分類討論的方法精選(九篇)

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第1篇：分類討論的方法范文

[TP12GW142。TIF，Y#]

例1 滑雪者從A點由靜止沿斜面滑下，沿一平臺后水平飛離B點，地面上緊靠平臺有一個水平臺階，空間幾何尺度如圖1所示，斜面、平臺與滑雪板之間的動摩擦因數(shù)為μ。假設(shè)滑雪者由斜面底端進入平臺后立即沿水平方向運動，且速度大小不變。求：滑雪者從B點開始做平拋運動的水平距離s。

分析 本題平拋落點具有不確定性，需分類討論。

由于試題中的相關(guān)條件是以字母呈現(xiàn)的，因此，隨著物理量間關(guān)系的不同，滑雪者從B點開始做平拋運動會出現(xiàn)兩種可能，一是vB比較小滑雪者將落在臺階上，二是vB比較大滑雪者將落在地面上。因此，求解必須分兩種情況討論，闡明兩種情況對應(yīng)的條件和結(jié)果。

解 設(shè)滑雪者質(zhì)量為m，斜面與水平面夾角為θ，滑雪者滑行過程中克服摩擦力做功

[JZ]Wf=μmgcosθ?s+μmg（L-scosθ）=μmgL。

AB由動能定理mg（H-h）-Wf=[SX（]1[]2[SX）]mv2，

離開B點時的速度v=[KF（]2g（H-h-μL）[KF）]。

（1）設(shè)滑雪者離開B點后落在臺階上

[JZ][SX（]h[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]gt21，

[JZ]s1=vt1

可解得[JZ]s1=[KF（]2h（H-h-μL）[KF）]，

此時必須滿足[JZ]H-μL

（2）當(dāng)H-μL>2h時，滑雪者直接落到地面上，

[JZ]h=[SX（]1[]2[SX）]gt22，s2=vt2，

可解得[JZ]S2=2[KF（]h（H-h-μL）[KF）]。

[TP12GW143。TIF，Y#]

例2 如圖2，質(zhì)量為M、長為L、高為h的矩形滑塊置于水平地面上，滑塊與地面間動摩擦因數(shù)為μ；滑塊上表面光滑，其右端放置一個質(zhì)量為m的小球。用水平外力擊打滑塊左端，使其在極短時間內(nèi)獲得向右的速度v0，經(jīng)過一段時間后小球落地。求小球落地時距滑塊左端的水平距離。

分析 本題兩物體停止運動的先后具有不確定性，需分類討論。

試題的條件也是用字母呈現(xiàn)的，當(dāng)小球離開滑塊下落的同時，滑塊作勻減速運動，一種可能是小球落地時滑塊還在運動，第二種可能是滑塊停止運動時小球還未落地。

解 小球下落前滑塊的加速度

[JZ]a1=[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]，

滑塊做勻減速運動，到小球開始下落時的速度

[JZ]v=[KF（]v20-2a1L[KF）]，

小球落地時間[JZ]t1=[KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]，

小球離開滑塊后，滑塊的加速度a2=[SX（]μMg[]M[SX）]=μg，

按此加速度，滑塊停止運動時間

[JZ]t2=[SX（]v[]a2[SX）]=[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]。

（1）若小球落地時間大于或等于滑塊停止時間，即

[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]≥[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]，

則小球落地時距滑塊左側(cè)

[JZ]s=[SX（]v2[]2a2[SX）]=[SX（]v20[]2μg[SX）]-[SX（]（M+m）L[]M[SX）]。

（2）若小球落地時間小于滑塊停止時間，即

[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]

則小球落地時距滑塊左側(cè)

[JZ]s=vt-[SX（]1[]2[SX）]a2t2=[KF（][SX（]2h[]g[SX）]v20-[SX（]4μ（M+m）Lh[]M[SX）][KF）]-μh。

[TP12GW144。TIF，Y#]

例3 1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計出了回旋加速器?；匦铀倨鞯墓ぷ髟砣鐖D3所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計。磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q ，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用。

實際使用中，磁感應(yīng)強度和加速電場頻率都有最大值的限制。若某一加速器磁感應(yīng)強度和加速電場頻率的最大值分別為Bm、fm，試討論粒子能獲得的最大動能Ekm。

分析 本題條件Bm、fm所決定的Ekm具有不確定性，需分類討論。

由Ek=[SX（]1[]2[SX）]mv2=[SX（]1[]2[SX）]m（2πR?f）2可知，粒子的最大動能取決于加速電場的頻率，而加速電場的頻率應(yīng)等于粒子在磁場中做圓周運動的頻率，即f=[SX（]qB[]2πm[SX）]，當(dāng)磁感應(yīng)強度為Bm時，加速電場的頻率應(yīng)為fBm≤fm，當(dāng) ≤ 時，粒子的最大動能由Bm決定。當(dāng)fBm≥fm時，粒子的最大動能由fm決定。

解 （1）當(dāng)fBm≤fm時，qvmBm=m[SX（]v2m[]R[SX）]，解得Ekm=[SX（]q2B2mR2[]2m[SX）]。

（2）當(dāng)fBm≥fm時，vm=2πfmR，解得Ekm =2π2mf2mR2。

例4 甲、乙兩個小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲。甲和他的冰車的質(zhì)量共為M=30 kg，乙和他的冰車的質(zhì)量也是30 kg。游戲時，甲推著一個質(zhì)量為m=15 kg的箱子，和他一起以大小為v0=2。0 m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來。為了避免相撞，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時乙迅速把它抓住。[TP12GW145。TIF，Y#]若不計冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相對于地面）將箱子推出，才能避免與乙相撞。

分析 本題最終甲和乙運動速度（大小、方向）具有不確定性，需分類討論。

設(shè)甲推出箱子后的速度大小為v甲，乙接到箱子后的速度大小為v乙。v甲、v乙及其是否相碰情況列表（表1）分析如下。

[JZ][HT6]表1

[BG（！][BHDFG2，WK6，K10，K8W]

v甲[]v乙[]甲乙碰撞情況

[BHD]向左[]向右[]不相碰

[BH]0（靜止）[]向右[]不相碰

[BHDG10，WK6，K18W]向右

[][ZB（][BHDG2，WK10，K8W]向左[]相碰

[BH]0（靜止）[]相碰

[BHDG6，WK4，K14W]向右

[][ZB（][BHDG2，WK6，K8W]

v甲

[BH]v甲=v乙[]恰不相碰

[BH]v甲>v乙[]相碰[ZB）][ZB）][BG）F]

表中相關(guān)判斷必須考慮系統(tǒng)動量守恒，系統(tǒng)總動量是向右的。

解 設(shè)箱子推出后其速度為v，甲孩的速度為v1，根據(jù)動量守恒可得

mv+Mv1=（m+M）v0（1）

設(shè)乙孩抓住箱子后其速度為v2，根據(jù)動量守恒可得

（m+M）v2=mv-Mv0（2）

剛好不相碰的條件要求 v1=v2（3）

由（1）、（2）、（3）三式可解得

v=[SX（]m2+2mM+2M2[]m2+2mM[SX）]?v0，

代入數(shù)值可得[JZ]v=5。2 m/s。

例5 如圖5所示，A為放在水平光滑桌面上的長方形物塊，在它上面放有物塊B和C。A、B、C的質(zhì)量分別為m、5m、m。B、C與A之間的靜摩擦因數(shù)和滑動摩擦因數(shù)皆為0。1。K為輕滑輪，繞過輕滑輪連接B和C的輕細繩都處于水平位置。現(xiàn)用沿水平方向的恒定外力F拉滑輪，使A的加速度等于0。20g，g為重力加速度。在這種情況時，B、A之間沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，C、A之間沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，外力F的大小等于[CD#3]。

[TP12GW146。TIF，Y#]

分析 本題A、B、C三個物體相對運動關(guān)系具有不確定性，需分類討論。

A、B、C的相對運動可以分以下幾種情況：（1）A、B、C三物體相對靜止；（2）A、B、C三物體均有相對運動；（3）B、C相對靜止他們與A有相對運動；（4）A、C相對靜止他們與B有相對運動；（5）A、B相對靜止他們與C有相對運動；

現(xiàn)對幾種情形逐一分析。

（1）假設(shè)該情形成立，對ABC整體，由牛頓第二定律F=7ma得F=1。4mg，對滑輪有F=2T，即T=0。7mg，對物體C，合力FC=0。2mg，可得A給C必須有向左的摩擦力f1=0。5mg，而AC間最大摩擦力為fCA=0。1mg，顯然矛盾，即ABC不可能相對靜止，情形1不可能。

（2）假設(shè)該情形成立，對A，fBA+fCA=maA，將fBA=0。5mg，fCA=0。1mg，maA=0。2mg代入，顯然矛盾，即不可能出現(xiàn)ABC三物體均有相對運動，情形2不可能。

（3）由對情形2的分析可知，情形3也不可能。

（4）假設(shè)該情形成立，先討論第一種可能性aAC>aB，對AC由牛頓第二定律：T-fAB=2maA，將fAB=0。5mg，maA=0。2mg代入得：T=0。9mg。對B由牛頓第二定律：T+fAB=5maB，解得：aB=0。28g>aAC，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立；再討論第二種可能性aAC

（5）假設(shè)該情形成立，合理的情景是C相對AB向右滑，對AB整體，由牛頓第二定律：T+fCA=6maA，其中，fCA=0。1mg，aA=0。2g，可解得T=1。1mg，對A，由牛頓第二定律：fBA+fCA=maA，解得fBA=0。1mgaA情形合理。根據(jù)以上討論，情形5成立，而且是本題中ABC相對運動關(guān)系唯一存在的可能。

解 根據(jù)以上情形5的討論，AC間摩擦力為滑動摩擦，大小為fAC=0。1mg，對B，由牛頓第二定律：T-fAB=5maA，解得fAB=0。1mg，即AB間為靜摩擦力，A給B的靜摩擦力方向向左。對滑輪，有F=2T=2。2mg。

[TP12GW147。TIF，Y#]

例6 如圖6所示，待測區(qū)域Oxyz空間存在勻強電場和勻強磁場，根據(jù)帶電粒子射入時的受力情況可推測其電場和磁場。已知粒子質(zhì)量為m，電荷量為+q。當(dāng)粒子以不同速度水平向右射入待測區(qū)域，剛進入時的受力大小均為F?，F(xiàn)保持粒子進入待測區(qū)域時的速度大小為v0（不變），使粒子沿不同的坐標(biāo)軸方向射入待測區(qū)域，粒子剛射入時的受力大小如表2所示（不考慮粒子受到的重力）。

請推測該區(qū)域中電場強度和磁感應(yīng)強度的大小及可能的方向。

[JZ][HT6]表2

[BG（！][BHDFG2，WK6，K5＼。4W]

射入方向[]y[]-y[]z[]-z

[BHD]受力大小[][KF（]5[KF）]F[][KF（]5[KF）]F[][KF（]7[KF）]F[][KF（]3[KF）]F

[BG）F]

分析 本題電場強度E和磁感應(yīng)強度B的大小、方向具有不確定性，需分類討論。

根據(jù)題目提供的信息，按如下程序進行討論。

（1）磁場方向平行于x軸。

由沿x 軸方向射入時的受力情況可知，粒子不受磁場力，B 必定平行于x 軸，方向有沿±x兩種情況。

電場強度的大小 E =F/q，方向待進一步討論。

（2）電場的z分量等于零。

由粒子沿±y進入，磁場力分別沿z軸的負方向和正方向，而粒子受電場力與磁場力的合力不變，故電場力的z分量必定為零，因此，電場E的z分量等于零。

（3）粒子沿±y或±z進入，磁場力f大小等于2F。

設(shè)B沿+x方向。

粒子沿±y進入或±z進入，磁場力大小均為f=qv0B，粒子沿±y進入時磁場力方向分別沿-z和+z；粒子沿±z進入時磁場力方向分別沿+y和-y；

設(shè)電場力的x、y分量分別為Fx、Fy。

當(dāng)v0沿x方向時， F2x+F2y=F2，

當(dāng)v0沿y方向時， F2x+F2y+f2=5F2（1）

解以上兩式可得[JZ]f=2F。

（4）確定磁感應(yīng)強度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。

由f=2F及f=qv0B可解得B。

（5）確定電場力的兩個分力Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，F(xiàn)y=[SX（]1[]2[SX）]F。

當(dāng)v0沿+z方向時， F2x+（Fy+f）2=7F2（2）

當(dāng)v0沿-z方向時， F2x+（Fy-f）2=3F2（3）

解（2）、（3）得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，F(xiàn)y=[SX（]1[]2[SX）]F。

（6）確定電場方向與x軸正方向的夾角為30°或150°。

由以上解得的Fx、Fy可作出圖7所示矢量關(guān)系的平行四邊形，容易得到電場E和x正方向的夾角α1=30°或α2=150°。

[TP12GW148。TIF，BP#]

（7）設(shè)B沿-x方向。確定電場方向與x軸正方向的夾角為-30°或-150°。

重復(fù)以上（3）～（6）討論，將（1）、（2）、（3）式中的磁場力改為-f，

可解得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，F(xiàn)y=-[SX（]1[]2[SX）]F。

同樣，可作出圖8所示矢量關(guān)系的平行四邊形，容易得到電場E和x正方向的夾角α1=-30°或α2=-150°。

[TP12GW149。TIF，BP#]

解 根據(jù)以上分析，該區(qū)域中電場強度和磁感應(yīng)強度的大小及可能的方向表述如下。

電場強度大小E =F/q。

電場強度的方向和Oxy 平面平行，且與x 軸方向的夾角為30°或150°（磁場B沿+x方向）。

電場強度的方向和Oxy 平面平行，且與x 軸方向的夾角為-30°或-150°（磁場B沿-x方向）。

磁感應(yīng)強度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。

第2篇：分類討論的方法范文

一、知識要點概述

1.分類討論的思想方法的原理及作用

在研究與解決數(shù)學(xué)問題時，將數(shù)學(xué)對象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，從而得出問題的答案，這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現(xiàn)出其重要的位置.

2.引起分類討論的原因主要是以下幾個方面

①問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0，a=0，a

②問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型.

③解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論.如解不等式ax>3時分a>0，a=0，a

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性.

二、解題方法指導(dǎo)

1.分類討論的思想方法的步驟

（1）確定標(biāo)準(zhǔn)；（2）合理分類；（3）逐類討論；（4）歸納總結(jié).

2.簡化分類討論的策略

（1）消去參數(shù)；（2）整體換元；（3）變更主元；（4）考慮反面；（5）整體變形；（6）數(shù)形結(jié)合；（7）縮小范圍等.

3.進行分類討論時，我們要遵循的原則是

分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論.其中最重要的一條是“不漏不重”.

4.解題時把好“四關(guān)”

（1）要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；

（2）要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；

（3）要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；

（4）要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗關(guān)”.

三、分類討論基本題型

友情提示：解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題一般分四個步驟：

第一步：確定需分類的目標(biāo)與對象.即確定需要分類的目標(biāo)，一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標(biāo).

第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn).運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分.

第三步：分類解決“分目標(biāo)”問題.對分類出來的“分目標(biāo)”分別進行處理.

第四步：匯總“分目標(biāo)”.將“分目標(biāo)”問題進行匯總，并作進一步處理.

2.由參數(shù)變化而引起的分類討論

友情提示：一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論.這類問題有兩種情形：（1）由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致結(jié)果不同，所以要對某些問題中所求的變量進行討論；（2）有的問題中雖然不需要對變量討論，但卻要對參數(shù)討論.在求解時要注意討論的對象，同時應(yīng)理順討論的目的.

3.根據(jù)圖形位置或形狀分類討論

第3篇：分類討論的方法范文

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)分類意識分類思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。

所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；②運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；④數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想的很好機會。整數(shù)、 分數(shù)正有理數(shù)零負有理數(shù) 教授完負數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：有理數(shù)有理數(shù)，為下一步分類討論奠定基礎(chǔ)。

認識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學(xué)生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。

講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：

通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

結(jié)合“有理數(shù)”這一章的教學(xué)，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例如：解關(guān)于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析通過移項不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三種情況分別解不等式。

2、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例：已知ABC是邊長為2的等邊三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一個凸四邊形ABCD.（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）。AC為直角邊又可分為二種不同情況。

由以上的例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

第4篇：分類討論的方法范文

一、分類討論思想的理論概述

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，是將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想融合的過程.高中學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)思想，包含了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、公理化思想、分類討論思想等等.根據(jù)不同的問題進行具體分析.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也叫一種邏輯方法.進行分類的過程中，包括有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類，根據(jù)現(xiàn)象分類是依據(jù)對象的外部特征來展開的，比如數(shù)的分類的等，根據(jù)本質(zhì)分類是根據(jù)特征來進行的，比如函數(shù)的分類方法有多種，以及函數(shù)表現(xiàn)出的單調(diào)、有界、值域、定義域等問題.靈活應(yīng)用分類思想進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能有效促進學(xué)生思維能力的提升.

二、分類討論思想的實際應(yīng)用

分類討論思想的應(yīng)用步驟：① 分析討論對象，明確討論參數(shù)；

②將討論對象合理分類，做到不重復(fù)也不遺漏，分層清晰統(tǒng)一；

③逐層分類，分步解決，分步歸納，并最終將各種情況進行總結(jié).

分類討論思想的應(yīng)用方向：根據(jù)概念定義分類討論；根據(jù)公式、定理的限制條件分類；根據(jù)運算和證明需要進行分類；由于參數(shù)變化引起的分類；圖形的不確定性引起的分類；在實際情況中需要進行分類討論等.

分類討論思想的應(yīng)用實例：

討論方向1： 根據(jù)公式、定理引起的分類討論：比如二次函數(shù)的定義、絕對值定義、曲線方程標(biāo)準(zhǔn)定義、對數(shù)底數(shù)定義、等比數(shù)列求和公式中的定義等等.與這些定義相關(guān)的一些問題，不同情況下應(yīng)該具有不同的解題策略，從而引起了分類討論.

實例1：假設(shè)有0

解：根據(jù)對數(shù)底數(shù)的定義，在a的值不同的情況下，本體中去掉絕對值的方法不同，從而將a分類討論為01兩部分.

由0

分類①：當(dāng)0

=[loga（1-x）]-[-loga（1+x）]

=loga（1-x2）>0.

分類②：當(dāng)a>1時，|loga（1-x）|-|loga（1+x）|

=

[-loga（1-x）]-[loga（1+x）]

=-loga（1-x2）>0.

總結(jié)得出|loga（1-x）|>|loga（1+x）|.

討論方向2：根據(jù)實際情況進行分類討論，比如排列組合中的實際情況和問題等.

實例2 四位同學(xué)參加一種競賽，有兩種類型的題目可以選擇.A類題目選對得50，選錯扣分50，B類題目選對得分40，選錯扣分40，最后這四位同學(xué)的總得分是0分，請問這樣的情況有多少種.

解：對于實際問題，根據(jù)題目的需要進行分類討論，可以分為三類，都選A，2對2錯則為C24種；都選B，2對2錯則為

C24種；2個選A，1對1錯，2個選B，1對1錯，為C24C12C12；一共36種.

三、分類討論思想的注意事項

第5篇：分類討論的方法范文

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 分類思想 教學(xué)滲透 方法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0161-02

數(shù)學(xué)分類思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種很重要的數(shù)學(xué)邏輯思維方法，分類思想所應(yīng)用的范圍是具體的，所研究的對象也是具體的。所以要求教師在教學(xué)過程中能夠設(shè)定具體的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法，在初中生現(xiàn)有特點的基礎(chǔ)上進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分類思想，同時也要在講解數(shù)學(xué)題時把分類思想滲透到當(dāng)中。通過這種方法，主要讓學(xué)生在了解的基礎(chǔ)上進行合理的運用。

一、重視教學(xué)過程分類思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生分類意識

分類行為在人們的日常生活中并不少見，我們會對自己穿的衣服進行季節(jié)分類、風(fēng)格分類，我們也會對自己所用的工具進行分類。生活中的分類思想會方便我們的生活，把分類思想與初中數(shù)學(xué)相結(jié)合也會產(chǎn)生不一樣的教學(xué)效果。初中生在生活中本身就具有分類思想，數(shù)學(xué)教師可以利用學(xué)生的這一特點，結(jié)合學(xué)生對分類思想的把握程度把生活中的分類思想遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。

數(shù)學(xué)教師可以在教學(xué)過程中滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識。比如數(shù)學(xué)教師在對圖形進行講解時可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖形的相互關(guān)系或者圖形之間不同的特點進行分類。像三角形就可以依據(jù)三角形的形狀分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。通過這種分類的方法可以讓學(xué)生從直觀的角度了解到三角形的特點，而且教師也可以引導(dǎo)學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中運用分類方法，進行解題。

初中數(shù)學(xué)教材中的很多定理，法則，公式，習(xí)題都在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類思想，教師在教學(xué)中應(yīng)該不斷的強化學(xué)生分類討論的意識，就一道應(yīng)用題的不同解法展開討論，同時總結(jié)歸納針對某一種題型的答題技巧。通過這種分類討論的方法，可以讓學(xué)生避免出現(xiàn)大的錯誤，彌補在思考問題時出現(xiàn)的漏洞。

教師在對“有理數(shù)”這一章進行講解時，需要反復(fù)的在教學(xué)過程中滲透分類思想，讓學(xué)生能在潛移默化中形成數(shù)學(xué)分類的思想，增強學(xué)生概括能力，幫助學(xué)生總結(jié)出規(guī)律性的答題方法，從而通過滲透這種分類思想，加強學(xué)生思維的邏輯性和縝密性。

二、教授不同的分類方法，增強初中生思維縝密性

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，初中數(shù)學(xué)教學(xué)在研究數(shù)學(xué)分類思想上有很多不足。但是隨著教育的改革，如何把分類思想運用到初中教學(xué)中逐漸成為人們重視的問題，除了要發(fā)揮教師的作用之外還需要強調(diào)學(xué)生的主體地位。教師在教學(xué)過程中滲透分類思想的同時也需要引導(dǎo)學(xué)生掌握不同的分類方法，幫助學(xué)生運用不同的方法來解答數(shù)學(xué)題。在這里主要的分類方法有三種，一種是根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類，第二種是根據(jù)數(shù)學(xué)的法則或者性質(zhì)來進行分類，第三種是根據(jù)數(shù)學(xué)題型之間的關(guān)系進行分類。

例如在數(shù)學(xué)不等式中，就有關(guān)于分類思想的滲透。在（k-1）?x>k?k-1不等式中，是需要對k-1是否大于零進行討論的，如果不加以討論，就不能得到爭取的答案。因為既可以k-1>0或k-1=0也可以k-1

三、強調(diào)在實踐中學(xué)生的分類討論，提高學(xué)生整體能力

分類討論是一種重要思想，也是學(xué)習(xí)中的一種重要邏輯，同樣也是解題中的一種重要策略。分類思想對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說是重點，同樣也是難點。分類討論的本質(zhì)是思想的劃分，把要講述的數(shù)學(xué)問題劃分成不同的領(lǐng)域問題，分類研究，總結(jié)統(tǒng)一性和差異性，分類求解，然后統(tǒng)一整理。初中數(shù)學(xué)中的討論問題往往是學(xué)生做題的一大難點，遇到這類問題就無從下手，造成此類題型的正確率偏低，教師要從初中抓起，引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，讓學(xué)生自覺運用分類思想解決問題。

初中的一些概念往往是分類定義的，所以應(yīng)用概念做題時，就要進行分類討論，如：幾何問題還有代數(shù)問題。初中經(jīng)常有些題目是開放性的，答案不唯一，學(xué)生做這種問題時經(jīng)常會出現(xiàn)漏解現(xiàn)象，所以要從不同角度進行討論。還有取值問題，一些題目中在討論取值中會出現(xiàn)不同而使問題答案不同，要從不同角度討論問題的取值，縮小取值范圍。幾何問題同樣需要分類討論，一些文字語言不能表達圖像的形狀，所以要進行分類討論。

教師要認真鉆研，從實際出發(fā)，了解學(xué)生真正需要的是哪方面的知識，學(xué)生面臨分類問題時出現(xiàn)的問題，有目的的進行教學(xué)，對學(xué)生進行分類思想的滲透。首先要在教材中給學(xué)生們指出這些問題，讓學(xué)生們認識到這些問題，才能很好的避免錯誤的發(fā)生。初中生的分類討論思想還不是特別強，教師應(yīng)該理論與實際結(jié)合，通過實際的例子來解答問題，使學(xué)生了解分類的原因和分類的順序。同時教師要經(jīng)常與學(xué)生討論問題，只有通過討論解決問題學(xué)生的記憶才深刻。

總而言之，數(shù)學(xué)中的分類思想是作為初中生需要了解和掌握的一種數(shù)學(xué)思想，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過程中依據(jù)具體的數(shù)學(xué)題型總結(jié)歸納出分類思想所應(yīng)用的范圍。教師可以在教學(xué)過程中滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生分類意識，引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，提高學(xué)生整體能力，依據(jù)實際情況不斷探索從而得出爭取的教學(xué)途徑，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和熱情，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

參考文獻：

[1] 謝麗貞.從分類思想的角度談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[J].廣西教育A（小教版），2015，1.

第6篇：分類討論的方法范文

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)課堂　滲透　分類思想

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。所謂數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠的影響。教師在制訂教學(xué)目的、采用教學(xué)方法時，都應(yīng)有意識地突出分類討論思想，并在具體教學(xué)過程中努力體現(xiàn)。根據(jù)初中學(xué)生的特點，教學(xué)中要遵照循序漸近、逐步深化的原則并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來實施分類討論方法的教學(xué)。

數(shù)學(xué)分類討論思想，貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。教學(xué)中可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。那么我們在教學(xué)中應(yīng)如何滲透分類討論思想呢？下面我談?wù)勎业囊恍┛捶ê痛蠹乙黄鹛接懀?/p>

1.滲透分類思想，重視養(yǎng)成分類的意識的必要性

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來。教師要培養(yǎng)學(xué)生分類的意識，然后才能引導(dǎo)學(xué)生在分類的基礎(chǔ)上進行討論。我們仔細分析教材的話應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)，教材對于分類討論思想的滲透是一直堅持而又明顯的。比如在研究相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的乘法運算的符號法則等都是按有理數(shù)分成正數(shù)、負數(shù)、零三類分別研究的；在研究加、減、乘、除四種運算法則時也是按照同號、異號、與零運算這三類分別研究的；而在初中幾何教學(xué)中，用分類討論思想進行了角的分類、點和直線的位置關(guān)系的分類、兩條直線位置關(guān)系的分類；在函數(shù)教學(xué)中將函數(shù)圖象分為開口方向向上、向下，單調(diào)遞增、遞減來進行研究；在圓的教學(xué)中按圓心距與兩圓半徑之間的大小關(guān)系將兩圓的位置關(guān)系進行了分類等等。因此，滲透分類思想，養(yǎng)成分類意識很重要。

2.在教學(xué)中我們怎樣才能對學(xué)生進行滲透分類思想呢？

2.1　在概念教學(xué)中滲透分類討論意識。由于數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實數(shù)的分類，一元二次方程的概念中對二次項系數(shù)的限定，平方根中對于被開方數(shù)的限定等，完全平方式的意義，絕對值中a的三種情況的分類給出等。涉及到這些概念是就必須按照給出的概念的分類形式進行討論。

如對于一元二次方程一般式中涉及a≠0的規(guī)定，教學(xué)時，我讓學(xué)生理解當(dāng)a=0與a≠0時，方程會有怎樣的變化，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說明關(guān)于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0中m的限制條件，隨后進行了概念的變式，將“一元二次”四字隱去，提出這是個怎樣的方程，并如何求解。學(xué)生經(jīng)歷了對概念中關(guān)鍵字詞及補充條件的理解后，很清晰地就a=0與a≠0兩種情況作分類討論。

如講解絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：當(dāng)去掉絕對值符號時，便要把絕對值內(nèi)的字母分大于0，小于0，等于　0三種情況進行討論，通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。

2.2　在法則、定理、公式體現(xiàn)分類討論思想。初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸的體會分類討論的思想。

如：七年級數(shù)學(xué)課本在引入負數(shù)后即對有理數(shù)進行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負數(shù)。此時可提出問題“-a一定是負數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分a>0，a=0，a

又如：初中九年級課本證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該不斷重視法則、定理、公式的論證過程，幫助學(xué)生增強分類意識，體驗分類思想方法的作用。

2.3　在解題過程中引導(dǎo)分類討論，提高解題的能力。要解好數(shù)學(xué)問題，不僅要有足夠的數(shù)學(xué)知識和技能，而且要有清晰的解題思路，在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：

其一：涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。

例1　已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分　m－1=0　和　m　-　1≠0　兩種情況來研究解決問題。

解：（1）當(dāng)m＝l　時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

（2）當(dāng)　m　≠1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當(dāng)＝（m－2）2+4（m－1）=0，得　m=0.

拋物線　y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

其二：根據(jù)幾何圖形出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例2?。?）等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

分析：可以按4或6為腰時來算。

（2）等腰三角形一個角是70°，求其他兩個角的度數(shù)？

分析：可以按頂角或底角為70°時來求解。

（3）知ABC是邊長為2的等邊三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一個凸四邊形ABCD.（1）畫出四邊形ABCD；（2）求四邊形ABCD的面積。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。

（4）ABC中，AB=6，AC=8，D、E分別為AB、AC邊上的點，且AD=2.若ABC與ADE相似，則AE=。

分析：可以按對應(yīng)角出現(xiàn)的位置不同時來分情況求解。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當(dāng)中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3.運用分類討論思想研究數(shù)學(xué)問題時值得注意的地方

用分類討論思想研究問題時，必須做到“分類要完整、不重、不漏”，而且要按照相同的標(biāo)準(zhǔn)進行討論，只有掌握了分類討論思想，在解題時才不會出現(xiàn)漏解的情況。在解有些數(shù)學(xué)問題時，由于它的結(jié)果可能不唯一，因此需要對可能出現(xiàn)的情況一一加以討論。

總之，我們只要在教學(xué)中多研究、多實踐、多探索，就能讓學(xué)生更好的掌握好初中數(shù)學(xué)中的分類討論思想。在教學(xué)中，利用現(xiàn)有教材，著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻

［1］　蔡上鶴.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法

第7篇：分類討論的方法范文

分類討論思想，是一種對特定題型可能出現(xiàn)的不同情況分不同條件分析討論進而得出結(jié)論的思想，即當(dāng)題目不能在唯一的情況下進行討論時，這時就要根據(jù)特定的標(biāo)準(zhǔn)將此題人為地劃分為若干部分，然后再對各個部分分別求解，最后綜合部分解題過程得到答案。在一些題目中，特別是涉及函數(shù)、數(shù)列、幾何等的題型，只針對一方面進行思考無法得出完整的答案，這就需要學(xué)生們進行分類討論。其實質(zhì)是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略，屬于思維的范疇，體現(xiàn)出的是一種對數(shù)學(xué)問題的認識、處理和解決的能力。

分類討論的具體步驟：1．準(zhǔn)確識別出所要討論的對象，同時明確它的范圍；2．確定分類依據(jù)，并在此基礎(chǔ)上分類，使之不重復(fù)也不遺漏；3．逐個攻堅，獲取階段性的結(jié)論；4．進行歸納總結(jié)，得出完整答案。

一、分類討論的基本原則

能得出完整答案的前提條件是要能準(zhǔn)確地利用分類討論方法，在運用此法分析題目的思考過程中，應(yīng)確保分類依據(jù)的統(tǒng)一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考慮如何使分類變得更精簡，更易于我們下一步的操作。為了確保分類的準(zhǔn)確性，需要遵循如下原則。

1．分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性。分類討論的難點在于學(xué)生不好把握開始討論的時機，即心中不清楚為何討論、又從哪方面開始進行，等等。這就要求我們需要完全理解吃透所用的概念、定理、定義，全面地考慮題目給的條件。通常情況下，含參數(shù)的一元二次不等式的判別式、項的系數(shù)、根的大小等，常常是分類討論劃分的依據(jù)，學(xué)生們也要善于總結(jié)這些劃分的關(guān)鍵點。

舉個例子，根據(jù)角的特點把三角形分為銳角、直角、鈍角三角形是完全符合要求的。但是假如把銳角三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰三角形、鈍角三角形等劃分在一起，此種分類方法同時用了按邊、按角分類兩種方法。要不就按邊分，要不就按角分，應(yīng)該只用一種標(biāo)準(zhǔn)，因此這種分類方法是不正確的。

2．分類標(biāo)準(zhǔn)的互斥性。各個分類的集合應(yīng)該彼此互相排斥，即避免各個分類中出現(xiàn)相重合的部分，要不然會造成重復(fù)討論，違背分類討論的原則。

如：某小學(xué)一個班級有9個學(xué)生在運動會期間參加了跳高和100米短跑兩個比賽項目，其中有6人參加跳高比賽，5人報名了100米短跑，倘若把這9個人分成參加跳高項目和參加100米短跑項目兩類，就陷入了所謂的子項相容的誤區(qū)。因為我們很容易判斷出來，一定有2人既報名參加跳高，又參加了100米短跑。

3．分類標(biāo)準(zhǔn)的代表性。每次進行分類討論時．要做到讓對象不漏、不重，具有層次性、沒有越級。當(dāng)題目中同時存在多個類似的、不確定的劃分因素時，我們要以占主導(dǎo)作用的因素為依據(jù)，然后對劃分的每一類別分別求解，最后求出完整契合的答案。

二、分類討論思想的運用

數(shù)學(xué)是邏輯性很強的學(xué)科，這取決于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的嚴密性與延續(xù)性。因此，無論利用“分類”的辦法總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，還是指導(dǎo)課堂教學(xué)思路都具有重要的現(xiàn)實意義，它都滲透分類討論思想。

1．在函數(shù)當(dāng)中的運用。定義域內(nèi)不能用一個解析式表達時，就要根據(jù)兩個變量之間的關(guān)系將定義域分類討論，這樣，在不同的范圍內(nèi)就會有不同的解析式，這種表達兩個變量之間關(guān)系的形式就是分段函數(shù)。嚴格來講，分段函數(shù)的定義域分段必須遵循分類討論的原則。比如，在講解n次方根時，應(yīng)該向?qū)W生們強調(diào)一點：正數(shù)的偶次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在講解根式的公式時，要向?qū)W生強調(diào)分類討論。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中底數(shù)a的取值范圍是一個重點，而它們的單調(diào)性則是由底數(shù)a來決定的，這點要加以強調(diào)。

2．在向量學(xué)習(xí)中的作用。用分類討論思想指導(dǎo)教學(xué)，會使向量各知識點之間的脈絡(luò)清晰，結(jié)構(gòu)明了；用分類討論思想解決向量問題，會使問題化繁為簡，化難為易。我們可以用分類討論思想來系統(tǒng)地認識向量：比如，向量的表示方法有：幾何表示法（有向線段）、字母表示法(B，a)，坐標(biāo)表示法(x，y)。兩個向量之間的關(guān)系有共線、不共線，共線又分為共線且方向相同、共線且方向相反兩種情況。向量的運算分為線性運算、數(shù)量積運算兩種，其中線性運算包括加法運算、減法運算和數(shù)乘運算，結(jié)果都為向量，數(shù)量積運算的結(jié)果都為實數(shù)（可正可負）。

第8篇：分類討論的方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);分類;討論思想

一般情況下，當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利地解出原題。然而，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結(jié)構(gòu)的認識和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以嘗試在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上采用分類討論的方法。

一、分類討論思想的形成

對于陌生數(shù)學(xué)題，將它轉(zhuǎn)化為熟悉題的常用途徑有以下幾種。

（1）充分聯(lián)想回憶基本知識和題型：按照波利亞的觀點，在解決問題之前應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。

（2）全方位、多角度分析題意：對于同一道數(shù)學(xué)題，常?？梢圆煌膫?cè)面、不同的角度去認識。因此，根據(jù)自己的知識和經(jīng)驗，適時調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。

（3）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目常常可以有不同的表現(xiàn)形式;條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。

在將題目熟悉化之后，可以對題目簡單化分析，而實施簡單化策略的途徑是多方面的，最典型的方法即尋求中間環(huán)節(jié)，簡化已知條件，分類考察討論。

（4）尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其產(chǎn)生背景而言，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合再抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。

（5）簡單化已知條件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時不妨簡化題中某些已知條件，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

（6）分類考察討論：對于大多數(shù)的數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

可見，分類討論思想是在數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的過程中總結(jié)出的一種思維方法，而這種方法在解題中也是最為有效的。

二、分類討論思想解題步驟

分類處理方式是一種邏輯思想，將這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來，可以用以指導(dǎo)解題。

對于數(shù)學(xué)問題，在解題過程中常常需要借助邏輯中的分類規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個利于討論的非空真子集，然后在各個非空真子集內(nèi)進行求解，可以獲得完滿的結(jié)果。

用分類法解題，大體包含以下幾個步驟：

（1）根據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對象，確定需要分類的集合A;

（2）尋求恰當(dāng)?shù)姆诸惛鶕?jù)，按照分類的規(guī)則，把集合A分為若干個便于求解的非空真子集[A1，A2，…，An];

（3）在子集[A1，A2，…，An]內(nèi)逐類討論;

（4）綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論。

以上四個步驟是相互聯(lián)系的，也是分類討論思想的核心。

從總體上說，分類的主要依據(jù)有：分類敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類討論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等。在實際解題時，僅憑這些還不夠，還需要有較強的分類意識，需要思維的靈活性和縝密性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類條件。

三、分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

通過對分類討論思想的形成、步驟的分析，可知分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中的重要方法，下面基于一道數(shù)學(xué)題來體會分類討論在教學(xué)中的應(yīng)用情況。

例：設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸x在軸上，離心率[e=32]，已知點[P（0，32）]到這個橢圓上的最遠距離是[7]，求這個橢圓的方程。

錯誤解法：依題意，可得橢圓方程為[x2a2+y2b2=1 （a>b>0）]，

則[e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34]，所以有[b2a2=14]，即[a=2b]。

設(shè)橢圓上的點[（x，y）]到點P的距離為d，

則[d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3]，

當(dāng)[y=-12]時，[d2]有最大值，從而d也有最大值。

所以，[4b2+3=（7）2]，由此解得：[b2=1，a2=4]。

求得橢圓方程為：[x24+y2=1]。

錯誤分析：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是湊巧而已。由“當(dāng)[y=-12]時，[d2]有最大值”，這步推理就是錯誤的，其原因在于沒有考慮到y(tǒng)的取值范圍。事實上，由于點[（x，y）]在橢圓上，所以有[-b≤y≤b]，因此在求[d2]的最大值時，應(yīng)分類討論。即：

若[b<12]，則當(dāng)[y=-b]時，[d2]（即d）有最大值。

于是[（7）2=（b+32）2]，從而解得[b=7-32>12]，與[b<12]矛盾。

所以必有[b≥12]，此時當(dāng)[y=-12]時，[d2]（即d）有最大值。

所以[4b2+3=（7）2]，解得[b2=1，a2=4]，

于是，求得橢圓方程為：[x24+y2=1]。

通過對學(xué)生進行分類思想的訓(xùn)練，可以展開聯(lián)想和想象的翅膀，培養(yǎng)發(fā)散思維能力。對分類思想方法進行分析與研究，易于歸納出解決問題的通性通法與特技巧法，以便抽象概括形成對此類為題的本質(zhì)認識，進而揭示解題規(guī)律，完善解題模式。

參考文獻：

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第9篇：分類討論的方法范文

數(shù)學(xué)的分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的數(shù)學(xué)思想，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。

分類思想不像一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握，它需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征、學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。

教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等。我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機，如數(shù)的分類、絕對值的意義、不等式的性質(zhì)等，都是滲透分類思想很好的機會。

教授完負數(shù)、有理數(shù)的概念后，可及時引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進行分類，讓學(xué)生了解到針對不同的標(biāo)準(zhǔn)，有理數(shù)有不同的分類方法，如，兩個有理數(shù)比較大小，可分為正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學(xué)習(xí)的重點。

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進行分類

有些數(shù)學(xué)概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1.化簡|x-1|+x-2。

討論：

(1)當(dāng)x＞1時，原式=x-1+x-1=2x-3。

(2)當(dāng)x=1時，原式=1-2=-1。

(3)當(dāng)x＜1時，原式=1-x+x-2=-1。

從中理解到數(shù)x可表示不同類的數(shù)，而對數(shù)x進行分類討論，即可得到正確的答案。

2.根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類

學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式時，對于變形后的方程(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2，用兩邊開平方求解，需要分類研究＝b2-4ac大于0、等于0、小于0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而的符號決定了能否開平方，從而得到了一元二次方程的根的三種情況。

例2.解關(guān)于x的不等式：ax＋3＞2x+a。

分析：通過移項不等式化為（a-2）x>a-3的形式，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2＞0、a-2＝0和a-2＜0三種情況分別解不等式。

當(dāng)a-2＞0，即a＞2時，不等式的解是x>(a-3)/(a-2)。

當(dāng)a-2＝0，即a=2時，不等式的左邊＝0，不等式的右邊＝-1。

因為0＞-1，所以不等式的解是一切實數(shù)。

當(dāng)a-2＜0，即a＜2時，不等式的解是x

3.根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是_____（2002年河南中考題）。

分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD。

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部、角的外部三種不同的情況，因此要分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上——這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明“圓心在圓周角的一條邊上”的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法，也是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)在不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理（弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角），也是如此分圓心在弦切角的一條邊上、弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認識到，這些問題只有通過分類討論后，得到的結(jié)論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括、總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性、縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題；其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)在不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例3.已知函救y＝（m-1）x2+（m-2）x-1（m是實數(shù)），如果函數(shù)的圖像和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分m-1=0和m－1≠0 兩種情況來研究解決問題。

解：當(dāng)m＝1時，函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當(dāng)m≠1時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=（m-1）x2+（m-2）x-1

當(dāng)＝（m-2）2+4（m-1）=0，得 m=0。

拋物線 y=-x2-2x-1的頂點（－1，0）在x軸上。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，步驟非常明了。另一方面，在討論當(dāng)中可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學(xué)生積極思維，相信會使學(xué)生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻

[1]《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教材》.人民教育出版社。