零點(diǎn)分段討論法精選(九篇)

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第1篇：零點(diǎn)分段討論法范文

一、代數(shù)中最值常見解題策略與技巧

1、配方法

主要依據(jù)完全平方項(xiàng)的非負(fù)性，利用恒等變形，將原代數(shù)式分組配成完全平方項(xiàng)與實(shí)數(shù)項(xiàng)和的形式即可求解最值問題.

例1：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+y2-2xy+2x+4 的最小值為_______.

析：該代數(shù)式只需將 x2與y2-2xy 組合成完全平方， x2與2x+1組合成完全平方即可.

2、分類討論法

含絕對值的函數(shù)最值通常含有不確定因素，對于這類問題一般需要依據(jù)絕對值零點(diǎn)意義對其分類討論，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解最值.例2.求│x-1│+│x-2│ 的最小值.

分析：此題只需要找到絕對值零點(diǎn)1，2，然后分段討論利用函數(shù)單調(diào)性求解即可.

3、數(shù)形結(jié)合法

對于一些有明顯幾何意義或與幾何圖形相關(guān)聯(lián)的題，我們采用數(shù)形結(jié)合的思想往往會起到事半功倍的效果.比如例2的式子可以看成是數(shù)軸上的x到1的距離與x到2的距離的和，只有當(dāng)x在1與2之間時，它們的和最小.這樣就少了像例2那樣繁瑣的討論，反而顯得明朗化、清晰化、簡單化.這種解法對于像這樣的式子" │x-1│+│x-2│+...+│x-10│求最小值"就顯得更為直觀簡單，x取值只要在5與6之間即可.但此種方法常用于一次項(xiàng)系數(shù)為1的，對于那些系數(shù)不為1的（系數(shù)為整數(shù)或有理數(shù)），我們通常通過提取公因數(shù)將它的系數(shù)轉(zhuǎn)化為1，再利用常規(guī)的做法即可.如對于下面的變式：

變式1：求 │2x-1│+│2x-2│的最小值.

變式2：求│x-2│+│2x+7│ 的最小值.

分析：對于變式1，一次項(xiàng)系數(shù)為2，故須提取整數(shù)2將原式變形為2（│x-│+│x-1│） ，再依據(jù)系數(shù)為1的絕對值函數(shù)最值法求解；對于變式2，一次項(xiàng)系數(shù)即含整數(shù)又含分?jǐn)?shù)，故可將分?jǐn)?shù)先轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再將整數(shù)轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的絕對值函數(shù).

再者，如下面的例3可以化歸為平面坐標(biāo)系中"一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和最小的幾何問題"，簡單明了.

例3：求 y=+的最小值

4、均值不等式法

形如a2+b2≥2ab（a，b∈R） 的均值不等式，一方面可以應(yīng)用有明顯不等式形式的代數(shù)式、分式中，如求 （x2++4）的最小值，一方面在幾何面積最值求解中也有應(yīng)用，如2011陜西中考填空題第16題，在構(gòu)造輔助線平移線段中出現(xiàn)直角三角形，且直角邊未知，斜邊已知時，這時我們可以利用勾股定理表示三邊關(guān)系，此時出現(xiàn)兩個未知量平方和的關(guān)系，要求兩個未知量積的最值即可用均值不等式.

5、函數(shù)模型

函數(shù)模型一方面在實(shí)際的應(yīng)用題型中應(yīng)用廣泛，主要是一些盈利、分配、用料最省等問題，解決這類題先要分清題中已知量與未知量，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.另一方面它在幾何面積最值中也有應(yīng)用，通常是先通過構(gòu)造，利用相似或解直角三角形將圖形面積用二次函數(shù)表示，再在實(shí)際變量限制范圍內(nèi)利用函數(shù)單調(diào)性取最值即可.

二、幾何最值問題解題策略與技巧

幾何最值問題，主要以簡單的幾何模型為依托，通過化歸思想，化繁為簡，化動為定，結(jié)合軸對稱變換、平移變換，巧用特定圖形的性質(zhì)來解決.

1、平面幾何中最值問題

平面幾何最值，最簡單的模型是"兩條線段差最大，和最小"問題，其特點(diǎn)是"一定直線-兩定點(diǎn)-一動點(diǎn)"，在解決三角形、四邊形、圓中線段、周長、面積最值問題時，可利用圖形本身的性質(zhì)以及幾何變換將其轉(zhuǎn)化為簡單的幾何模型求解即可.特別的在圓中會用到"過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，垂直于該點(diǎn)所在直徑的弦最短"求最小值。

2、立體幾何中最值問題

立體幾何中最值通常是曲面上兩點(diǎn)間的距離，解決這類問題，我們往往是化曲為直，將立體圖形沿側(cè)棱某一條線展開成平面圖形，依據(jù)"兩點(diǎn)之間，直線段最短"，構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用勾股定理計算即可.如2012山東青島中考填空題第14題：

如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 ___cm.

分析：將圓柱玻璃杯沿A點(diǎn)豎直剖開展成一個長為18cm，寬為12cm的長方形，此時點(diǎn)A（螞蟻）、C（蜂蜜）相當(dāng)兩個定點(diǎn)，要確定一動點(diǎn)P使得螞蟻在曲面上到達(dá)蜂蜜的距離最短，這時該題已轉(zhuǎn)化為"兩定一動，線段和最小問題"，只需利用軸對稱的性質(zhì)在平面里確定點(diǎn)P，構(gòu)造輔助線成直角三角形，用勾股定理求解即可.