垂徑定理精選(九篇)

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第1篇：垂徑定理范文

一、 定理的拓展

垂徑定理是這樣闡述的：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧. 寫成數學符號語言就是：如圖1，CDAB ，CD是直徑，AM=BM、■=■、■=■. 而在具體問題中，直徑不一定完整，可以是半徑或過圓心的線段，下面是幾種常見的垂徑定理基本圖形的變式圖，根據以下變式圖形可以寫出相應的符號語言：

如圖2，OCAB，OC是半徑，AM=BM，■=■.

如圖3，DMAB，DM經過圓心，AM=BM，■=■.

如圖4，OMAB，OM經過圓心，AM=BM.

二、 例題的拓展

蘇科版教材第114頁例2：

已知：如圖5，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點. AC與BD相等嗎？為什么？

解：AC=BD. 理由：過點O作OPAB，垂足為P.

OP過圓心，OPAB，PA=PB，PC=PD，PA-PC=PB-PD，即AC=BD.

方法歸納：圓心到弦的距離叫做“弦心距”（如圖4中的線段OM），它也是圓中十分重要的輔助線. 我們經常通過作弦心距，構造垂徑定理的基本圖形來解決問題.

變式1：如圖6，O交OAB的邊AB于點C、D. 如果OA=OB，那么AC與BD是否相等？為什么？

變式2：如圖7，AB、CD是O的兩條平行弦. ■與■相等嗎？為什么？

【分析】變式1的第一問相當于是在例題基礎上少了一個大圓，但相應又增加了OA=OB這個條件，這兩個條件其實是等同的，所以方法也是一樣的，過圓心作弦心距構造垂徑定理的基本圖形即可. 變式2與例題相比，前者是同一個圓中兩條弦平行，通過作弦心距無法說明，但只要過圓心作垂直于這兩條弦的半徑或直徑利用垂徑定理就可以解決，也就是說，垂徑定理不僅能推導出線段相等也能推出弧相等.

變式3：如圖8，（1） 在O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3，求O的半徑、弓形高CD的長.

（2） 在O中，半徑為5，圓心O到AB的距離為3，求弦AB的長、弓形高CD的長.

（3） 在O中，半徑為5，弦AB的長為8，求圓心O到AB的距離、弓形高CD的長.

（4） 在O中，弦AB的長為8，弓形高CD的長為2，求O的半徑、圓心O到AB的距離.

【分析】解決圓內半徑（或直徑）、弦長、弦心距、弓形高的問題時，常見輔助線是作弦心距、連接半徑，構造 “垂徑三角形”，即圖中的OAC，它的邊AO是半徑、邊OC是弦心距、邊AC是弦AB的一半，已知半徑（或直徑）、弦長、弦心距、弓形高中的任意兩個量就能求出另外兩個量，尤其要注意在已知弦長、弓形高求半徑時，要用方程思想解決.

練習：（1） 如圖9，已知∠C=90°，C與AB相交于點D，AC=5，CB=12，求AD的長.

（2） 如圖10，圓內一弦CD與直徑AB相交成30°，且分直徑為1 cm和5 cm，則圓心到這條弦的距離為多少？CD長為多少？

【分析】練習（1）中已知半徑，要求弦長，根據常用思路，作弦心距構造“垂徑三角形”的方法，只需要求出弦心距即可，利用面積法可求直角三角形斜邊上的高即可求出弦心距，已知半徑和弦心距，便可求出弦長. 練習（2）的條件較為隱蔽，直徑、弦心距均未直接告知，這也正是本題難點所在，但細心觀察可以發(fā)現直徑較易求，過圓心向CD作垂線，連接OD，仍可構造“垂徑三角形”，但如何求出弦心距是關鍵，這里需要同學們發(fā)現含30°角的直角三角形，已知斜邊，可求對邊，對邊即弦心距，最終也就轉化為在“垂徑三角形”中，已知直徑（半徑）和弦心距，可以求弦長.

變式4：如圖11，已知：AB和CD是O內的兩條平行弦，AB=6 cm，CD=8 cm，O的半徑為5 cm.

（1） 兩條平行弦所夾的弧相等嗎？為什么？

（2） 求出AB與CD間的距離.

第2篇：垂徑定理范文

關鍵詞　定位旋轉斜扳法　椎動脈型頸椎痛

椎動脈型頸椎病是由于椎動脈受到損傷而椎一基底動脈系統(tǒng)供血不足產生以眩暈、頭痛為主的綜合征，約占所有頸椎病患者中的70％，臨床上多見于中45-60歲的老年人。并隨著年齡的增長，發(fā)病率有平行上升的趨勢。我們在既往臨床實踐及相關研究的基礎上，采用定位旋轉斜扳法的手法治療椎動脈型頸椎病98例，取得良好療效，現報告如下。

1　臨床資料

1.1　一般資料　全部98例病人均來自清新縣人民醫(yī)院康復門診。其中男56例，女42例；年齡22歲～57歲之間，平均42歲。病程最短者2天，最長者3年，平均3周。有頭頸部外傷史者6例，慢性勞損者強迫或長期低頭伏案工作者156例，外感風寒濕誘發(fā)者例15例，原因不明者21例。在治療期間均不采用其它任何治療方法。

1.2　診斷標準　參照1993年第二屆全國頸椎病專題座談會中有關診斷標準，所有病例均經x線片、CT、MRI等檢查，確診為椎動脈型頸椎病，臨床癥狀、體征符合頸性眩暈者。排除合并有骨折、腫瘤、結核、類風濕、脊椎炎及其它嚴重內臟病變者。

2　治療方法

全部病例均采用定位旋轉斜扳法治療?；颊呷∽?，術者立于其后，雙拇指自T7向上觸摸棘突兩側，檢查有無偏歪之棘突及壓痛點的位置，結合x線攝片所見，確定發(fā)病之節(jié)段。以右側發(fā)病為例，發(fā)病在頸椎上段(C1-2)時，術者左手掌放在患者頸項中下部作固定，右手掌托住患者的枕部，肘部托住下頜部并稍向上牽引，將患者頸部逐漸向患側旋轉，囑患者放松，使患者頭部沿圓弧形方向順勢加大旋轉幅度；發(fā)病在頸椎中段(C3～5)時， 囑患者頸部屈曲15度，左手掌放在患者頸項下部作固定，右手掌托患者的頸枕部，頭部逐漸向患側旋轉，沿橢圓弧形方向順勢加大旋轉幅度；發(fā)病在頸椎下段(C6-7時，囑患者頸部屈曲30度，在手旋轉頭部的同時，還向右側方向用力，使患者頭部沿拋物線方向運動。上述手法成功后可聞及響聲。

手法治療隔天1次，10次為1個療程。本手法操作時要謹慎小心，勿用蠻力，幅度應在頸椎生理活動范圍內，以免發(fā)生意外。

3　治療效果

3.1　療效標準　療效標準參照《中醫(yī)病證診斷療效標準》中頸椎病的療效評定標準擬定。治愈：眩暈、頭痛、頸部疼痛不適等癥狀消失，隨訪半年無復發(fā)。好轉：頭頸肩疼痛明顯減輕，頭暈、惡心、嘔吐、耳鳴、位置性眩暈消失。無效：臨床癥狀改善不明顯。

3.2　治療結果　痊愈23例(23.47％)，顯效63例(64.29％)，有效9例(9.18％)，無效3例(3.06％)，顯效率87.78％，總有效率96.94％。其中36例首次治療后癥狀明顯緩解，有效者多數在治療2次～3次后癥狀開始減輕，大部分顯效者療程不足2周。在治療過程中未見有不良反應發(fā)生。

第3篇：垂徑定理范文

【關鍵詞】臥位定點整復；椎動脈型頸椎??；眩暈

【中圖分類號】R274 【文獻標識碼】A 【文章編號】1004-7484（2012）12-0075-02

椎動脈型頸椎病是脊柱?？瞥Ｒ姴∨c多發(fā)病， 多由椎動脈受壓迫或刺激，引起椎基底循環(huán)障礙而出現頭痛、眩暈、惡心等一系列臨床癥狀。該病發(fā)作多急劇急，因而在臨床工作實踐中，有的醫(yī)生遇到此類患者時，往往多考慮內科疾患或五官科疾患等，而忽視了頸椎疾患。自2009年5月～2011年11月，本科室采用臥位定點整復手法為主的綜合療法，對此病癥進行治療，療效滿意，現報道如下。

1 臨床資料

1.1 一般資料

選取本科室門診患者72例，其中男性39例，女性33例，年齡在30-60歲之間，平均年齡51±8.35歲，病程在3天-9個月之間，平均病程（5.35±1.27）個月，按簡單隨機法分為2組。2組在年齡、性別和病程等方面比較無顯著性差異（P均>0.05），具可比性。

1.2 診斷依據

按《全國中醫(yī)診療技術標準規(guī)范與中醫(yī)院（科）工作政策法規(guī)全書》椎動脈型頸椎病診斷依據：有慢性勞損或外傷史，或有頸椎先天畸形、頸椎退行性病變，多發(fā)于中年人，長期低頭工作者，頭痛眩暈，耳鳴耳聾，視物不清，有性猝倒，頸椎側彎后伸時癥狀加重。X線檢查：橫突間距變小，鉤椎關節(jié)增生。CT檢查：左右橫突孔大小不對稱，一側相對狹窄。椎動脈造影見椎動脈迂曲，變細或完全梗阻。

1.3 排除標準

美尼爾綜合征，多發(fā)性硬化癥，性低血壓，腦血管意外，小腦腫瘤，相關中醫(yī)按摩手法禁忌證及不能與醫(yī)生合作者。

2 觀察方法

2.1 統(tǒng)計學處理

研究數據以SPSS13.0統(tǒng)計軟件分析。其具體方法：平均年齡、實驗指標檢測值（計量資料）的分析比較，用F檢驗；癥狀評分（半計量資料）的分析比較，用非參數秩和檢驗；顯著性檢驗水準a=0.05。

2.2 治療方法

對照組：以舒筋通絡，調神定眩為治則，推拿操作：患者仰臥，醫(yī)者先以雙手中指指腹逐漸用力按壓風池穴，待有酸脹的得氣感后，維持2min，后兩中指分別作逆時針按揉，使酸脹感傳導至頭部前外側；隨后，醫(yī)者以四指指腹揉按或撥揉頸項部和頸枕部兩側肌肉，使患者緊張的肌肉得以放松，再以右手拇指指腹按壓印堂穴，分別以順時針和逆時針方向各按揉50次，然后，醫(yī)者以右手拇指偏峰著力于印堂穴，沿著督脈至百會穴一線施用一指禪推法治療。最后，以頭維穴為中心，按逆時針方向，環(huán)旋施用一指禪推法的瀉法治療，范圍逐漸擴大。針刺取穴：頸夾脊3-7穴、風池、完骨、天柱、印堂、百會、四神聰、頭維、合谷、內關等穴（均為雙側）。操作方法：毫針針刺以上各穴，針刺得氣以病人有酸、麻、脹等感覺為度。推拿每次治療時間約為15min，針灸治療時間每次均為20 min，推拿、針灸治療每周5次，2周1個療程，共1個月。

治療組：在上述推拿、針灸治療基礎上，加用臥位定點整復手法。操作：患者仰臥位，醫(yī)者將一前臂放置患者頸項下，將病變部位（成角點或間隙變窄處）放在前臂屈肌群正中，另一手掌橫向拉住患者下頦，在患者頸項下前臂內旋的同時，放于下頦部的手向頭部方向牽拉，至內旋的前臂至掌心朝下的位置時固定，并保持5-8千克的牽拉力，1分鐘后減少至3千克左右，再反復3-5，完成1次操作。

3 結果

3.1 療效標準

據：全國中醫(yī)診療技術標準規(guī)范與中醫(yī)院（科）工作政策法規(guī)全書：治愈：原有病癥消失，肢體功能恢復正常，能參加正常勞動和工作；好轉：原有癥狀減輕，肢體功能改善；未愈：癥狀無改善。

3.2 治療結果：見表1

3.3不良反應：未發(fā)現明顯不良反應。

4 討論

頸動脈由第六頸椎橫突孔穿入，出于第二頸椎橫突孔，沿環(huán)椎后弓上緣入顱腔，此段動脈多由增生、橫突孔相對狹窄、血管病變內膜粥樣斑形成或關節(jié)紊亂等種種刺激因素而引發(fā)痙攣或狹窄，進而出現本病供血不全的癥狀[1]。推拿治療可以起到舒筋活絡活血散瘀、宣通氣血、疏通狹窄之功效，可以糾正后關節(jié)的移位及椎體的異常排列，減輕或消除肌肉痙攣 ，使局部的血管擴張，改善局部的血液循環(huán)，增加局部的組織營養(yǎng)供應等作用，從而減輕或消除了對椎動脈的壓迫和刺激，增加了椎動脈的血流量 從而達到消除病癥的目的[2]?，F代研究證實， 針刺能夠改善頸部椎肌群的緊張狀態(tài)， 減輕頸椎退變對血管的機械壓迫和對頸神經根的刺激， 降低交感神經的興奮性， 增大椎動脈內徑和血流速度， 從而改善腦干中的網狀結構、前庭神經核區(qū)和內耳的缺血， 達到平眩止暈的目的[3]。而臥位定點整復手法，代替頸部推拿手法中頸部扳、旋等手法，減少了醫(yī)源性損傷發(fā)生的可能，并可達到滑利關節(jié)、糾正復位的作用，在操作過程中，在成角點或間隙變窄處施術，順應胸椎前屈度數，沿此方向施術才能取得最佳牽引效果。手法實施時要貫徹“輕揉為補、重揉為瀉”、“急摸為瀉、緩摸為補”的原則?？偨Y觀察結果，證明用臥位定點整復手法治療椎動脈型頸椎病可取得良好的效果，且按摩手法是祖國傳統(tǒng)醫(yī)學中歷史悠久廣泛實用的醫(yī)療手段，沒有藥物治療的毒副、致癌、致畸作用，對許多疾病具有獨特的不可替代的療效，在越來越注重自然療法的今天，手法治療應進一步發(fā)揚推廣。

參考文獻：

[1] 楊克勤，張之虎，張?zhí)冻?，?頸椎病[M].北京：人民衛(wèi)生出版社，1981：47～48.

第4篇：垂徑定理范文

摘要目的：探討改革后護理對微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術治療胸腰椎骨折患者的影響，以不斷提高胸腰椎骨折患者的護理水平。方法：選擇2010年3月~2013年11月我院收治的40例微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術治療胸腰椎骨折患者為研究對象，將其隨機等分為對照組和試驗組。對照組使用常規(guī)護理措施，試驗組使用改革后護理，觀察對比兩組患者的護理效果。結果：兩組患者的治療效果比較無統(tǒng)計學意義（P＞0.05）。試驗組患者護理后焦慮程度降低，護理滿意度提高，與對照組相比有統(tǒng)計學意義（P＜0.05）。結論：對微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘固定手術的胸腰椎骨折患者使用改革后護理不但能夠保證治療效果，還可以減少患者的不良情緒，提高護理滿意度。

關鍵詞 ：胸腰椎骨折；微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定；護理

doi:10.3969/j.issn.1672-9676.2014.08.026

對胸腰椎骨折患者使用后路開放椎弓根螺釘骨折手術治療在臨床應用了較長時間，但是患者的遠期療效不佳，容易出現腰背部僵硬、腰背部疼痛等，患者肌肉功能降低，神經病變［1］。隨著臨床對微創(chuàng)技術的研究與應用，我院使用微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術對胸腰椎骨折患者進行治療，取得了明顯的效果，為了更好地提高此手術患者的圍手術期護理水平，我院對護理工作不斷學習改進，將改革護理應用到臨床中，現將結果報道如下。

1資料與方法

1.1一般資料選擇2010年3月~2013年11月我院收治的40例微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術治療胸腰椎骨折患者為研究對象，均經過臨床確診，無認知功能障礙，無精神疾病，無精神病家族史，有一定的閱讀能力。將其隨機等分為對照組和試驗組。對照組男12例，女8例；年齡23~61歲，平均（40.55±7.15）歲；骨折部位：T116例，L1 6例，L2 2例，T11、122例，T12L14例；骨折AO分型：A型12例，B型6例，C型2例；受傷原因：交通事故損傷14例，墜落傷6例。試驗組男10例，女10例；年齡24~62歲，平均（40.63±7.74）歲；骨折部位：T114例，L1 4例，L2 2例，T11、12 6例，T12L1 4例；骨折AO分型：A型10例，B型8例，C型2例；受傷原因：交通事故損傷16例，墜落傷4例。兩組患者在性別、年齡、受傷原因、骨折部位及分型等方面比較無統(tǒng)計學意義（P＞0.05），具有可比性。

1.2方法對照組患者使用臨床常規(guī)護理方法，包括常規(guī)心理護理，觀察患者的病情變化，講解手術相關知識，及時將患者病情反饋給醫(yī)師，遵醫(yī)囑進行各項治療性操作，完成手術前的常規(guī)準備，手術后給予護理和生命體征監(jiān)護，觀察其手術后脊髓神經功能的變化，指導患者康復鍛煉［2］。試驗組患者使用改革后護理，其包含常規(guī)護理，并在此基礎上增加以下護理：（1）科室內采用小組授課的方法組織全科室內護士學習相關知識，包括胸腰椎骨折的原理、護理常規(guī)、護理重點、心理護理、病情觀察和健康教育知識。同時積極總結在護理工作中遇到的問題，對典型案例進行分析，總結護理工作中的不足，制定改革措施。（2）提高對圍手術期患者心理護理的重視程度。我們總結經驗發(fā)現，胸腰椎骨折患者在手術前后多會伴有較為嚴重的焦慮程度，且在手術前后焦慮狀態(tài)的原因不同，大多數患者在手術前會擔心手術創(chuàng)傷、治療效果，而在手術后則主要擔心康復效果和經濟費用。因此護士在圍手術期為患者進行心理護理要有所側重，手術前重點教會患者如何放松心情，并利用我們成功的案例為患者樹立信心，講解相關微創(chuàng)手術的優(yōu)點，強調手術中的無痛和微創(chuàng)理念。而在手術后則要加強患者的治療依從性，讓患者能積極地進行康復鍛煉，多關心多愛護，并幫助患者尋找社會支持的方法，如醫(yī)療保險報銷措施等［3］。（3）重視手術前后的功能訓練。手術前功能訓練包括讓患者采用俯臥位并保持腰部過伸，時間從少到多，以提高患者對手術的耐受性，并指導患者在創(chuàng)傷時如何大小便。而在手術后6 h內，我們采用平臥位與側臥位交替的方法，護士協(xié)助患者自行翻身，每2 h翻身1次［4］，并觀察受壓部位，防止發(fā)生壓瘡。術后在患者雙下肢可以自主活動后，叮囑并監(jiān)督患者做髖關節(jié)、膝關節(jié)的屈曲，活動踝關節(jié)，以防止肌肉萎縮和關節(jié)痙攣。對不能自主活動的患者，護士要為其按摩。我們不但要求護士有充分的康復訓練講解能力、演示能力，同時還要求護士作為一名監(jiān)督者，監(jiān)督患者進行康復鍛煉，及時糾正患者的錯誤認識。

1.3觀察指標（1）對比觀察兩組患者手術后的傷椎前緣高度、后凸Cobb角和矢狀位指數，用于評價患者的治療效果。（2）采用國際通用焦慮自評量表（SAS）觀察兩組患者護理后的焦慮程度，該量表由20個條目組成，自評者評定結束后將20個條目的各個得分相加再乘以1.25以后取整數部分即為標準分，SAS標準分分值為50分，其中50~59分為輕度焦慮，60~69分為中度焦慮，70分以上為重度焦慮。（3）使用打分制由兩組患者對臨床護理工作進行打分，10分為最高分，0分為最低分，患者在0~10分選擇一個數字表示自己的滿意度［5］。

1.4統(tǒng)計學方法采用spss 19.0軟件包處理，計量資料比較采用t檢驗或t′檢驗，檢驗水準α=0.05。

2結果（表1）

3討論

微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術治療胸腰椎骨折是我院新的手術措施，這種方法具有創(chuàng)傷小，術后康復快，住院時間短等優(yōu)勢［6］，從開展以來受到了醫(yī)護人員及患者的好評。有效積極的護理干預是保證手術順利進行、促進患者早期康復的關鍵。

在臨床護理干預過程中，給予患者改革后的護理，即一般臨床護理工作的基礎上尋找護理工作中的不足，并及時改革。首先，我們通過小組授課的方法讓每位護士了解到手術相關知識，并掌握護理要點，以保證每位患者均能夠得到專業(yè)的全面護理。其次，我們針對心理護理進行了改革，高度重視心理作用，用多種方法并針對患者圍手術期不同心理狀態(tài)給予心理干預，消除了患者的不良情緒，讓患者用樂觀的心態(tài)積極面對臨床治療，且有足夠的信心戰(zhàn)勝疾?。?］。第三，康復訓練中護士改變了以往的傳授知識、協(xié)助訓練的角色，同時作為一名監(jiān)督者，可以更好地監(jiān)督患者的康復訓練，提高了治療依從性和患者對康復訓練的重視程度，保證了訓練效果。

綜上所述，使用微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘固定手術對胸腰椎骨折患者治療的效果較好，使用改革后護理不但能夠保證治療效果，還可以減少患者的不良情緒，提高護理滿意度。由于微創(chuàng)經皮椎弓根螺釘內固定手術在我院開展例數較少，因此我們的臨床護理工作還有待進一步完善。

參考文獻

［1］吳潤莉,張萬玲,陳丹.1例經皮椎弓根螺釘內固定術治療胸腰椎骨折的護理［J］.醫(yī)學信息（上旬刊）,2011,24(11):494-495.

［2］金梅,梁梅林.50例經皮椎弓根螺釘內固定術的護理體會［J］.當代醫(yī)學,2010,16(36):119-120.

［3］竇紅梅,張文捷,趙春明,等.腰椎微創(chuàng)融合內固定術的手術配合［J］.護理實踐與研究,2013,10(15):138-139.

［4］楊玲,秦放,萬偉,等.經皮椎弓根螺釘內固定術治療胸腰椎骨折34例圍術期護理［J］.齊魯護理雜志,2010,16(14):47-48.

［5］杜順杰.微創(chuàng)與傳統(tǒng)切開椎弓根螺釘固定治療胸腰椎骨折的比較［D］.石家莊：河北醫(yī)科大學，2012:5.

［6］劉濤.一種新型經皮椎弓根螺釘內固定系統(tǒng)的設計及基礎研究［D］.重慶：第三軍醫(yī)大學，2011：10.

［7］陸孟旭.改良微創(chuàng)經皮USS內固定系統(tǒng)治療胸腰椎骨折的臨床療效分析［D］.衡陽：南華大學，2012:5.

第5篇：垂徑定理范文

“鞏固展示課”是在預習展示課和提升展示課兩種課型的基礎上對所要達到的“目標”進行具體落實的課型。在此課型中，彰顯的是教師對練習題的設計理念，要求教師根據目標的需求設計出梯度、難度適中的練習題，通過學生“兵練兵”“兵教兵”“兵強兵”的過程，達到獨立或合作完成、對知識再認識和鞏固的“目的”。此課型的“展示”，在于發(fā)現學生“求異思維”能力的表現，要讓學生能夠達到“一題多解”“一解多題”，總結規(guī)律，歸納方法，達到最佳的求知狀態(tài)。

二、鞏固展示課――設計思路

1.本節(jié)課所占的位置及學生現狀分析。

2.本節(jié)課的重難點。

3.學習目標。

4.導學案設計。

本節(jié)共設計六個部分：

（1）知識回顧。復習垂徑定理及推論。

（2）鞏固應用。這一部分內容主要利用垂徑定理進行簡單的計算，題型較全面。

（3）綜合應用。習題設計分為兩個層次，1、2題是利用垂徑定理進行證明，3題要求學生能畫出符合題意的圖形，滲透數學分類討論思想。

（4）提升應用。這部分內容與實際聯系比較緊密，通過這些知識的教學，幫助學生從實際中發(fā)現數學問題，運用所學知識解決實際問題。

（5）習題超市。這部分內容主要是為了尖子生，引導尖子生提高。

（6）課堂測評。目的是檢查學生對本節(jié)內容的掌握情況，考查學生運用所學知識解決問題的能力。

三、鞏固展示課――環(huán)節(jié)操作

1.導語及解讀目標。

2.獨立完成導學案。

3.小組合作交流，將解決不了的問題提出來，反饋到問題欄。將問題欄內容進行分配，教師深入指導。聚焦前板，分組展示并強調展示要求。

4.展示完成，完善學案，當堂檢測，收卷，教師做簡單總結，結束本節(jié)授課。

四、鞏固展示課――案例

垂徑定理（鞏固展示課）

學習目標：

1.能熟練運用垂徑定理進行計算。

2.能熟練運用垂徑定理進行證明。

教學重點：能熟練運用垂徑定理及推論進行證明和計算。

教學難點：證明計算時輔助線的添加。

教學過程：

一、知識回顧

1.垂直于弦的直徑的性質（垂徑定理）：

垂直于弦的直徑 ，并且平分 。

2.平分弦（不是直徑）的直徑的性質：

平分弦（弦不是直徑）的直徑 ，并且 。

3.已知：如圖，CD是 圓直徑，與弦AB交于點M。

CDAB AM=BM（根據： ）

AM=BM CDAB（根據： ）

二、鞏固運用（利用垂徑定理進行計算）

1.如圖，O的直徑為20，圓心O到弦AB的距離OM的長為6，則弦AB的長為 。

2.如圖，在O中AB是弦， 于D，且AB=60cm，OC=40cm，則OD的長為 。

三、綜合應用（利用垂徑定理進行證明）

1.如圖是以O為圓心的同心圓，大圓的弦AB交小圓于C、D，通過觀察或測量，猜想并寫出線段AC與BD的大小關系，請證明你的猜想。

2.如圖所示，在O中AB是弦，C、D是AB上兩點，且OC=OD，通過觀察或測量，猜想并寫出線段AC與BD的大小關系，請證明你的猜想。

四、提升應用

一座拱形橋，橋下水面寬度AB是20米，拱高CD是4米，若水面上升3米至EF，則水面寬度EF是多少米？

（1）若把它看作是拋物線的一部分，在坐標系中（左圖），設拋物線的表達式為 ，請你填空： ，c= ，EF= 米。

（2）若把它看作圓的一部分（右圖），請計算EF的長。（圓的半徑大于10米）

第6篇：垂徑定理范文

一、勾股定理與垂徑定理

例1 如圖1所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出[AB]所在圓的半徑.

【分析】弦心距用半徑來表示是解決問題的關鍵，設半徑為r，則弦心距為r-1，根據勾股定理可得方程r2=[32]2+（r-1）2，從而問題得解.

解：OEAB，AF=[12]AB=[32]（m），

設AO=r，則OF=r-1，

在RtAOF中，AO2=OF2+AF2，

即r2=[32]2+（r-1）2，r=[138].

[AB]所在圓的半徑為[138]m.

【點評】此類題目中垂徑定理與勾股定理如影相隨，通常采用把半弦、弦心距、半徑三者放到同一個直角三角形中，利用勾股定理解答.

二、勾股定理與切線長定理

例2 如圖2，RtABC中，∠C=90°，BC=5， RtABC的內切圓O與三邊分別相切于點D、E、F，半徑r=2，求ABC的周長.

【分析】見切點，連半徑，得垂直，連接OE，OF，得到四邊形OECF為正方形，CE=CF=r=2，因為BC=5，所以BF=BD=3，要求三角形的周長只需要求出AD，AE的長度，設為x，在直角三角形中運用勾股定理即可求解.

解：連接OE、OF，OAD=x，則AE=AD=x，

點D、E、F是切點，OEAC，OFBC，

又∠C=90°，OE=OF，

四邊形OECF為正方形，

O的半徑為2，BC=5，

CE=CF=2，BD=BF=3，

在RtABC中，AC2+BC2=AB2，

即（x+2）2+52=（x+3）2，x=10，

AC=12，AB=13，

ABC的周長為12+5+13=30.

【點評】本題主要考查切線長定理、正方形的判斷和勾股定理的應用，連接OE、OF，構造正方形OECF是解題的關鍵.

三、勾股定理與內切圓

例3 某新建小區(qū)要在一塊等邊三角形的公共區(qū)域內修建一個圓形花壇.

（1）若要使花壇面積最大，請你在這塊公共區(qū)域（如圖3（1））內確定圓形花壇的圓心P；

（2）若這個等邊三角形的邊長為18m，請計算出花壇的面積.

【分析】（1）在ABC內作一個內切圓，則此圓面積最大，點P為角平分線的交點.（2）注意到RtBPD一個銳角為30°，BP=2PD，再利用勾股定理問題就迎刃而解了.

解：（1）見分析如圖3（2）；

（2）在RtBPD中，BD=9m，∠PBD=30°，設PD=x，則BP=2x，由勾股定理得：x2+92=（2x）2，解得 x1=[33]，x2=-[33]（舍），

花壇的面積為π?（[33]）2=27π（m2）.

【點評】要使花壇的面積最大，作出三角形的內切圓即可.

四、勾股定理與正多邊形

例4 一個亭子的地基是半徑（外接圓半徑）為8m的正六邊形，求地基的周長與面積.

【分析】正六邊形的中心角是60°，易知OBC是正三角形，邊長等于半徑，周長為半徑的六倍，正六邊形的面積為OBC面積的六倍.

解：連接OB、OC，∠BOC=60°，

OBC是正三角形，BC=OB=8m，

正六邊形ABCDEF的周長=6×8=48（m）.

過O作OGBC于G，

BG=[12]BC=[12]×8=4，

在RtBOG中，由勾股定理得

OG=[BO2-BG2]=[82-42]=[43]，

SOBC=[12]BC?OG=[12]×8×[43]=[163]，

S=6SOBC=6×[163]=[963]（m2）.

【點評】本題考查的是正六邊形、等邊三角形的性質及勾股定理，難度不大，注意掌握數形結合思想的應用，掌握輔助線的作法是解此題的關鍵.

五、勾股定理與切線

例5 （2016?哈爾濱）如圖5，AB為O的直徑，直線l與O相切于點C，ADl，垂足為D，AD交O于點E，連接OC、BE.若AE=6，OA=5，則線段DC的長為 .

【分析】OC交BE于F，如圖5，由圓周角定理得到∠AEB=90°，加上ADl，則可判斷BE∥CD，再利用切線的性質得OCCD，則OCBE，可判斷四邊形CDEF為矩形，所以CD=EF，接著利用勾股定理計算出BE，然后利用垂徑定理得到EF的長，從而得到CD的長.

解：OC交BE于F，如圖5，

AB為O的直徑，

∠AEB=90°，

ADl，BE∥CD，

CD為切線，

OCCD，OCBE，

四邊形CDEF為矩形，

CD=EF，

在RtABE中，BE=[102-62]=8，

第7篇：垂徑定理范文

精讀知識要點

1.圓的基本元素

（1）圓心和半徑：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.

（2）弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.直徑是經過圓心的弦，是圓中最長的弦.

（3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

（4）圓心角和圓周角：頂點在圓心的角叫做圓心角；頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

2.圓周角與圓心角

（1）圓周角與圓心角：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.性質的驗證,運用了“分類”的思想.

（2）圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是圓的直徑. 一般地，若題目無直徑，需要作出直徑.

（3）圓周角與同弧或等?。和』虻然∷鶎Φ膱A周角相等；在同一圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

3.圓的對稱性

（1）圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心，圓的旋轉不變性使它具有其他中心對稱圖形所沒有的性質，即圓心角、弧、弦之間的關系，概括為：在一個圓(同圓或等圓)中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

（2）圓也是軸對稱圖形，經過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸.于是就有了垂直于弦的直徑的性質：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

4.點和圓的位置關系

（1）如點在圓外，則有性質d＞r；若d＞r，則可判定出點在圓外.

（2）如點在圓上，則有性質d=r；若d=r，則可判定出點在圓上.

（3）如點在圓內，則有性質d＜r；若d＜r，則可判定出點在圓內.

其中，d是點到圓心的距離，r是圓的半徑.

5.直線和圓的位置關系

（1）直線和圓的位置關系判定與性質：

①當直線l和O相離時，則有性質d>r；若d>r，則直線l和O相離.

②當直線l和O相切時，則有性質d=r；若d=r，則直線l和O相切.

③當直線l和O相交時，則有性質d＜r；若d＜r，則直線l和O相交.

其中l(wèi)表示直線，d是O與直線l的距離，r是O的半徑.

（2）判定切線的方法有3種:

①利用切線的定義:與圓有唯一公共點的直線是圓的切線.

②與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

③經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）切線的5個性質:

①切線和圓只有一個公共點；

②切線到圓心的距離等于圓的半徑；

③切線垂直于過切點的半徑；

④經過圓心垂直于切線的直線必過切點；

⑤經過切點垂直于切線的直線必過圓心.

（4）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.

切線長定理是圓的對稱性的體現，它為說明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系提供了理論依據.

（5）內接外切多邊形: 經過多邊形各頂點的圓叫做多邊形的外接圓，外接圓的圓心叫做多邊形的外心，這個多邊形叫做這個圓的內接多邊形；和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形.

（6）三角形內心外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點；三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，它到三邊的距離相等.

6.圓和圓的位置關系

設兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么:

（1）兩圓外離，可得d＞R+r；

（2）兩圓外切，可得d=R+r；

（3）兩圓相交，可得R-r＜d＜R+r（R≥r），

（4）兩圓內切，可得d=R-r（R＞r）；

（5）兩圓內含，可得d＜R-r（R＞r）.

相交兩圓的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.

相切兩圓的性質：相切兩圓的連心線經過切點.

7.關于弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算

已知O半徑為R，則圓面積公式為：S=πR2；圓周長公式為：C=2πR；n°圓心角的弧長公式是：l=180/nπR.

在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義， n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的.若設O半徑為R, 圓心角為n°的扇形的面積公式是：S=180/nπR2或S=1/2 lr.

圓錐的側面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側面積與它的底面積的和.

相關思想方法

（1）遇到直徑時，一般要引直徑上的圓周角，將直徑這一條件轉化為直角的條件.

（2）遇到有切線時，一般要引過切點的半徑，以便利用切線的性質定理；或連結過切點的弦，以便利用弦切角定理.

（3）遇到過圓外一點作圓的兩條切線時，常常引這點到圓心的連線，以便利用切線長定理及其推論.

（4）遇兩圓相交,要添加公共弦，或者連心線，特別是公共弦，它在相交兩圓中起著橋梁作用.

（5）遇兩圓相切，一般要引兩圓的公切線，如果兩圓外切，常引內公切線； 如果兩圓內切，就引外公切線， 公切線的引出構造了弦切角，利用弦切角便可把兩圓的圓周角聯系起來.

（6）求周長和面積要注意利用割補思想.

（7）圓柱和圓錐的側面展開圖是研究“化曲為直”的一條重要的思想方法.

掌握基本題型

一、圓的性質的考查

基礎知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關系.

例1（2007年昆明考題）如圖1，已知AB是O的一條弦，O的半徑為5，OCAB于D，交O于點C，且CD=2，那么AB的長為（）.

A.4B.6C.8D.10

分析：連結OA，由題意，由于OCAB于D，所以只要求出AD就可以了.因為CD=2，半徑為5，所以OD=3，根據勾股定理解得AD=4，根據垂徑定理知AD=BD，由此得AB=8 .故選C.

點評：本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理求解問題的能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構造與定理相關的“基本圖形”.

點評：本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，此題是開放性試題，要求我們大膽地去猜想論證.本題還需要我們運用方程思想把幾何問題轉化為代數問題求解.

第8篇：垂徑定理范文

關鍵詞：九年級學生；升學輔導；臨界生；潛質發(fā)掘

關于“臨界生”，本文主要是指智力正常，而由于各種原因造成了他們的數學成績僅處于班級中等水平，預計在中考中成績錄取是處于普高和職高之間，但在數學學習上又很有潛力的那些學生。重視這部分“臨界”學生的學習潛質的培養(yǎng)和挖掘，把他們作為重點研究和培養(yǎng)的對象，對于整個班級的教學、管理和升學成績都至關重要?？梢哉f，他們的數學成績提高了，整個班級或年級的數學成績就會有一個大的飛躍。因而，做好這一些數學“臨界生”的輔導，是初三數學教學的一個重要環(huán)節(jié)，也是對數學教師的一個挑戰(zhàn)。

一、幫助“臨界生”重拾學習信心

美國著名心理學家威廉?詹姆斯說：“人性最高層次的需求就是渴望別人欣賞?！奔皶r的表揚與評價對培養(yǎng)數學“臨界生”的成功意識，增強他們成功的信心十分重要。如果教師能夠及時滿足他們的這一個心理期望，就能極大地激發(fā)他們成功的強烈欲望與自信，并且使他們心中的希望之燈越燃越亮，學習的動力也越來越足，對于提高自己的數學學習成績的希望也就會越來越大。

當然，每個學生都不一樣，對每個數學“臨界生”要有針對性地開導鼓勵，幫助他們調整好心態(tài)。教師可以從思想上關注他們，而不要過分注重分數。對于已經取得進步并已達到“臨界線”的學生，要充分肯定其進步，將其成績縱向、綜合作比較，培養(yǎng)其備戰(zhàn)中考的信心。對每一次考試，特別是比較重要的考試都要加以關注。學生進步了要及時給予鼓勵，希望其戒驕戒躁，更上一層樓。退步了就更要與其溝通，幫助其分析原因，制定下階段的輔導計劃。

二、了解輔導對象，幫助其制訂合理的學習計劃

（一）研究“臨界生”具體的學習情況，有針對性地分組輔導

要想使輔導收到較好的效果，就要在輔導之前，針對這些數學“臨界生”的數學學習情況進行具體分析，找出“癥結”所在。首先要了解和研究輔導對象的不同特點。比如，就學習成績不突出來說就有多方面的原因，有的是學習態(tài)度問題，有的是學習方法問題，更多的是由于基礎知識不牢?；A知識不牢也分多方面，有的是代數好幾何差，有的是幾何好函數差，各個學生的情況有相似也有不同。要根據這些學生平時的作業(yè)、考試情況，再根據“臨界生”自己提供的數學薄弱環(huán)節(jié)，按模塊進行大致的分組，最后以小組為單位進行輔導。

（二）幫助“臨界生”制訂科學的補習計劃

數學“臨界生”的數學成績不上不下，說明他們在學習方面肯定存在著許多的問題。光在課堂上是不可能解決所有問題的，數學“臨界生”存在的諸多問題還是需要靠教師在課外的輔導中幫助解決。

由于數學“臨界生”的每個人的問題不同，所以在幫助其輔導時必須先制訂一個合理的補習計劃。計劃包括該生的情況分析、存在問題歸類及輔導方法等內容。輔導時，要堅持啟發(fā)學生內在積極性的原則，不是單純的解決某個具體問題，而是發(fā)掘“臨界生”的學習潛質，教給學生解決問題的方法。

三、數學“臨界生”學習潛質的發(fā)掘

對于數學“臨界生”有效可行的輔導方式，以升學復習為例作簡單的表述如下：

■

下面以“圓”為例仔細闡述筆者的輔導過程：

（一）作好輔前準備，使“臨界生”的潛質發(fā)掘有的放矢

1.學習考綱，研究中考?？荚囌f明是中考命題的依據，中考試題是對考試說明要求的具體化。只有研究考試說明，同時分析中考試題，才能加深對它的理解；才能體會自己在平時的教學情況與命題專家們在理解考試說明上的差距，并爭取縮小這一差距；才能克服輔導的盲目性，增強做題的自覺性，加強命題的針對性，提高復習的有效性。

數學“臨界生”最大的學習潛質是能根據教師的指導，對于“階梯式”的題目有逐步分析解決的能力。也就是說，這些學生只要理解了知識的概念后就能解決一些由簡到難的題目。因此，在特別輔導前要做好一些準備工作。例如，在輔導“垂徑定理”前，筆者就根據《2012年浙江省普通中考考試說明》的要求，告訴學生“圓”中的垂徑定理的考點是：垂徑定理的應用及逆定理的應用，會添加與之相關的輔助線。

在教學過程中幾乎每位教師都會提到解決垂徑定理的關鍵是作垂徑三角形的輔助線，這里所謂的垂徑三角形指的是由半徑、弦心距和弦的一半這三個量構成的一個直角三角形，再利用一次勾股定理即可解決?？此坪芎唵?，但由于題目的靈活性，學生在實際的解答過程中還是會不斷的出現問題，其實，教師只要稍微對問題的關鍵作適當的點撥，他們就能解決問題。但如果教師沒有重視“臨界生”存在這種學習上的潛質，這樣簡短易懂的題目就會成為學生的失分點，其結果是非?？上У摹?/p>

2.教給學生備好“工具”方便運用。這里的工具，一是基礎知識、概念、定理、公式、法則，二是數學思想方法?！芭R界生”基礎知識掌握不扎實，有些該記憶的公式沒有記住，該理解的概念沒有理解，尤其是幾何基本問題的求法，函數解析式的求解等，做題時不知該用哪個公式，還得去翻書。針對這種情況，在復習之初，就應先讓學生把該掌握的掌握好，并整理出知識脈絡。在此基礎上，教師再對個別重點、難點予以強調和講解。這樣做的結果是，學生自我歸納了知識的精髓，教師的指點又彌補了其中的不足。

例如，在“圓”的復習中首先要求學生對圓的定義、垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理、弧長和扇形的面積公式、圓錐的側面積和全面積公式等這些概念、公式都掌握好。在此基礎上，再讓他們做一些簡單的公式應用訓練，以強化公式的記憶和提高公式的熟練應用能力。

（二）有效輔導，使“臨界生”的學習潛質得以有效發(fā)掘

1.依據考綱，精選練習，逐步提高解題能力。題海之戰(zhàn)，無異于將人引入無舵舢板，很難達到預定的彼岸。在初中數學的分析階段，提高數學的復習效果，更不能搞題海戰(zhàn)術。特別是面對這些“臨界生”，更應做到題少，題精。教師可先精選一些簡單題給他們練，引導他們如何審題，如何通過關鍵信息尋找線索，從而找到解題的突破口；如何利用各種解題技巧、方法得出正確答案。對于教師來說，應該注意引導學生的表現欲，采用低起點，讓他們先享受一下成功，然后不斷深入，提高其解題的能力。

2.合作學習，挖掘潛力，努力激發(fā)解題興趣。著名教育家陶行知先生提出“六大解放”思想，其中就有“解放學生的頭腦，解放學生的嘴巴，解放學生的空間”，這就要求教師在初中數學的復習教學的過程中，盡量發(fā)揮學生的主觀能動性。教師要采取有效的方法，在指導“臨界生”的復習時要“能放”“會引”“多探”“善啟”，讓學生自己去選擇，去挑戰(zhàn)，去合作，完成自己的目標。學生在不斷運用大腦的同時，各項能力也就有了增長。

小組合作解題筆者在初三的課堂教學中采用的較少，主要是時間太緊，但是小組合作對于“臨界生”的課外輔導非常有效，有時也減輕了教師的負擔，學生在討論中更深層次地提高了對題目的認識。

3.教給方法，引發(fā)參與，有效發(fā)掘學習內驅。數學“臨界生”的學習方法不夠到位，是他們數學成績上不去的其中原因之一，所以筆者在輔導“臨界生”的數學解題時比較注重解題方法的指導。

（1）理考點，解題思路。首先根據章節(jié)知識所運用到的數學思想和方法，引導學生回顧它們的雛形，然后組織學生小組討論，認真分析運用這些數學思想和方法的條件和背景，使學生真正從理性的高度去掌握數學思想方法。

（2）讓學生來講題。理性、規(guī)范、統(tǒng)一、嚴格的傳統(tǒng)教學與學習環(huán)境嚴重挫傷了學生學習的積極性和創(chuàng)造性，不僅浪費了學習時間，還導致一大批學生對數學學習產生恐懼，從而討厭學習數學。要改變這種狀態(tài)，除了要改變課堂的教學模式外，更要改變課外輔導模式。重視學生解決問題的過程體驗，感悟數學的教學方式，使學生真正體會自己不是一臺解題機器，而是在享受數學之美。

數學課外輔導的講解，并非是教師的專利。選擇適當的問題，讓學生自己登臺去講解，能起到更好的復習效果。關鍵是能否相信學生，并給他們這種機會。不少學生深有體會地說：“準備登臺講解的過程，其實就是自主學習的過程，它要求自己必須學透，學精，而且可以鍛煉自己的表達能力?！苯o他們機會，就是給自己放松，而且事半功倍，何樂而不為。

4.全面關注，內外結合，創(chuàng)造條件加深理解?！芭R界生”不應只在輔導課上才是臨界生，在日常的數學課中，教師更要注意他們作為“臨界生”的身份。對“臨界生”的輔導，只靠課余，顯然是不夠的。與其讓他們課堂上聽不懂，留下更多的問題課外解決，不如讓他們在課堂上掌握更多的知識，解決更多的問題。因而，平時備每一節(jié)課時，教師應多花一點時間備一下“臨界生”，上課時則就他們常出現的問題多加提問。課堂上多給“臨界生”機會去補救不足或者加深對知識的理解，切切實實提高他們學習數學的興趣和熱情，能收到極佳的效果。

（三）及時鞏固練習，使發(fā)掘的“臨界生”潛質鞏固提升

1.變式訓練，增添新鮮，提升演練。在進行了有針對性的輔導后，教師應單獨針對他們的特點，設置幾個問題；問題不需要太多，有時可以用一個問題進行課后的反饋，使其牢固掌握好。同一個問題應采用多個不同的提問形式、多個不同的提問角度進行提問，給學生一種新鮮感，不至于同一個問題多次提問，使學生產生一種重復訓練的疲勞感。

2.小結反思，自我提升，鞏固發(fā)掘。學生將題目做完了，但對這道題的學習并不應就此簡單地結束，還應讓他們想想、說說為什么自己選了某個答案，討論為什么這個答案是對的或不對的，自己當時的思路是什么，用了什么方法，這樣思考問題的方向對不對，這種解題技巧是否可行，以后應注意什么，有什么需要改進，等等。

每當復習完一個專題之后，要求學生做到兩點：一是充分利用章節(jié)后面“復習與小結”的內容，弄清本章本節(jié)的知識結構。二是避開課本上“復習與小結”的內容，自己列出詳盡的復習提綱。其中包括系統(tǒng)知識、典型例題、能力要求、思想方法、解題技巧、學習體會等，使其感到自己的學習潛力是巨大的，鞏固在教師指導下發(fā)掘到的學習成果。

每個人從一出生都注定有不平凡的一面，“臨界生”也一樣可以通過持之以恒的努力、決不放棄的精神，盡情綻放屬于他們的美麗，而他們的成功對于學校和他們個人都有十分重要的意義。

參考文獻：

[1]（前蘇聯）B.A.蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].杜殿坤，編譯.北京：教育科學出版社，1999.

第9篇：垂徑定理范文

關鍵詞：建立表象、組合定理、聯想定理

教師在教途上并不是一帆風順的，尤其在農村中學，有時由于教學上的需要，往往到了初三，也會出現面對陌生學生的情況。筆者今年就遇到了尷尬：幾何證明題學生會證的，卻不會書寫或書寫不完整；知道步驟的原因和結論，但講不出定理的內容；更多的學生面對幾何題在證明時憑感覺。面對著時間緊、任務重，怎么辦呢？經過一番苦思冥想，針對學生基礎差、底子薄，決定狠抓“定理教學”。通過一段時間的復習，學生普遍反映在證題和書寫時有了“依靠”，也發(fā)現了定理的價值，基本樹立了“用定理”的意識。

那么，學生在證題時到底是由哪些原因造成思維受阻，產生解題的困惑呢？我們把它歸納為以下幾點：

⑴不理解定理是進行推理的依據。其實如果我們把一道完整的幾何證明題的過程進行分解，發(fā)現它的骨干是由一個一個定理組成的。而學生書寫的不完整、不嚴密，就因為缺乏對定理必要的理解，不會用符號語言表達，從而不能嚴謹推理，造成幾何定理無法具體運用到習題中去。

⑵找不到運用定理所需的條件，或者在幾何圖形中找不出定理所對應的基本圖形。具體表現在不熟悉圖形和定理之間的聯系，思考時把定理和圖形分割開來。對于定理或圖形的變式不理解，圖形稍作改變（或不是標準形），學生就難以思考。

⑶推理過程因果關系模糊不清。

針對以上的原因，我們在教學中采取了一些自救對策。

一、教學環(huán)節(jié)

對幾何定理的教學，我們在集中講授時分5個環(huán)節(jié)。第1、2 環(huán)節(jié)是理解定理的基本要求；第3 環(huán)節(jié)是基本推理模式，第4 環(huán)節(jié)是定理在推理過程中的呈現方式，提出了“模式＋定理”的書寫方法；第5 環(huán)節(jié)是定理在解題分析時的導向作用，提出了“圖形＋定理”的思考方法。程序圖設計如下：

基本要求 重新建立表象 推理模式 組合定理 聯想定理

二、操作分析和說明

⒈ 定理的基本要求

我們認為，能正確書寫證明過程的前提是學會對幾何定理的書寫，因為幾何定理的符號語言是證明過程中的基本單位。因而在教學中我們采取了“一劃二畫三寫”的步驟，讓學生盡快熟悉每一個定理的基本要求，并重新整理了初中階段的定理（見附頁，此只列出與本文有關的定理），集中展示給學生。

例如定理43：直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

一劃：就是找出定理的題設和結論，題設用直線，結論用波浪線，要求在劃時突出定理的本質部分。

如：“直角三角形”和“高線”、“相似”。

二畫：就是依據定理的內容，能畫出所對應的基本圖形。

如：

三寫：就是在分清題設和結論的基礎上，能用符號語言表達 ，允許采用等同條件。

如：abc是rt，cdab于d（條件也可寫成：∠acb＝90°,∠cdb＝90°等) acd∽bcd∽abc 。

學生在書寫時果然出現了一些問題：

①不理解每個定理的條件和結論。學生在書寫時往往漏掉條件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中線等）；對條件太簡單的不會寫（如定理3）；或者把條件當成結論（如定理12把三線都當成結論）。

②還表現在思維偏差。我們的要求是會用定理，而有些學生把定理重新證明一遍（如定理5、6）；或者在一個定理中出現 ××，又××，××的錯誤。

③更多的是沒有抓住本質。具體表現在把非本質的條件當成本質條件（如定理7出現 ∠1 和∠2是同位角，ab∥cd）；條件重復（如定理49，結論∠apo＝∠bpo已經包括過圓心o，學生在條件中還加以說明）；圖形過于特殊（如把定理1的圖畫成射影定理的基本圖形）；文字過多（一些定理譯不出符號語言，用文字代替）等。

⒉ 重新建立表象

從具體到抽象，由感性到理性已成為廣大數學教師傳授知識的重要原則?！氨硐蟆本褪侨藗儗^去感知過的客觀世界中的對象或對象在頭腦中留下來的可以再現出來的形象，具有一定的鮮明性、具體性、概括性和抽象性。由于幾何的每一個定理都對應著一個圖形，這給我們在教學中提供了一定的便利。我們要求學生對定理的表象不能只停留在實體的形象上，而是讓學生有意識的記圖形，想圖形，以形成和喚起表象。我們認為，這對于理解、鞏固和記憶幾何定理起著重大的作用。

教給學生想形象的基本方法后，我們接下去的步驟是用實例引導學生，下面是一段經整理后的課堂教學主要內容：

⑴ 問：聽了老師的介紹后，你怎樣回憶垂徑定理的形象？

答：垂徑定理我在想的時候，腦子里留下“兩條等弧、兩條相等的線段、一個直角”在一閃一閃的，以后看到弧相等或其他兩個條件之一，腦子里就會浮現出垂徑定理。

目的：建立單個定理的表象，要求能想到非標準圖形。

繼續(xù)問：看到弧相等，你們只想到了垂徑定理，其他的定理就沒有想起來嗎？

答：想到了圓心角相等、圓周角相等、弦相等……

甚至有學生想到了兩條平行弦……

目的：通過表象，進行聯想，使學生理解定理間的聯系。

⑵ 問：從定理21開始，你能找出和它有聯系的定理嗎？

答：有定理22（擦短使平行直線變成線段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或圖形的平移、旋轉等變化，加深定理間的聯系。

⑶下面的步驟，我們讓學生自主思考。學生在不斷嘗試的過程中，通過比較、分析、判斷，進一步熟悉定理的三種語言、定理之間的聯系和區(qū)別。從學生思考的角度看，他們主要是在尋找基本圖形，由于定理之間有一定的聯系，在一個基本圖形中往往存在著另一個殘缺的基本圖形，所以學生大多通過連線、延長、作圓、平移、旋轉等手段，也有通過特殊化、找同結論等途徑把不同的定理聯系起來。

下面摘錄的是學生自主思考后，得到的富有創(chuàng)意性的結論。

①定理16（延長中線成矩形） 定理24（作矩形的外接圓） 定理34。

②定理51（一線過圓心，且兩線垂直） 定理36（一線平移成切線） 定理47、48（繞切點旋轉） 定理50。

③如下圖，把 ef 向下平移（或繞a點旋轉），使定理37和50聯系起來（有同結論 ∠α＝∠d）：

⒊ 推理模式

從學生各方面的反饋情況看，多數學生覺得幾何抽象還在于幾何推理形式多樣、過程復雜而又摸不定，往往聽課時知道該如何寫，而自己書寫時又漏掉某些步驟。怎樣將形式多樣的推理過程讓學生看得清而又摸得著呢？為此，我們在二步推理的基礎上，經過歸納整理，總結了三種基本推理模式。

具體教學分三個步驟實施：

⑴精心設計三個簡單的例題，讓學生歸納出三種基本推理模式。

① 條件 結論 新結論 （結論推新結論式）

② 新結論 （多個結論推新結論式）

③ 新結論 （結論和條件推新結論式）

⑵通過已詳細書寫證明過程 的題目讓學生識別不同的推理模式。

⑶通過具體習題，學生有意識、有預見性地練習書寫。

這一環(huán)節(jié)我們的目的是讓學生先理解證明題的大致框架，在具體書寫時有一定的模式，有效地克服了學生書寫的盲目性。但教學表明學生仍然出現不必要的跳步，這是什么原因呢？我們把它歸結為對推理的因果關系不明確、定理是推理的依據和單位不明白。因而我們根據需要，又設計了以下一個環(huán)節(jié)。

⒋ 組合定理

基本推理模式中的骨干部分還是定理的符號語言。因而在這一環(huán)節(jié)，我們讓學生在證明的過程中找出單個定理的因果關系、多個定理的組合方式，然后由幾個定理組合后構造圖形，進一步強化學生“用定理”的意識。

下面通過一例來說明這一步驟的實施。

例1：已知如圖，四邊形abcd外接o的半徑為5，對角線 ac 與 bd 相交于e，且 ab ＝ ae·ac，bd＝ 8。求bad的面積。（2001年嘉興市質量評估卷六）

證明：連結ob，連結oa交bd于f。

學生從每一個推測符號中找出所對應的定理和隱含的主要定理：

比例基本性質 s/as/ 證相似 相似三角形性質 垂徑定理 勾股定理 三角形面積公式

由于學生自己主動找定理，因而印象深刻。在證明過程中確實是由一個一個定理連結起來的，也讓學生體會到把定理（不排除概念、公式等）鑲嵌在基本模式中，就能形成嚴密的推理過程。此時，可順勢布置以下的任務：給出勾股定理，你能再結合一個或多個定理，構造圖形，并編出證明題或計算題嗎？

實踐表明：經過“模式＋定理”書寫方法的熏陶后，學生基本具備了完整書寫的意識。

⒌ 聯想定理

分析圖形是證明的基礎，幾何問題給出的圖形有時是某些基本圖形的殘缺形式，通過作輔助線構造出定理的基本圖形，為運用定理解決問題創(chuàng)造條件。圖形固然可以引發(fā)聯想（這也是教師分析幾何證明題、學生證題的基本方法之一），但對于識圖或想象力較差的學生來說，就比較困難，他們往往存有疑問：到底怎樣才能分解出基本圖形呢？在復雜的圖形中怎樣找到所需要的基本圖形呢？因而我們從另一側面，即證明題的“已知、求證”上給學生以支招，即由命題的題設、結論聯想某些定理，以配合圖形想象。

例：如圖，o1和o2相交于b、c兩點，ab是o1 的直徑，ab、ac的延長線分別交o2于d、e，過b作o1的切線交ae于f。求證：bf∥de。

討論此題時，啟發(fā)學生由題設中的“ab是o的直徑”聯想定理“直徑所對的圓周角是90°”，因而連結bc；“過b作o的切線交ae于f”聯想定理“切線的性質”，得出∠abf＝90°。從而構造出基本圖形②③。

由命題的結論“bf∥de”聯想起“同位角相等，兩直線平行”定理，構造出基本圖形④。將上述基本圖形②③④ 的性質結合在一起，學生就易于思考了。

這一環(huán)節(jié)我們的引導語有：“由已知中的哪一個條件，你能聯想起什么定理？”、“條件組合后能構成哪個定理？”、“有無對應的基本圖形？”、“能否構造出基本圖形？”等。目的是讓學生樹立起“圖形＋定理”的思考方法，把以前的無意識思考變成有目的、有意識的思考。

三、幾點認識

復習的效果最終要體現在學生身上，只有通過學生的自身實踐和領悟才是最佳復習途徑，因此在復習時，我們始終堅持主體性原則。在組織復習的各個環(huán)節(jié)中，充分調動學生學習的主動性和積極性：提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，方法和規(guī)律讓學生體會，創(chuàng)造性的解答共同完善。

“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”（弗賴登塔爾）。我們認為傳授方法或解答后讓學生進行反思、領悟是很好的方法，所以我們在教學時總留出足夠的時間來讓學生進行反思，使學生盡快形成一種解題思路、書寫方法。

集中講授能使學生對幾何定理的應用有一定的認識，但如果不加以鞏固，也會造成遺忘。因而我們也堅持了滲透性原則，在平時的解題分析中時常有意識地引導、反復滲透。

參考資料：

① 高三數學第二輪復習的理論和實踐 孟祥東等 《中學數學教與學》2001、3

② 全國初中數學教育第十屆年會論文集 p380 、p470

附錄：初中數學幾何定理集錦（摘錄）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。對頂角相等。

5。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。

6。在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

7。同位角相等，兩直線平行。

12。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。

16。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

19。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。

21。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

22。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

24。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。

25。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

27。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

34。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應的其余各對量都相等。

36。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

43。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

37．圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角等于它的內對角。

47。切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

48。切線的性質定理①經過圓心垂直于切線的直線必經過切點。 ②圓的切線垂直于經過切點的半徑。 ③經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。

49。切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。