數(shù)列求和方法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)列求和方法范文

當(dāng) ，即n＝8時(shí)，

二、錯(cuò)位相減法求和

這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·　bn}的前n項(xiàng)和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

[例3] 求和：………………………①

解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積

設(shè)………………………. ② （設(shè)制錯(cuò)位）

①－②得 （錯(cuò)位相減）

再利用等比數(shù)列的求和公式得：

[例4] 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.

解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積

設(shè)…………………………………①

………………………………② （設(shè)制錯(cuò)位）

①－②得 （錯(cuò)位相減）

三、反序相加法求和

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).

[例5] 求證：

證明： 設(shè)………………………….. ①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得

（反序）

又由可得

…………..…….. ②

①+②得 （反序相加）

[例6] 求的值

解：設(shè)…………. ①

將①式右邊反序得

…………..② （反序）

又因?yàn)?/p>

①+②得 （反序相加）

＝89

S＝44.5

四、分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

[例7] 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…

解：設(shè)

將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得

（分組）

第2篇：數(shù)列求和方法范文

【關(guān)鍵詞】直接求和法（公式法）；分組求和法；裂項(xiàng)相消求和法

一、直接求和法（公式法）

如果所給數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么它們的求和問(wèn)題，可以直接利用等差或等比數(shù)列求和公式解決。

（1）等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式： ；

（2）等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式：①當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；②當(dāng)q≠1時(shí)， 。

例1：求1，2，3，…，100 這樣一個(gè)等差數(shù)列的和。

解：

二、分組求和法

若數(shù)列的通項(xiàng)是若干項(xiàng)的代數(shù)和，可將其分成幾部分來(lái)求。一般為{等差+等比}的形式出現(xiàn)時(shí)用到分組求和法。

例2：求數(shù)列 ，…的前n項(xiàng)和Sn.

分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ，而數(shù)列{2n}是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列 是一個(gè)等比數(shù)列，故采用分組求和法求解.

解： .

小結(jié)：在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和。

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

四、小結(jié)

第3篇：數(shù)列求和方法范文

1、錯(cuò)位相減：適應(yīng)于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列相乘所得的數(shù)列，方法是兩側(cè)乘以等比數(shù)列的公比。

2、形如某一數(shù)列由等比數(shù)列、等差數(shù)列相乘構(gòu)成，首先分別列出兩個(gè)數(shù)列的和，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；然后錯(cuò)開(kāi)一位，兩個(gè)式子相減。這種數(shù)列求和方法叫做錯(cuò)位相減法。

（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）

第4篇：數(shù)列求和方法范文

一、錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”求解.（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一”，這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法之一.）

錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式.形如An=BnCn，其中Bn為等差數(shù)列，Cn為等比數(shù)列；分別列出Sn，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即KSn；然后錯(cuò)一位，兩式相減即可.

例1：求和Sn=+++…+.

解：兩邊同時(shí)乘以，得Sn=++…++，

兩式相減得Sn=-，

Sn=1-.

例2：求和：1+++…+.

分析：原式等價(jià)于2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×.

其中an=（n+1）×，像這種通項(xiàng)公式由等差與等比組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)的和聯(lián)系課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，可應(yīng)用錯(cuò)位相減法.

解：令Sn=2×+3×+4×+…+n×+（n+1）×，

Sn=2×+3×+4×+……+n×+（n+1）×，

Sn=1+++…+-，

Sn=2++++…+-，

Sn=2+-，

Sn=2+1--，

Sn=3-.

二、倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和.（這也是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.）

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）.

例3：求證：C0n+3C1n+5C2n+…+（2n+1）Cnn=（n+1）2n.

證明：設(shè)Sn=C0n+3Cn1+5Cn2+…+（2n+1）Cnn ， ①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得

Sn=（2n+1）Cnn+（2n+1）Cn+1+…+3Cn1+Cn0，（反序）

又由Cnm=Cnn-m可得

Sn=（2n+1）Cn0+（2n+1）Cn1+…+3Cn-1n+Cnn， ②

①+②得2Sn=（2n+2）（Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn ）.（反序相加）

例4：求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：設(shè)S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，①

將①式右邊反序得

S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°， ②

又sinx=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，

①+②得

2S=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+

cos289°）=89，

S=44.5.

三、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

例5：求和:（x+）+（x2+）+…+（xn+）

(x≠0，x≠1，y≠1).

解：原式=（x+x2+x3+…+xn）+（++…+）

=+

=+.

例6：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，+4，+7，…，+3n-2，…

解：設(shè)Sn=（1+1）+（+4）+（+7）+…+（+3n-2），

將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得

Sn=（1+++…+）+（1+4+7+…+3n-2）.

當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n+=，

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=+=+.

四、裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和. 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：

（1）an=f （n+1）-f（n）.

（2）=tan（n+1）°-tann°.

（3）an==-.

（4）an==1+（-）.

（5）an==[-].

例7：數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=，求Sn .

分析：通項(xiàng)為分式的數(shù)列?？紤]差分，即把通項(xiàng)ak化為兩項(xiàng)之差，ak=?姿（bk-ck）且bk+1=ck或bk=ck+1，那么

Sn==

=

解：ak=+=2（-）+3（

-），

Sn=2[（1-）+（-）+…+（-）]+3.[（-）+（-）+…+（-）]=2（1-）+3.（-）=-=.

例8：求和：++…+.

分析：由an===-

=-.

解：原式=（1-）+（+）+…+（-）+（-

）=1-=.

例9：求數(shù)列，，…，，…的前n項(xiàng)和.

解：設(shè)an==-，

則Sn=，+…+

=（-）+（-）+…+（-

第5篇：數(shù)列求和方法范文

1.掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

（1）理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想；

（2）用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，利用公式知三求一；與通項(xiàng)公式結(jié)合知三求二；

2.通過(guò)公式的靈活運(yùn)用，進(jìn)一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.

3.通過(guò)公式推導(dǎo)的教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維的嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.

教學(xué)建議

教材分析

（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)

先用錯(cuò)位相減法推出等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，而后運(yùn)用公式解決一些問(wèn)題，并將通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式結(jié)合解決問(wèn)題，還要用錯(cuò)位相減法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法（如分類討論思想，錯(cuò)位相減法等），這些思想方法在其他數(shù)列求和問(wèn)題中多有涉及，所以對(duì)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導(dǎo)公式的方法.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是分情況討論的，在運(yùn)用中要特別注意和兩種情況.

教學(xué)建議

（1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一節(jié)為等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，一節(jié)為通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用，另外應(yīng)補(bǔ)充一節(jié)數(shù)列求和問(wèn)題.

（2）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是重點(diǎn)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，證明結(jié)論.

（3）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的其他方法可以給出，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

（4）編擬例題時(shí)要全面，不要忽略的情況.

（5）通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用涉及五個(gè)量，已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量，但解指數(shù)方程難度大.

（6）補(bǔ)充可以化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和問(wèn)題.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

課題：等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式

教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能初步運(yùn)用這一方法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.

（2）通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

（3）通過(guò)教學(xué)進(jìn)一步滲透從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾霓q證觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)及運(yùn)用，難點(diǎn)是公式推導(dǎo)的思路.

教學(xué)用具

幻燈片，課件，電腦.

教學(xué)方法

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.

教學(xué)過(guò)程

一、新課引入：

（問(wèn)題見(jiàn)教材第129頁(yè)）提出問(wèn)題：（幻燈片）

二、新課講解：

記，式中有64項(xiàng)，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比為公比2，當(dāng)每一項(xiàng)都乘以2后，中間有62項(xiàng)是對(duì)應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.

（板書）即，①

，②

②－①得即.

由此對(duì)于一般的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，如何化簡(jiǎn)？

（板書）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式

仿照公比為2的等比數(shù)列求和方法，等式兩邊應(yīng)同乘以等比數(shù)列的公比，即

（板書）③兩端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提問(wèn)學(xué)生如何處理，適時(shí)提醒學(xué)生注意的取值）

當(dāng)時(shí)，由③可得（不必導(dǎo)出④，但當(dāng)時(shí)設(shè)想不到）

當(dāng)時(shí)，由⑤得.

于是

反思推導(dǎo)求和公式的方法——錯(cuò)位相減法，可以求形如的數(shù)列的和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.

（板書）例題：求和：.

設(shè)，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.

解：，

兩端同乘以，得

，

兩式相減得

于是.

說(shuō)明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.

公式其它應(yīng)用問(wèn)題注意對(duì)公比的分類討論即可.

三、小結(jié)：

1.等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的思想方法以及公式的應(yīng)用；

2.用錯(cuò)位相減法求一些數(shù)列的前項(xiàng)和.

第6篇：數(shù)列求和方法范文

關(guān)鍵詞：數(shù)列求和；教學(xué)方案；學(xué)習(xí)心理；建議

數(shù)列求和問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中占有很高的比重，尤其是新課標(biāo)版本使用后，比重又有了提升。但是新課標(biāo)在初高中的銜接上有漏洞，如何填補(bǔ)這個(gè)漏洞是我們現(xiàn)在必須要考慮的。

一、數(shù)列求和問(wèn)題的重要性

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.學(xué)生將通過(guò)對(duì)日常生活中大量實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.

在前言中，我們已經(jīng)陳述了新課標(biāo)對(duì)數(shù)列內(nèi)容的要求，對(duì)于數(shù)列的綜合問(wèn)題課標(biāo)沒(méi)有具體的陳述，但是從歷年高考的情況我們可以發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)列綜合試題往往呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：以知識(shí)和方法立意考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，以求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式為主線，考查數(shù)列中的重要方法。

二、課題引入

數(shù)列求和問(wèn)題的前提是對(duì)數(shù)列的掌握。數(shù)學(xué)作為一門抽象思維學(xué)科，對(duì)概念的理解也就顯得很重要，學(xué)生需要在探究中掌握數(shù)列概念。一個(gè)好的課題引入，即對(duì)概念的解釋，是開(kāi)展后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)。

在張艷和焦鳴的“數(shù)學(xué)概念課（第一課時(shí)）怎么上”中，通過(guò)對(duì)優(yōu)秀教師教學(xué)實(shí)錄進(jìn)行分析，提出自己的見(jiàn)解，并且做出自己的教學(xué)方案。在此方案中，首先呈現(xiàn)數(shù)列具體形式，用抽象思維提出數(shù)列的概念，再將其與函數(shù)作比較，從而使學(xué)生以函數(shù)為切入點(diǎn)來(lái)理解數(shù)列。所以一個(gè)好的切入點(diǎn)可以讓學(xué)生恍然大悟，能夠把抽象問(wèn)題具體化，更容易接受。

三、教學(xué)過(guò)程

數(shù)列求和問(wèn)題是枯燥乏味的，如何在教學(xué)過(guò)程中吸引學(xué)生是教育者們考慮的問(wèn)題。以下是提出的幾個(gè)方案：

1.數(shù)學(xué)史法。在課堂教學(xué)過(guò)程中融入一些數(shù)學(xué)史，引入的過(guò)程可以引發(fā)學(xué)生的思考，有助于課堂的活躍度。學(xué)生積極性高，知識(shí)掌握的就好，可以說(shuō)是學(xué)生學(xué)得輕松，老師教的也輕松。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，李以數(shù)列教學(xué)為例，通過(guò)理論與實(shí)踐的結(jié)合分析了數(shù)學(xué)史在數(shù)列教學(xué)中的作用，包括增長(zhǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，拓寬思路，激發(fā)思維，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力等。

我們都知道數(shù)列求和問(wèn)題中有一個(gè)經(jīng)典的故事：在一次數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，就是讓學(xué)生把1到100求和，即1+2+3+…+100.同學(xué)們都埋頭苦算起來(lái)，但高斯沒(méi)有動(dòng)筆，他在思考，他發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，總共就有50個(gè)101，50個(gè)101相加就是5050，不到幾分鐘就算出了結(jié)果，于是高斯定理就產(chǎn)生了。如果在課堂中引入這樣一個(gè)小故事，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生好奇心，對(duì)數(shù)列求和問(wèn)題產(chǎn)生興趣。當(dāng)然，老師們還可以將其他的一些有意思的故事講給同學(xué)們，相信會(huì)有不一樣的效果。

2.體驗(yàn)式教學(xué)。在一些教學(xué)設(shè)計(jì)中，已經(jīng)包含了體驗(yàn)式教學(xué)模式。葉丹就曾嘗試著以高中數(shù)列為研究對(duì)象來(lái)進(jìn)行體驗(yàn)式教學(xué)的探討與研究，最后的結(jié)論是：“師生在教學(xué)中的共同參與、互動(dòng)、體驗(yàn)、感悟，使數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)民主性、開(kāi)放性和互惠性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得了積極地情感體驗(yàn)，提高了自主探究的數(shù)學(xué)實(shí)踐的能力，同時(shí)也在一定程度上豐富體驗(yàn)式教學(xué)，為體驗(yàn)式教學(xué)理論與實(shí)踐進(jìn)一步發(fā)展提供了理論依據(jù)?！?/p>

要把控課堂，首先要了解學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的心里路程。學(xué)生學(xué)習(xí)概念的心理過(guò)程是：概念意向-知覺(jué)水平上的應(yīng)用-概念表征-思維水平上的應(yīng)用。學(xué)生原理學(xué)習(xí)的心理過(guò)程：增生、重建、融會(huì)貫通階段。形成自己的數(shù)學(xué)思維，能夠做到知識(shí)的遷移，總的來(lái)說(shuō)需要三個(gè)階段：認(rèn)知階段、聯(lián)系階段和自動(dòng)化階段。

3.貼近生活。學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候，如果太脫離生活就會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)聊，如果以生活中的問(wèn)題為例來(lái)展開(kāi)教學(xué)就會(huì)更吸引學(xué)生。舉個(gè)例子：

在一次聚會(huì)中，來(lái)了50位客人，有以下兩個(gè)問(wèn)題11如果客人們互換名片，共發(fā)出多少名片？22如果客人們互相握手，共握幾次？

對(duì)于問(wèn)題一，學(xué)生很快就可以做出回答，共為50*49張名片；對(duì)于問(wèn)題二，給同學(xué)們時(shí)間思考，討論，直至給出正確答案。握手次數(shù)用加法可以表示為49+48+…+2+1，這是一個(gè)等差數(shù)列求和問(wèn)題。這一生活問(wèn)題作為上課前的引導(dǎo)，可以激活學(xué)生思維，將知識(shí)從初中遷移到高中。

四、高中數(shù)列求和教學(xué)建議

1.把握概念本質(zhì)。“概念是反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式。人類在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來(lái)，加以概括，就成為概念?！保拍钍钦J(rèn)知的高級(jí)產(chǎn)物，是思維最基本的組成單位，對(duì)數(shù)學(xué)概念的清晰理解是進(jìn)行后續(xù)教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵。弗賴登塔爾曾說(shuō)：“教學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，也必須寓于現(xiàn)實(shí)，并用于現(xiàn)實(shí)?！痹诮虒W(xué)中，要盡可能的讓學(xué)生去經(jīng)歷觀察、分析、猜想、概括、歸納、類比等發(fā)現(xiàn)和探索的過(guò)程，以此來(lái)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.注重原理推導(dǎo)。數(shù)列的求和公式是數(shù)列問(wèn)題的核心，不僅要記住它，還要理解他。引入一些實(shí)際問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生自己動(dòng)手來(lái)計(jì)算推導(dǎo)，會(huì)留下深刻的印象。

等差數(shù)列求和公式Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d

等比數(shù)列求和公式Sn=na1（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）

在數(shù)學(xué)公式證明中，類比是常用的方法，因此在數(shù)列求和公式的證明時(shí)，要善于運(yùn)用類比的策略。

3.老師根據(jù)學(xué)生期望來(lái)授課。在數(shù)列求和教學(xué)過(guò)程中，老師需要和學(xué)生多多交流，因?yàn)檫@一部分的知識(shí)較難，老師一定要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的狀態(tài)，學(xué)生需要老師再黑板上板書，老師就應(yīng)該將解題過(guò)程詳細(xì)的書寫在黑板上，并和學(xué)生溝通，及時(shí)發(fā)現(xiàn)他們的問(wèn)題。在一些較難的題目上，學(xué)生如果要求老師放慢速度，老師需要配合學(xué)生，畢竟真正的教學(xué)是以學(xué)生為主體，不能為了趕教學(xué)進(jìn)度而不顧學(xué)生的想法。學(xué)生自己會(huì)比較清楚需要什么，老師需要參考學(xué)生的期望來(lái)授課。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]，人民教育出版社，2003.p11

[2]田偉芳.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)列課堂教學(xué)的實(shí)踐[J]，數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（8）3-7

[3]葉丹.體驗(yàn)式教學(xué)在高中《數(shù)列》一章的實(shí)踐研究[D]，華中師范大學(xué)，2008

第7篇：數(shù)列求和方法范文

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)列;解題技巧

在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過(guò)程中，有關(guān)數(shù)列題型的解題技巧也一直備受教師和學(xué)生關(guān)注，它不僅是高中數(shù)學(xué)教師們談?wù)摰闹攸c(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生們學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。有的同學(xué)對(duì)數(shù)列的知識(shí)還存在一些欠缺，沒(méi)有完全領(lǐng)會(huì)其中的知識(shí)點(diǎn)，這對(duì)平時(shí)的解題會(huì)造成一定的困難，所以需要我們平時(shí)多多摸索，找出解題技巧，促進(jìn)我們更好地學(xué)習(xí)，本文就對(duì)關(guān)于數(shù)列的解題技巧進(jìn)行一些闡述。

一、對(duì)數(shù)列基本概念的探討

在解決高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的過(guò)程中，通項(xiàng)公式和求和公式需要被直接運(yùn)用到一些試題上來(lái)進(jìn)行計(jì)算。相對(duì)來(lái)說(shuō)，這種類型的數(shù)列題目是沒(méi)有什么詳細(xì)的解題技巧的，而是需要我們熟練掌握公式，將公式運(yùn)用到具體的題目中進(jìn)行解答。比如：己知等差數(shù)列{an}，Sn是前n項(xiàng)的和，并且n*屬于N，如果a3=5， S10=20，求S6。根據(jù)題目中的已知條件，我們可以結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，首先把數(shù)列題目中的首項(xiàng)和公差計(jì)算出來(lái)，然后根據(jù)已知的條件，把所得的結(jié)果直接代入求和公式中，這樣便可以得到正確的結(jié)果。這種類型的題目主要是考察我們對(duì)基本概念的理解，所以，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們一定要注重?cái)?shù)列概念的掌握。

在近些年的高考中，對(duì)通項(xiàng)公式的考察也很多，對(duì)數(shù)列求和也是需要掌握的重點(diǎn)，所以這里著重再說(shuō)一下通項(xiàng)公式。對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和的方法有好幾種，這里介紹錯(cuò)位相減法、合并求和法、分組求和法、通項(xiàng)求和法。

二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列類題型的解題技巧

1.合并求和法

在對(duì)數(shù)列試題進(jìn)行考察時(shí)，一般情況下有一些數(shù)列會(huì)比較特殊，如果將其中的個(gè)別項(xiàng)單獨(dú)進(jìn)行組合，那么我們可以找到它特殊的地方。當(dāng)我們面對(duì)這種類型的題目時(shí)，我們的解題技巧是，首先把數(shù)列試題中可以進(jìn)行組合的項(xiàng)列出來(lái)，接著計(jì)算它們的結(jié)果，最后進(jìn)行整體的求和運(yùn)算，這樣我們就可以計(jì)算出正確的結(jié)果。比如說(shuō)這樣的題目，a1=2，a2=7，an+2=an+1-an，求S1999。首先我們進(jìn)行初步計(jì)算，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)列不是等差的數(shù)列，也不是等比的數(shù)列，但是我們可以得到的是a6m+1=2，am+2=7，一直到a6m+5=-7，a6m+6=-5，因此得出S1999=0，也就是a1999=a1999+0，得出a1999=2 ，所以題目的最后結(jié)果就是a1999=2。

2.分組求和法

在我們做數(shù)列相關(guān)題目的過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有一些數(shù)列在本質(zhì)上是不屬于等差數(shù)列的，也不在等比數(shù)列的范圍，但是將它們拆開(kāi)，我們可以將它們其中的一部分劃分到等差數(shù)列和等比數(shù)列中，我們?cè)趯?duì)這類數(shù)列進(jìn)行求和時(shí)，可以先使用分組求和法來(lái)對(duì)其計(jì)算，然后把它們拆分成簡(jiǎn)單的求和數(shù)列，進(jìn)行分別求和，再將其得出的結(jié)構(gòu)合并，這就是我們想要的結(jié)果了。比如：己知數(shù)列{an} ，n為正整數(shù)，通項(xiàng)公式是an=n+3n，要求計(jì)算出該數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn。首先進(jìn)行初步計(jì)算我們可以得到，此數(shù)列非等比非等差，再對(duì)其進(jìn)行仔細(xì)觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，n+3n的前半部分是等差數(shù)列，后半部分則是等比數(shù)列，所以我們可以將等比和等差部分分別進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果之后進(jìn)行相加就可以得出正確的結(jié)果。

3.錯(cuò)位相減法

在對(duì)數(shù)列進(jìn)行推導(dǎo)求合時(shí)，我們經(jīng)常用到錯(cuò)位相減法，這種解法經(jīng)常被運(yùn)用到數(shù)列前n項(xiàng)和的求和中。比如在等比數(shù)列或等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和中，采用錯(cuò)位相乘法，首先算出數(shù)列的首項(xiàng)、差比或公比，再利用等差公式或者等比公式來(lái)算出相應(yīng)表達(dá)式，采用錯(cuò)位相乘法就可得到結(jié)果。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，要多注意解題思路，做到對(duì)題進(jìn)行總結(jié)，舉一反三。

4.通項(xiàng)求和法

在使用通項(xiàng)求和法時(shí)，關(guān)鍵是能夠把一個(gè)數(shù)值拆分成兩個(gè)數(shù)值，以便把遵循一個(gè)規(guī)律的數(shù)值集合一起進(jìn)行求解，達(dá)到事半功倍的效果。求解1+11+111+1111+…+1…11之和，第n項(xiàng)的數(shù)值的位 數(shù)是n，因?yàn)?…111=1/9（9…999）= 1/9（10k -1）（k等于1… 111的位數(shù)），所以數(shù)列1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 -1）+ 1/9（102 -1）+ 1/9（103 -1）+ 1 /9（104 -1）+…+ 1/9 （10n -1）。進(jìn)行分組求和后，1+11+111+1111+…+1…11=1/9（101 +102 +103 +104 +…+10n ）-1/9（1+1+1+1+…+1）（1的個(gè)數(shù)是n）= 10/81（10n -1）- n/9 =1/81（10n+1 -10-9n），這樣就能夠很快計(jì)算出數(shù)列的和。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，我們可以知道，高中的數(shù)列題型因?yàn)樗奶厥庑?，它是和其他的?shù)學(xué)知識(shí)分不開(kāi)的，為了能夠更好地學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中一定要注意對(duì)數(shù)學(xué)基本概念的掌握，以及相關(guān)解題技巧的總結(jié)，達(dá)到融會(huì)貫通的境界，才能更好地提高我們的數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

第8篇：數(shù)列求和方法范文

下面將探究幾道數(shù)列問(wèn)答題。

例1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6，6a1+a3=30

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求{an}的前n項(xiàng)和為Sn.

分析：本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)和運(yùn)算能力，要確定一個(gè)等比數(shù)列，只需求出它的首項(xiàng)和公比即可，利用已知條件，可得首項(xiàng)和公比的兩個(gè)方程，解之可得數(shù)列{an}，從而Sn可求得。

解答：（1）設(shè){an}的公比為q，由已知聯(lián)解啊a1q=6，6a1+a1q2=30兩式得a1=3，q=2或a1=2，q=3，所以an=3×2n-1，或an=2×3n-1

（2）當(dāng)a1=3，q=2時(shí)，Sn=3×（2n-1）；當(dāng)a1=2，q=3時(shí)，Sn=3n-1

探究1：本題是一道數(shù)列基本題，綜合性不強(qiáng)，但對(duì)等比數(shù)列的基本知識(shí)進(jìn)行了全面的考查，從等比數(shù)列的概念，到通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求和公式，從解方程組的角度，利用消元的策略，處理方法也比較靈活，還作了簡(jiǎn)單的分類討論，體現(xiàn)了試題的深入適度綜合考查的特點(diǎn)，反應(yīng)了試題的考點(diǎn)，突出概念和基本公式應(yīng)用方面的考查.

例2.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1 =（n∈N+）

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）若=+1，求數(shù)列bnbn+1的前n項(xiàng)的和Tn.

分析：本題考查由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，以及數(shù)列求和中比較常用的裂項(xiàng)相消法，先將遞推公式變形為an+1-an=2anan+1，兩邊同除以anan+1，就可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式，而bnbn+1=可拆成-，從而求出Tn.

解答：（1）由an+1=得：-=2且=1，所以知：數(shù)列

是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，所以=1+2（n-1）=2n-1，得：an=

（2）由=+1 得：=2n-1+1=2n，bn=

bnbn-1=，則Tn=b1b2+ b3b4 +…+bnbn-1=++…+=（-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=.

探究2：（1）本題是轉(zhuǎn)化法求通項(xiàng)公式的典例，遞推公式變形為an+1-an=2anan+1，兩邊同除以anan+1，也可以將an+1=同時(shí)取倒數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.

（2）裂項(xiàng)相消法：就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些拆開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，看有幾項(xiàng)沒(méi)有抵消掉，從而達(dá)到求和的目的.

例3.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a1=1，a2

n+1-a2

n=2（n∈N+）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

（2）求數(shù)列（）的前n項(xiàng)和Sn

分析：本題考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，由已知a2

n+1-a2

n=2很容易觀察出數(shù)列{a2

n}是等差數(shù)列，從而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式.也考查數(shù)列求和中重要方法，錯(cuò)位相減方法求和.

解答：（1）因?yàn)閍2

n+1-a2

n=2，所以數(shù)列{a2

n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

所以a2

n=1+（n-1）×2=2n-1.因?yàn)閍n>0，所以an=（n∈N+）

（2）由（1）知，an=，所以=

所以Sn=+++…++ ①

則Sn= +++…++ ②

①-②得 Sn= ++++…++=+（+++…+）-=+2×=-所以Sn =-.

探究3：（1）如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，則求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn多采用錯(cuò)位相減法，課本中等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來(lái).

（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，一般和式比較復(fù)雜，運(yùn)算量較大，易會(huì)不易對(duì)，應(yīng)特別細(xì)心.

例4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N+）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成公差為dn的等差數(shù)列（如在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第1個(gè)等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第2個(gè)等差數(shù)列，其公差為d2，…，以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An，Tn=++…+，證明Tn

分析：本題考查an與Sn的關(guān)系，利用式子an+1=2Sn+2轉(zhuǎn)化成an=2Sn-1+2（n>2），兩式再相減求出通項(xiàng)，第2個(gè)問(wèn)題需要較強(qiáng)的理解能力，能靈活應(yīng)用等差數(shù)列的基本知識(shí)（定義，通項(xiàng)公式，求和公式）.還用了典型的裂項(xiàng)相消求和方法以及不等關(guān)系.

解答：（1）an+1=2Sn+2，an=2Sn-1+2（n>2），an+1-an=2an，=3在an+1=2Sn+2中令n=1，得a2=2S1+2，a2=6=3a1，an= 2?3n-1.

（2）dn==，

An==4（n+2）×3n-1

==-

Tn=（-）+（-）+…+（-）=-

探究4：（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn或已知an與Sn的關(guān)系寫出數(shù)列通項(xiàng)公式：an=f（n），是高考中常見(jiàn)的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題必須注意條件n>2對(duì)于Sn=f（an）仍堅(jiān)持利用n>2時(shí)an=Sn-Sn-1.

第9篇：數(shù)列求和方法范文

數(shù)列問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容,歷來(lái)為高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn);2010年安徽省高考文科卷的第21題,就是一個(gè)典型的數(shù)列問(wèn)題,我們先來(lái)看一下題目,后作分析:

題設(shè)C1、C2、…、Cn、…是坐標(biāo)平面上的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸上,且都與直線 相切。對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切。以Rn表示Cn的半徑,已知｛rn｝為遞增數(shù)列,（1）證明:｛rn｝為等比數(shù)列。（2）設(shè)r1=1,求數(shù)列｛ ｝的前n項(xiàng)和。

顯見(jiàn)本題的第（1）小題考查的是等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念問(wèn)題,第（2）小題考查的則是數(shù)列里強(qiáng)調(diào)的一種重要的解題方法―錯(cuò)位相減法,即考查學(xué)生利用錯(cuò)位相減法求和的基本技能。由于本題利用幾何圖形為載體,所以它同時(shí)考查考生的抽象能力和推理論證的能力。

本題雖然出現(xiàn)在試卷的最后一題壓軸題的位置,但我認(rèn)為題目的難度并不大。我個(gè)人對(duì)本題的思考及求解過(guò)程有如下理解。第一,本題題目一遍讀完,考生立刻就能反應(yīng)出這是一題以幾何圖形為背景來(lái)考核數(shù)列的問(wèn)題。第二,當(dāng)考生反應(yīng)出是數(shù)列問(wèn)題時(shí),腦海中就會(huì)呈現(xiàn)出數(shù)列中高考大概會(huì)考查的幾個(gè)方面內(nèi)容（老師平時(shí)帶學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)都是反復(fù)強(qiáng)調(diào)的）:即數(shù)列的基本知識(shí)、基本性質(zhì)、基本方法。象本題的（1）一看就明白是考查數(shù)列的基本知識(shí)的―等比數(shù)列的基本概念,即若一個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的等比等于一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列。所以學(xué)生很快就能下筆做題。以下,我們把（1）作簡(jiǎn)單解析:

因?yàn)橹本€ 與圓相切,所以直線的傾斜角 ,所以 。設(shè)圓Cn的圓心為（λn,0）,則 。同理 ,又 ,將 代入,得

,故｛rn｝是以3為公比的等比數(shù)列。第三,當(dāng)考生做出（1）的結(jié)果為 時(shí),將（2）中r1=1代入可得 ,進(jìn)而求出（2）中 。

緊接著肯定是觀察數(shù)列｛ ｝通項(xiàng)公式的特點(diǎn),這個(gè)數(shù)列當(dāng)然不是一個(gè)單純的等差或等比數(shù)列,它是一個(gè)兩項(xiàng)相乘的數(shù)列（n與 相乘）,是一個(gè)我們很熟悉的混和數(shù)列。它的前一項(xiàng)成等差,后一項(xiàng)成等比。符合這種特點(diǎn)的數(shù)列的求和就是采用錯(cuò)位相減法。當(dāng)考生能將方法對(duì)號(hào)入座時(shí),就能動(dòng)筆做（2）了,這里關(guān)鍵就是方法,如果方法用錯(cuò)了,最后肯定是徒勞。當(dāng)然,在考生想對(duì)方法的同時(shí),解題過(guò)程中的計(jì)算也是不容忽視的。因?yàn)榭疾殄e(cuò)位相減法的同時(shí),融入了一定的計(jì)算量,往往有不少考生會(huì)因?yàn)榉椒▽?duì),計(jì)算錯(cuò)而導(dǎo)致最后做錯(cuò)題。下面我們也對(duì)（2）作簡(jiǎn)單解析:

……①

我們記上式為①,且要求考生倒數(shù)第二項(xiàng)一并寫出,以便下面求解,接著在①的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比得②,即:

……②

一般情況下,我們還是要求學(xué)生固定用①-②,且要求①、②兩式對(duì)應(yīng)寫成上下兩行,以減少犯錯(cuò)誤的機(jī)率,以上①-②得:

這個(gè)試子看里面有個(gè)等比數(shù)列求和,并不復(fù)雜,只要步步小心謹(jǐn)慎,一般是不會(huì)出現(xiàn)大的錯(cuò)誤的,由上式及等比數(shù)列求和公式得:

所以

所以

由以上三點(diǎn),我覺(jué)得本題難度不算大,融入的計(jì)算量也不大。

關(guān)于數(shù)列這一章節(jié),教材中的內(nèi)容并不多,但高考是年年考,且有一道大題。所以考生考前復(fù)習(xí)時(shí)一定要高度重視。對(duì)本章節(jié)內(nèi)容,頭腦中應(yīng)有一個(gè)清晰的知識(shí)框架。高考考查無(wú)非是以下幾方面的內(nèi)容:一、考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí),即等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和、中項(xiàng);二、考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì),即若 ,則對(duì)等差數(shù)列有 ,特別地若 ,則 。若 ,則對(duì)等比數(shù)列有 ,特別是若

,則 。不同的數(shù)列,不同的性質(zhì)公式應(yīng)區(qū)別用好。

三、考查方法,即錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、構(gòu)造法、疊加法、疊乘法、公式法、倒序相加法、分組求和法等。其中,要高度重視前幾種方法,象安徽省2010年理科數(shù)列題就是考查裂項(xiàng)相消法,文科考了錯(cuò)位相減法。這些方法老師在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)都會(huì)特別強(qiáng)調(diào)的,只要考生能夠做到考前復(fù)習(xí)足夠用心,考試期間足夠細(xì)心,拿分是沒(méi)有問(wèn)題的。