高斯消元法的基本原理精選(九篇)

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第1篇：高斯消元法的基本原理范文

Abstract： In the field of spectroscopy, electrochemical analysis and chromatography, the signal overlap is a common phenomenon, and how to conduct the decomposition of overlapping signals in a limited hardware environment by mathematical methods becomes a more practical meaningful task. The related research status at home and abroad was introduced from four types of common mathematical methods in this paper.

關鍵詞： 重疊峰；分解；數(shù)學方法

Key words： overlapping peaks；decomposition；mathematical method

中圖分類號：O17文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）04-0197-01

1重疊峰分解的實際意義

在光譜研究領域，重疊的光譜信號是比較常見的。例如，①在紫外-可見光譜分析中：在苯和甲苯的混合體系及苯、甲苯和二甲苯等混合體系中，各組分紫外光譜嚴重重疊；復合維生素B片劑的吸收光譜中，維生素B1，B2，B6和煙酰胺4組分嚴重重疊；二甲酚橙（XO）-CTMAB-Cu、Cd、Ni顯色體系各組分吸收光譜相互重疊。鈰組稀土元素的性質極其相似，因此其5種元素的吸收光譜嚴重重疊。②在熒光光譜分析中：利用偏振X射線熒光技術分析鐵磁性永磁材料粉末時，Si和Sr譜線完全重疊；醫(yī)院營養(yǎng)輸液常用的復合氨基酸注射液中包含色氨酸和酪氨酸，而此二組分的熒光光譜嚴重重疊等等。此外，重疊現(xiàn)象在化學領域的電化學分析、色譜分析中也同樣存在。重疊現(xiàn)象給進一步的定性和定量分析都帶來了困難。對于這樣的問題，通過硬件手段如改進儀器來提高信號的分辨率通常受到資金或工作條件等現(xiàn)實問題的制約。因此，往往通過數(shù)學手段把儀器未能完全分離的多個譜峰給以分解，得到重疊峰信號中的各子峰或組分的相關信息（如峰形狀、峰位置、半峰寬和峰高度）的估計值。而隨著計算機的發(fā)展，計算技術的提高，與計算機相結合的信息理論、多元統(tǒng)計分析法、數(shù)學最優(yōu)化等數(shù)學方法被利用于重疊峰的分解，并逐漸成為了現(xiàn)代光譜分析的熱點。

2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

對于采用各種計算方法分解光譜重疊峰的研究已有不少報道，其中分光光度法、熒光光譜、ICP-AES等重疊峰的解析已發(fā)展比較成熟。目前常見的數(shù)學方法有四類：

2.1 雙波長、三波長法、導數(shù)光譜法其中導數(shù)光譜法是分辨重疊峰的一種常用的較為成熟的方法。1953年Hammond等人首先提出。其基本原理是對原吸收曲線進行一階、二階至四階求導，然后對得到的各階導數(shù)光譜進行分析。從而來確定重疊峰的個數(shù)、重疊峰位及改善譜線分辨率等。關于導數(shù)法定研究及報道有很多，如王超群利用導數(shù)法探討了其在X射線衍射分析中的應用；Windig討論了二階導數(shù)光譜在自模式分析技術中的應用，以及相應的平滑方法。但導數(shù)法存在一個顯著缺點：隨著求導次數(shù)的增加，噪聲也隨之增加，在高階導數(shù)中，信號可能被噪聲完全淹沒，因而，通常，每求一階導數(shù)之后都需要濾除噪聲來提高信噪比。

2.2 最優(yōu)化方法最小二乘法作為一種判斷擬合效果優(yōu)劣的評價標準而經(jīng)常被使用，從而將問題轉化為尋優(yōu)問題。而解決此最優(yōu)化問題的方法有很多相關研究和報道：如：何錫文等周興風等分別討論了線性規(guī)劃方法的使用；孫桂玲等使用Newton-Raphson逐步逼近法和最速下降法對高斯峰進行分離；此外還有Cauchy法、直接搜索法、單純形法、DFP法及共軛梯度法等。

最小二乘法的缺點是當各組分光譜嚴重重疊時（數(shù)學上叫共線性），如正規(guī)矩陣的秩接近零，此時的方程組近乎病態(tài)方程組，實驗中的微小誤差或是計算中間過程數(shù)據(jù)位數(shù)的取舍都會引起計算結果的大幅波動，此時最小二乘法不適用。

2.3 多元統(tǒng)計法由于傳統(tǒng)最小二乘法的缺點，出現(xiàn)了許多改進方法。如：Wold在1966年提出的偏最小二乘法；王鎮(zhèn)浦等討論了CPA矩陣法；因子分析法更是被廣泛研究，白潔玲通過迭代目標轉換因子分析應用于4種混合色素溶液吸附伏安法波譜的解析來對其進行同時測定；進化因子分析與消秩方法被用于重疊光譜分析。這些方法各自在不同程度上克服了最小二乘法的缺點。

2.4 利用信息處理的理論1979年，Poulisse首次將卡爾曼濾波原理用于多組分體系分光光度分析中，使多組分體系的含量測定歸結為對重疊光譜曲線進行快速濾波的過程。這個思想不僅帶來了一種新的重疊峰分解的方法同時還啟發(fā)了分析工作者，使人們認識到，譜數(shù)據(jù)處理與通訊技術中的信息處理過程很相似，完全可以借鑒其數(shù)學工具。上世紀90年代，能解決非線形擬合的人工神經(jīng)網(wǎng)絡技術也被廣泛應用求解多組分濃度，不足之處是需要大量樣本學習，很復雜且耗時。遺傳算法作為一種全局的尋優(yōu)方法，也逐漸被應用于譜圖分析及重疊峰分解等方向的研究。使用數(shù)學方法對重疊峰分解的優(yōu)點在于它對硬件要求不高，只需在一定的實驗條件下，獲取足夠的實驗數(shù)據(jù)，借助計算機強大的運算能力，運用數(shù)學方法進行計算，能夠獲取準確度較高的對重疊峰解析的結果，基本上可以滿足一般檢測和分析的要求，因此其發(fā)展前景相當廣闊，見諸于專業(yè)刊物的研究。報告顯示，使用軟件后處理的研究和應用正廣泛開展。

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