(shù)圖象列代數(shù)式。雖然二次函數(shù)恒成立問(wèn)題作為一類(lèi)特殊的恒成立問(wèn)題，也可以用后面總結(jié)的方法解決，但該方法體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想，所以在此將其作為一種方法介紹。

綜上所知，a的取值范圍是[-7，2]。

該方法的核心思想是數(shù)形結(jié)合，關(guān)鍵是根據(jù)已知畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，而難點(diǎn)也是根據(jù)畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，然后根據(jù)圖象一般從開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱(chēng)軸和特殊點(diǎn)函數(shù)值四個(gè)方面列式。要正確利用該方法解題，需做好以下兩方面：（1）畫(huà)圖一般要分類(lèi)討論，而在分類(lèi)時(shí)要做到“不重復(fù)，不遺漏”，即盡量避免重復(fù)，而絕不能少考慮情況；（2）數(shù)形結(jié)合要做利用好圖的直觀性和數(shù)的精確性，即畫(huà)圖要有代表性并且相對(duì)準(zhǔn)確。

二、分離變量法――轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

分離變量法是將主變量和參數(shù)分離，用主變量表示參數(shù)，一般將命題轉(zhuǎn)化為“在某個(gè)區(qū)間D上，a≤f（x）或a≥f（x）（其中x為主變量，a為參數(shù)）”的形式，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值或最小值”，則a小于等于函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最小值或a大于等于函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值。例如下題：

三、構(gòu)造函數(shù)法――轉(zhuǎn)化為求含參函數(shù)的最值

構(gòu)造函數(shù)法是通過(guò)構(gòu)造含參函數(shù)y=f（x），將命題轉(zhuǎn)化為“在某個(gè)區(qū)間D上，f（x）≥0或f（x）≤0”的形式，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)f（x）在區(qū)間D上的最大值或最小值”，則通過(guò)解不等式“最小值大于等于0或最大值小于等于0”求解參數(shù)的范圍。

綜上所知，a的取值范圍是（-∞，e）

構(gòu)造函數(shù)法是解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法，在高中階段恒成立問(wèn)題幾乎都可用構(gòu)造函數(shù)法解決，即通過(guò)構(gòu)造含參函數(shù)，求其最值，然后解不等式。一般情況下它不如分離參數(shù)法簡(jiǎn)便，因?yàn)榍蠼庾钪禃r(shí)一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，操作更為復(fù)雜，例如例3，而例3也可用分離參數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)便一些。若將第（2）問(wèn)的條件變?yōu)閤∈[-1，+∞），則分離參數(shù)就不易操作了，所以本方法更具一般性。

第7篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

關(guān)鍵詞：填空題；解答效率；路徑

一、理論角度詮釋提升高中數(shù)學(xué)填空題的方法

一般來(lái)說(shuō)解決的方法有：直接法：從問(wèn)題出發(fā)，利用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)定理、公式、定義等，經(jīng)過(guò)問(wèn)題處理或者知識(shí)遷移進(jìn)行推理計(jì)算出問(wèn)題的答案；特殊化法：在解答的時(shí)候就可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值進(jìn)行解析，這樣也能得到答案。另外，還有一種數(shù)形結(jié)合思想，就是把含有數(shù)學(xué)幾何中的問(wèn)題，依據(jù)給出的已知條件畫(huà)出相應(yīng)的圖形，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解答中數(shù)中有形，做到以形助數(shù)。除上面論述外，還有等價(jià)轉(zhuǎn)化法/構(gòu)造法和分析法等。

二、提升高中數(shù)學(xué)填空題解答效率的經(jīng)典案例探究

經(jīng)典案例1：如下圖在坐標(biāo)系中表達(dá)的數(shù)量關(guān)系，A1，A2，B1，B2是■+■=1（a>b>0）這個(gè)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，其中圖上點(diǎn)F表示的就是橢圓的右焦點(diǎn)，T點(diǎn)就是A1B2與B1F兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，線(xiàn)段OT與橢圓的交點(diǎn)恰為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求離心率（ ）。

對(duì)于橢圓來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)對(duì)其考查的內(nèi)容和形式都是十分頻繁的，并且有的時(shí)候會(huì)牽扯到其他知識(shí)點(diǎn)，這需要學(xué)生必須給予重視。針對(duì)本案例考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，需要學(xué)生對(duì)橢圓有一個(gè)全面的認(rèn)知，因?yàn)榇嗽囶}主要考查的內(nèi)容包括橢圓的基本性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率的計(jì)算以及直線(xiàn)的方程等，這就可以運(yùn)用直接法進(jìn)行解答。

直線(xiàn)A1B2的方程為：■+■=1；

直線(xiàn)B1F的方程為：■+■=1。

二者聯(lián)立解得：T（■，■），

則M（■，■）在橢圓■+■=1（a>b>0）上，

■+■=1，c2+10ac-3a2=0，e2+10e-3=0，

解得：e=2■-5。

經(jīng)典案例2：若AB=2，AC=■BC，求SABC的最大值。

從題干中可以看出，問(wèn)題主要考查的知識(shí)點(diǎn)就是關(guān)于三角形的面積、余弦定理以及函數(shù)等，可以說(shuō)是一道比較具有綜合性的考題。按照常規(guī)的解題思維來(lái)求解的話(huà)，計(jì)算量比較大，并且由于給出的數(shù)字關(guān)系量很難得出正確答案。我們就可以換個(gè)角度去思考，選擇轉(zhuǎn)換值代入法進(jìn)行解析。高中數(shù)學(xué)考查的試題當(dāng)中，如果有的量是未知的或者是不確定的，不是觀察或者找到的，但問(wèn)題的最終答案又是一個(gè)定值的話(huà)，不妨采取將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置等來(lái)處理，這樣就很容易找到問(wèn)題的切入點(diǎn)來(lái)解答問(wèn)題了。

設(shè)BC=x，則AC=■x，

根據(jù)面積公式得SABC=■AB?BCsinB=x■，

根據(jù)余弦定理得cosB=■=■=■，

代入上式得SABC=x■=■，

由三角形三邊關(guān)系有■，

解得2■-2

故當(dāng)x=2■時(shí)，SABC取得最大值2■。

經(jīng)典案例3：將邊長(zhǎng)為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線(xiàn)剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=■，則S的最小值是______。

針對(duì)高中的復(fù)雜填空題，特別是牽扯到一些較為繁雜的三角函數(shù)、幾何知識(shí)的時(shí)候。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，可以巧用圖形就行求解，圖形可以很直觀很簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)問(wèn)題，然后依據(jù)圖形就可以很簡(jiǎn)便地得出問(wèn)題答案了。本題給出的已知條件較少，看上去問(wèn)題很簡(jiǎn)便，但是不易下手，這就可以勾畫(huà)相關(guān)的圖形來(lái)輔助解題。

如圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，EF∥BC，四邊形BCFE為梯形；設(shè)AE=x（0

S=■=■ （0

對(duì)S（x）求導(dǎo)，令S′（x）=0，聯(lián)系0

所以x=■時(shí)S（x）有最小值S（■）=■。

經(jīng)典案例4：已知3f（2x2-1）+2f（1-2x2）=4x2，求f（x）是（ ）

從題目來(lái)看，比較復(fù)雜，按照傳統(tǒng)的按部就班的思想解題的話(huà)，計(jì)算量較大并且不易求解。利用化歸思想，就可以化繁為簡(jiǎn)，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)易問(wèn)題的處理方法，從而求解。具體來(lái)說(shuō)，從給出的已知信息來(lái)看，可以令2x2-1=y則原式就可以簡(jiǎn)單地轉(zhuǎn)化為3f（y）+2f（-y）=2y+2，再由新條件等式中f（y），f（-y）的特殊關(guān)系，再等式以-y代y，會(huì)得到另一個(gè)關(guān)于f（y），f（-y）的等式，最后我們通過(guò)解方程組求得f（x）。這樣就可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的成功轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化了問(wèn)題分析和計(jì)算的過(guò)程。

解：令2x2-1=y，

原式為：3f（y）+2f（-y）=2y+2，

以-y代y

得：3f（-y）+2f（y）=-2y+2，

則■

3×①-2×②，得f（y）=2y+■，

即f（x）=2x+■。

參考文獻(xiàn)：

第8篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

一、運(yùn)用化歸的思想和方法求解數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和數(shù)列知識(shí)應(yīng)用是整個(gè)高中數(shù)列解題的核心問(wèn)題。在數(shù)列問(wèn)題的解題中，求通項(xiàng)公式對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題來(lái)說(shuō)非常重要。其解題方法多種多樣，其中許多數(shù)列問(wèn)題可以用化歸的思想方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行解決，這樣就能非常方便地進(jìn)行求解。

例1.把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等差型數(shù)列an-an-1=f（n）形式求通項(xiàng)公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解題分析：對(duì)于此類(lèi)等差型數(shù)列，常采用疊加法進(jìn)行求解。

an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，an= 。

解題要點(diǎn)：用該方法求通項(xiàng)公式，一是疊加后等式左邊能進(jìn)行錯(cuò)項(xiàng)相消，二是等式右邊要能容易求和。

例2.把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比型數(shù)列 =f（n）形式求通項(xiàng)公式。

已知a1=1， = 求：通項(xiàng)公式an。

解題分析：對(duì)于等比型數(shù)列求通項(xiàng)公式，一般采用把若干等式的左右兩邊分別相乘的方法，即累乘方法來(lái)求通項(xiàng)公式。

= ， = ， = … = 。

把這些等式左右分別相乘可得： = ，an= 。

要求：運(yùn)用累乘方法求通項(xiàng)公式，要求等式兩邊能夠化簡(jiǎn)。

二、運(yùn)用函數(shù)和方程的思想求解數(shù)列問(wèn)題

運(yùn)用函數(shù)的概念與性質(zhì)對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，從而使數(shù)列問(wèn)題容易求解；運(yùn)用方程的思想求解數(shù)列問(wèn)題，就是從數(shù)列問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程或不等式的形式來(lái)使問(wèn)題得到解決。運(yùn)用這兩種方法求解數(shù)列問(wèn)題，要注意挖掘問(wèn)題中的隱含條件，建立函數(shù)解析式和方程式是其解題的重點(diǎn)。

例3.有等差數(shù)列an，其前n項(xiàng)之和是Sn，a3=12，S12>0，S13

（1）求公差d的取值范圍；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并講出原因。

解題分析：（1）在本題中利用方程（不等式）的思想就比較容易求解問(wèn)題，通過(guò)利用通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn來(lái)構(gòu)建不等式就能方便求出公差的范圍。（2）對(duì)于在數(shù)列問(wèn)題中求前n項(xiàng)和的最大值問(wèn)題，利用函數(shù)的思想和方法，把Sn的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，這樣問(wèn)題就變成求函數(shù)的最值問(wèn)題，此題就容易解

決了。

解題思路：（1）a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d0156+52d

（2）求Sn的函數(shù)表達(dá)式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，d

對(duì)于本題還可以換另一種思路來(lái)求解，即通過(guò)求出an>0，an+1a3>…>a13，根據(jù)S13=13a70，可得出S6的值最大。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列問(wèn)題

數(shù)學(xué)歸納法也是求解數(shù)列問(wèn)題的常用基本方法之一，運(yùn)用歸納法其關(guān)鍵是要證明n=k+1時(shí)命題成立，該方法也是由遞推來(lái)進(jìn)行歸納的解題方法。

例4.假設(shè)有an= + + +…+ ，n∈N

證明： n（n+1）

解題分析：此題和自然數(shù)n相關(guān)，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求解證明。當(dāng)n=1容易求證，重點(diǎn)在于求n=k+1時(shí)，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再與所證明的結(jié)論進(jìn)行比較來(lái)求解。根據(jù)歸納法的步驟，其求解思路如下：

當(dāng)n=1時(shí)，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，n=1時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即有， k（k+1）

當(dāng)n=k+1時(shí)，只要證明下式成立即可：

k（k+1）+

可先證明結(jié)論左邊式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再證明結(jié)論右邊式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

第9篇：高中數(shù)學(xué)求最大值的方法范文

關(guān)鍵詞： 平面向量 常規(guī)解法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的很好的工具，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，是江蘇高考的必考內(nèi)容，其中向量的數(shù)量積還是高考的C級(jí)要求，同時(shí)也是學(xué)生比較感興趣而又有一定難度的一類(lèi)問(wèn)題.那么向量問(wèn)題有哪些常規(guī)解法呢？我結(jié)合教學(xué)體會(huì)小結(jié)如下.

一、合理拆分法

例1：已知O為ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則■?■的值等于多少？

分析：只要把向量■拆分為■+■，然后根據(jù)外心定義及一個(gè)向量■在■與■上的投影即可解決.答案為5.

例2：在平面上，■■■■，|■■|=|■■|=1，■=■■+■■.若|■|

分析：只要把已知向量與所求向量轉(zhuǎn)化成以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)的向量即可解決問(wèn)題.

解：■■■■，

■■?■■=（■■-■）?（■■-■）=■■?■■-■■?■-■?■■+■■=0，

■■?■■-■■?■-■?■■=-■■.

■=■■+■■.

■-■=■■-■+■■-■，

■=■■+■■-■.

|■■|=|■■|=1，

■■=1+1+■■+2（■■?■■-■■?■-■■?■）=2+■■+2（-■■）=2-2■■.

|■|

■

二、數(shù)形結(jié)合，建立坐標(biāo)系法

例3：

如圖，若a=■，b=■，a與b夾角為120°，|a|=|b|=1，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心的圓弧■上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)■=x■+y■（x，y∈R），求x+y的最大值.

分析：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算.

解：以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸建立直角坐標(biāo)系，

則D（1，0），E（-■，■）.

設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），則P（cosα，sinα）.

由■=x■+y■，得cosα=x-■y，sinα=■y，

所以y=■sinα，x=cosα+■sinα，

所以x+y=cosα+■sinα=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫(xiě)錯(cuò)坐標(biāo).

三、兩邊平方或同時(shí)點(diǎn)乘同一個(gè)向量法

例3的解法二：設(shè)∠POD=α（0≤α≤■），由■?■=x■?■+y■?■，■?■=x■?■+y■?■，

可得cosα=x-■y，cos（■-α）=-■x+y.

于是x+y=2[cosα+cos（■-α]=2sin（α+■）.

又0≤α≤■，故當(dāng)α=■時(shí)，x+y的最大值為2.

例4：（2013?湖南改編）已知a，b是單位向量，a?b=0，若向量c滿(mǎn)足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是？搖 ？搖.

分析：對(duì)條件|c-a-b|=1兩邊平方，這樣可以很順利地打開(kāi)解題思路，

解：a?b=0，且a，b是單位向量，|a|=|b|=1.

又|c-a-b|■=c■-2c?（a+b）+2a?b+a■+b■=1，

2c?（a+b）=c■+1.

|a|=|b|=1且a?b=0，|a+b|=■，

c■+1=2■|c|cosθ（θ是c與a+b的夾角）.

又-1≤cosθ≤1，0

c■-2■|c|+1≤0，

■-1≤|c|≤■+1.

如正弦定理的證明就是用的兩邊同時(shí)點(diǎn)乘一個(gè)向量的方法，余弦定理的證明就是用的兩邊平方法，兩種證法參見(jiàn)蘇教版必修五課本.

四、基底法（運(yùn)用平面向量基本定理、平行向量定理）

例5：（2012?湖州模擬）如圖，在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G任作一直線(xiàn)MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若■=x■，■=y■，試問(wèn)：■+■是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

分析：以不共線(xiàn)的兩個(gè)向量■、■為一組基底，把其他向量用這個(gè)基底線(xiàn)性表示.

解：■+■為定值，證明如下：

設(shè)■=a，■=b，則■=xa，■=yb，

■=■■=■（■+■）=■（a+b），

所以■=■-■=■（a+b）-xa=（■-x）a+■b，

■=■-■=yb-xa=-xa+yb.

因?yàn)椤雠c■共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)λ，使■=λ■，所以（■-x）a+■b=λ（-xa+yb）=-λxa+λyb，又因?yàn)閍與b不共線(xiàn)，所以■-x=-λx■=λy，

消去λ，得■+■=4為定值.

方法總結(jié)：

1.如果題目中已知兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的模與夾角，一般都是以這兩個(gè)不共線(xiàn)的向量為一組基底，其他向量用它線(xiàn)性表示，這樣問(wèn)題就可得以解決.

2.平行向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線(xiàn)，又可以由向量共線(xiàn)求參數(shù).利用兩向量共線(xiàn)證明三點(diǎn)共線(xiàn)要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).

3.對(duì)于向量的線(xiàn)性運(yùn)算，不但要掌握幾何法則，還要掌握坐標(biāo)運(yùn)算法則，使二者有機(jī)結(jié)合.

參考文獻(xiàn)：

[1]江蘇省考試說(shuō)明.