感知數(shù)學(xué)學(xué)科中的語(yǔ)言文化
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摘要：描述了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與自然語(yǔ)言的聯(lián)系與區(qū)別，闡述其概念、特點(diǎn)、發(fā)展階段，并探討了數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)思維之間的聯(lián)系。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)語(yǔ)言；數(shù)學(xué)思維
一、自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的聯(lián)系與區(qū)別
自然語(yǔ)言（以下簡(jiǎn)稱語(yǔ)言）是人類最重要的交際工具。它同思維有密切的聯(lián)系，是思維的工具，是思想的直接現(xiàn)實(shí)，是人區(qū)別于其他動(dòng)物的本質(zhì)特征之一。任何一門(mén)學(xué)科都是建立在自然語(yǔ)言的基礎(chǔ)之上的。我們的自然語(yǔ)言之中也包括了一部分非形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如“圓”“數(shù)”“加”“0”“1”“等于”“小于”“元素”“無(wú)限”等等，有的可以直接運(yùn)用于我們的現(xiàn)實(shí)生活中，在自然語(yǔ)言中也包含了如何運(yùn)用這些術(shù)語(yǔ)的規(guī)則。譬如，兒童在沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中有關(guān)概念時(shí)，他就可能知道：“天上有1個(gè)太陽(yáng)”“太陽(yáng)和月亮都是圓的”……其中“1”“圓”都是屬于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的范疇。通過(guò)運(yùn)用這些術(shù)語(yǔ)，即可將世界上的事物和對(duì)象進(jìn)行分類和量化。然而，在解釋這些非形式的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)時(shí)，利用的是自然語(yǔ)言的語(yǔ)義。自然語(yǔ)言的規(guī)則和約定確定了這些術(shù)語(yǔ)間的內(nèi)在關(guān)系，如“1小于2”以及“無(wú)限集合含有兩個(gè)以上的元素”等。如果沒(méi)有自然語(yǔ)言中對(duì)“1”“小于”“2”“無(wú)限”“集合”“元素”等詞的解釋和規(guī)定，就無(wú)法理解以上兩句話。這些非形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為數(shù)學(xué)思維提供了必要的概念框架和理論基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了可能。在其基礎(chǔ)上又發(fā)展了數(shù)學(xué)特有的形式語(yǔ)言（如微積分、矩陣、向量等），從而構(gòu)建起整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的藍(lán)圖。相應(yīng)地，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言時(shí)，也是按照這個(gè)程序，以自然語(yǔ)言中的這些非形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為基礎(chǔ)，逐漸建立起自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。根據(jù)語(yǔ)言學(xué)的研究可以知道，自然語(yǔ)言具有符號(hào)性和社會(huì)性兩大特點(diǎn)。但是常常又會(huì)有“數(shù)學(xué)語(yǔ)言叫作符號(hào)語(yǔ)言”這一說(shuō)法。[1]這兩處所指的“符號(hào)”看似相同，其實(shí)含義并不相同。自然語(yǔ)言中提到的符號(hào)是廣義上的符號(hào)，包括字和詞：由音和義結(jié)合成最小的單位語(yǔ)素（字），由語(yǔ)素生成詞，詞是語(yǔ)言運(yùn)用最基本的單位。而數(shù)學(xué)中的符號(hào)僅僅指數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)或關(guān)系符號(hào)。數(shù)學(xué)符號(hào)很少能夠進(jìn)行組合，一般只有一個(gè)含義；而語(yǔ)言符號(hào)則不同，可以是多義的并進(jìn)行相同組合。將這兩者區(qū)別，對(duì)于理解數(shù)學(xué)中不同的語(yǔ)言劃分是大有裨益的。例如，可將數(shù)學(xué)語(yǔ)言按其外表特征劃分為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言及圖表語(yǔ)言等等。這里就將文字符號(hào)與數(shù)學(xué)符號(hào)這兩種符號(hào)區(qū)別開(kāi)來(lái)了。從自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的關(guān)系可以看出，在自然語(yǔ)言中包含著部分?jǐn)?shù)學(xué)語(yǔ)言，但是兩者又有不同之處。自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言有一個(gè)共同的子集———部分非形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。在人們?yōu)榱藴?zhǔn)確、清晰和簡(jiǎn)便地表述數(shù)學(xué)理論的需要下，數(shù)學(xué)語(yǔ)言產(chǎn)生和發(fā)展了。它是在以下三個(gè)方面對(duì)自然語(yǔ)言改進(jìn)的結(jié)果：防止煩瑣，克服同音現(xiàn)象（一詞多義），擴(kuò)充詞能達(dá)意的可能性。狹義地說(shuō)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和交流的工具，是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)思維的最佳載體。
二、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的概念、特點(diǎn)及重要發(fā)展階段
數(shù)學(xué)語(yǔ)言是隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的誕生而產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)知識(shí)體系是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的。對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言這一概念，目前并沒(méi)有統(tǒng)一定義。有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系和形式的符號(hào)系統(tǒng)。有的學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)語(yǔ)言，狹義地說(shuō)是指數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言；廣義地說(shuō)，一切用以反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語(yǔ)言都是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，包括借用的部分自然語(yǔ)言（含口頭的、文字的日常用語(yǔ)）、符號(hào)語(yǔ)言和圖像語(yǔ)言。有的學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是簡(jiǎn)化自然語(yǔ)言，抽象出來(lái)的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)的特殊語(yǔ)言。[2]盡管這些定義各有側(cè)重，但都在一定程度上反映了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的實(shí)質(zhì)是描述數(shù)學(xué)這一知識(shí)體系的。它是建立在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)語(yǔ)言并不等于簡(jiǎn)化了的自然語(yǔ)言，而是自然語(yǔ)言的一種衍生物。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種人工語(yǔ)言，或符號(hào)語(yǔ)言、形式語(yǔ)言，它的符號(hào)、規(guī)則，都是人工加以規(guī)定的，是先有規(guī)則，后有語(yǔ)句的。[3]例如，數(shù)理邏輯中的命題演算是一個(gè)形式系統(tǒng)，它先規(guī)定初始符號(hào)和形式規(guī)則，然后引出一系列命題。它是在自然語(yǔ)言的基礎(chǔ)之上建立起來(lái)的一種人工語(yǔ)言。數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：簡(jiǎn)潔性、精確性、抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性。1.簡(jiǎn)潔性。簡(jiǎn)潔和精煉是數(shù)學(xué)語(yǔ)言顯著特點(diǎn)之一，人們總是試圖用較少的詞匯來(lái)刻畫(huà)所描述的數(shù)學(xué)對(duì)象。例如7個(gè)12相乘，我們固然可以寫(xiě)成12×12×12×12×12×12×12，但是熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的人會(huì)將其寫(xiě)成127，這種表達(dá)方法就簡(jiǎn)潔得多，而且明白無(wú)誤。簡(jiǎn)潔、精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有利于我們對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行歸納和概括，有利于我們進(jìn)行邏輯推理。它不僅是普通語(yǔ)言無(wú)法替代的，而且構(gòu)成了科學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ)。越來(lái)越多的學(xué)科用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述自己，這不僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔，而且是因?yàn)閿?shù)學(xué)語(yǔ)言的精煉及其思想的普遍性與深刻性。2.精確性。自然語(yǔ)言的語(yǔ)音、詞匯和語(yǔ)法都會(huì)隨著語(yǔ)言環(huán)境的不同而有多種解釋。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言中，每一個(gè)符號(hào)，每一個(gè)由符號(hào)組成的式子，每一個(gè)概念和命題都只有一個(gè)意思。雖然它們的表達(dá)方式有可能不同，但其含義是一致的，沒(méi)有任何歧義。比如，點(diǎn)和直線的位置關(guān)系“點(diǎn)在直線l上”，可以說(shuō)成“點(diǎn)A在直線l上”“點(diǎn)A屬于l”“直線l過(guò)點(diǎn)A”等等。它們都可以表示為圖1，僅僅表示了點(diǎn)A與直線l的一種位置關(guān)系，而沒(méi)有其他含義。精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言無(wú)疑是思維得以順利進(jìn)行的前提條件。語(yǔ)言是思維的“外殼”，思維是語(yǔ)言的“內(nèi)涵”，兩者相依相存。從這一角度來(lái)看，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的周密性。3.抽象性。數(shù)學(xué)的對(duì)象是量與空間形式，而量與空間形式本身就不是具體的某個(gè)事物，是事物的數(shù)量與空間關(guān)系的抽象。數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段時(shí)，用形式化語(yǔ)言來(lái)表達(dá)這一對(duì)象，使其成為形式化、邏輯化的思維材料。反過(guò)來(lái)，這種抽象的語(yǔ)言使得數(shù)學(xué)抽象———舍棄了具體對(duì)象及現(xiàn)實(shí)關(guān)系中的特殊內(nèi)容，而單單保留它們“純粹”的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系。數(shù)學(xué)的抽象性體現(xiàn)在概念的抽象性，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象性，解決問(wèn)題方法的抽象性等諸多方面。也正是由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言有抽象性這個(gè)特點(diǎn)，使它具有通用性，從而成為其他學(xué)科的通用語(yǔ)言。4.嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有嚴(yán)謹(jǐn)性，主要體現(xiàn)在它具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。無(wú)論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題，還是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述數(shù)學(xué)推理或數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)不具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。這是數(shù)學(xué)這門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)性的保證，也是人們進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?、論證的保證。反之，正是數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的特點(diǎn)，要求數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)。如關(guān)于極限的定義，極限的思想可追溯到古代，但直到牛頓時(shí)代，人們還沒(méi)有建立嚴(yán)格的極限定義。那時(shí)牛頓所運(yùn)用的極限概念還只是直觀性的語(yǔ)言描述。以數(shù)列為例，關(guān)于數(shù)列{an}，如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限地接近于常數(shù)A，那么就說(shuō){an}以A為極限。人們很容易理解這種描述性語(yǔ)言，但它沒(méi)有定量給出兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)，正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺少嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑和攻擊。直到柯西與魏爾斯特拉斯建立了嚴(yán)格的極限定義，才定量、具體地刻畫(huà)了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系，至今仍可使用。數(shù)學(xué)語(yǔ)言發(fā)展的重要階段主要有：①建立自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的符號(hào)體系，特別是引入進(jìn)位計(jì)數(shù)制和0這個(gè)特殊記號(hào)。由此人類可以簡(jiǎn)便地寫(xiě)出算術(shù)運(yùn)算的算法。②代數(shù)符號(hào)的發(fā)展，用代數(shù)符號(hào)可以明顯地表示出代數(shù)變形與解方程的法則。③與微積分學(xué)的產(chǎn)生有關(guān)的符號(hào)語(yǔ)言的發(fā)展。（用f＇（x）與dxdy表示導(dǎo)數(shù)，用表示積分等等）④集合論與邏輯語(yǔ)言在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的普遍使用。⑤電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大影響了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展———數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)該便于在計(jì)算機(jī)中輸入?！皵?shù)學(xué)的歷史在一定意義上就可說(shuō)是概念發(fā)展與演變的歷史”，而概念又是與語(yǔ)言分不開(kāi)的。從以上幾個(gè)階段可以看出，語(yǔ)言的發(fā)展尤其是符號(hào)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的發(fā)展起到了不可估量的推動(dòng)作用。萊布尼茲曾經(jīng)寫(xiě)道：“記號(hào)是為了便于發(fā)現(xiàn)，它多半是在記號(hào)簡(jiǎn)潔地表示并能反映事物的內(nèi)在本質(zhì)的時(shí)候，這時(shí)思維活動(dòng)以驚人的方式得到簡(jiǎn)化”。正是由于思維方式的簡(jiǎn)化，人們才有可能進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)思想與方法。事實(shí)上，按照不少數(shù)學(xué)教育學(xué)家的意見(jiàn)，對(duì)于某些數(shù)學(xué)語(yǔ)言的掌握就可被看成數(shù)學(xué)水平提高的一個(gè)主要標(biāo)志。例如，對(duì)代數(shù)語(yǔ)言的掌握就標(biāo)志著由小學(xué)數(shù)學(xué)水平到中學(xué)數(shù)學(xué)水平的過(guò)渡；對(duì)極限語(yǔ)言（ε－δ語(yǔ)言）的掌握則標(biāo)志著由初等數(shù)學(xué)水平上升到了變量數(shù)學(xué)的水平。
三、數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)思維的聯(lián)系
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，無(wú)論是聽(tīng)課、回答問(wèn)題、討論、閱讀數(shù)學(xué)書(shū)籍，還是解決問(wèn)題，都是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為中介的，數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的載體。許多學(xué)生因?yàn)檫\(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力較差，造成了閱讀、理解、思維和表達(dá)上的障礙，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的困難。馬克思認(rèn)為，語(yǔ)言是思維本身的要素……是思想的直接現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)語(yǔ)言同樣與數(shù)學(xué)思維有著密切的聯(lián)系，它不僅是數(shù)學(xué)思維的工具和載體，還可以促進(jìn)、深化數(shù)學(xué)思維；反之，數(shù)學(xué)思維又可以創(chuàng)造數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)思維的特性之一是具有獨(dú)特的形式化的符號(hào)語(yǔ)言。這種形式化的符號(hào)語(yǔ)言正是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特征之一。正是由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡(jiǎn)潔性保證了數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)家們才可以更加方便、流暢地表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)世界的奧秘，并把數(shù)學(xué)成果應(yīng)用于人類各種實(shí)際問(wèn)題。國(guó)際教育署和國(guó)際教育學(xué)會(huì)聯(lián)合出版的教育實(shí)踐系列叢書(shū)中的《有效的數(shù)學(xué)教學(xué)》提出了數(shù)學(xué)有效教學(xué)的十條標(biāo)準(zhǔn)之一是數(shù)學(xué)語(yǔ)言，認(rèn)為教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)語(yǔ)言和日常語(yǔ)言聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)直接講解或示范的方式幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，培養(yǎng)學(xué)生理解和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，能夠區(qū)別數(shù)學(xué)語(yǔ)言和日常語(yǔ)言中的不同含義。無(wú)疑，這也是我們目前數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中需要做到的。
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作者：趙文靜 單位：江蘇鳳凰教育出版社