數(shù)學(xué)中的反證法精選(九篇)

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第1篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

反證法是一種重要的證明方法，歷來(lái)是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。運(yùn)用反證法有時(shí)可以達(dá)到簡(jiǎn)練又確切的良好效果，可以說(shuō)，沒(méi)有反證法的數(shù)學(xué)，只是原始、極不完整的數(shù)學(xué)，因此，深刻的理解反證法的實(shí)質(zhì)，了解這種方法的一般規(guī)律，對(duì)于提高邏輯思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有著十分重要的意義。本文通過(guò)以下方面來(lái)說(shuō)明反證法在教學(xué)中的應(yīng)用。

一、什么是反證法

反證法是一種間接證明命題的方法。該方法先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后以此及其有關(guān)的定義、公理、定理、題設(shè)為依據(jù)，言出有據(jù)地導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，從而證明了與結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，進(jìn)一步肯定原來(lái)的結(jié)論必定成立。簡(jiǎn)言之，就是從反面人手論證命題的真實(shí)性的方法。

反證法具體又分為歸謬法和窮舉法，在反證法中，當(dāng)命題的結(jié)論的反面只有一個(gè)時(shí)，則只需這種情況就能證明結(jié)論正確，這種反證法叫做“歸謬法”。當(dāng)命題結(jié)論的反面有兩種或兩種以上的可能時(shí)，則需一一，從而肯定原結(jié)論為真，這種反證法叫做“窮舉法”。

二、反證法的證題步驟

運(yùn)用反證法證題時(shí)，一般有下述三個(gè)步聚：

（1）反設(shè)：就是假設(shè)原命題的結(jié)論的反面成立。

（2）歸謬：從假設(shè)出發(fā)，由正確的演繹推理過(guò)程，推出與公理，或定義，或與已知定理和公式，或與已知條件，或與假設(shè)相矛盾的結(jié)果，或所推得的結(jié)果自相矛盾。

（3）結(jié)論：判斷原命題結(jié)論反面不能成立，從而肯定原命題結(jié)論成立。

三、宜用反證法證明的命題形式

為了便于運(yùn)用反證法證題，必須搞清宜用反證法證明的命題所具有的以下幾種常見(jiàn)形式。

待證命題用直接法難于人手時(shí)，宜用反證法.如立體幾何中開(kāi)始的一些性質(zhì)定理的證明就是如此。

下面再舉一例

例1 如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，且a

證：假設(shè)a≠b，即ab

ab=bablna=alnb，

這與（1）式相矛盾，故a>b的假設(shè)不成立

所以，有a=b

說(shuō)明：此題用反證法，推出結(jié)論與題設(shè)相矛盾，并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。

四、反證法證題時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題

（1）一定要在推理過(guò)程中有意地制造矛盾，并及時(shí)地發(fā)現(xiàn)矛盾。

第2篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

一、“反證法”在初中教材中的解讀

“反證法”在初中數(shù)學(xué)教材中，雖然并不是作為基本技能要求學(xué)生掌握，但處處有所滲透，并逐步提高要求。如蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第7章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”中，課本編寫(xiě)“讀一讀” ――怎樣證實(shí)“兩直線平行，同位角相等”，運(yùn)用了反證法。這里已經(jīng)逐步揭示反證法的基本思路：“反設(shè)歸謬存真”。

八年級(jí)下冊(cè)第九章中，提出了一個(gè)用“反證法”解決的簡(jiǎn)單問(wèn)題，并對(duì)反證法給出了明確的定義：先提出與結(jié)論相反的假設(shè)，然后由這個(gè)“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的，因而命題的結(jié)論成立。讓學(xué)生了解了反證法的基本步驟、體會(huì)反證法在解決問(wèn)題中的作用。

由此看來(lái)，考慮到學(xué)生的年齡特征，對(duì)于“反證法”，在初中教材中的安排是謹(jǐn)慎而又循序漸進(jìn)的，它是對(duì)提高學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)思辨能力的一個(gè)補(bǔ)充，在思維方式上給學(xué)生以新的思路和啟發(fā)。

二、“反證思想”滲透教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力

數(shù)學(xué)思辨能力，即數(shù)學(xué)思考辨析問(wèn)題的能力，包括分析、推理、判斷、解決問(wèn)題。良好的思辨能力體現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題的分析和結(jié)論進(jìn)行層次分明、條理清晰的解釋和論證，具有較強(qiáng)的邏輯性。而“反證思想”是“反證法”中蘊(yùn)含的逆向思維方式在問(wèn)題解決中的應(yīng)用。借用“反證思想”還能幫助學(xué)生能夠在千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，突破傳統(tǒng)單一的解題思路，創(chuàng)新解決新方法，進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

（一）從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，使學(xué)生了解“反證法”的基本思路和一般步驟

初中數(shù)學(xué)知識(shí)中包含很多定理、定義等，一些定理或者初始命題難以發(fā)現(xiàn)直接證明的論據(jù)。從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，使“反證法”為學(xué)生提供新的解題思路。讓學(xué)生了解它的基本思路和一般步驟，從而能觸類(lèi)旁通、靈活地解決問(wèn)題。

例1：求證：在一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角。

第一步，反設(shè)――假設(shè)問(wèn)題的反面成立。假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)（或三個(gè)）鈍角。

第二步，歸謬――從假設(shè)出發(fā)得出與已知條件、定義、定理或基本事實(shí)相矛盾的結(jié)果。那么這兩個(gè)（或三個(gè)）鈍角的和大于180°，這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”相矛盾，

第三步，存真――假設(shè)，說(shuō)明假設(shè)不成立，原命題成立。所以假設(shè)不成立，所以“一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角”。

第3篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

一、引導(dǎo)學(xué)生反向設(shè)計(jì)問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)是課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，要求學(xué)生要深入理解，掌握扎實(shí)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基石，各種練習(xí)題都以其為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)。為使學(xué)生更好地理解這些知識(shí)，我們可采用反向思維的方式對(duì)其進(jìn)行分析。例如：在定義域的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易理解和掌握定義，但往往在求解上出現(xiàn)畏難情緒，不會(huì)解，或少解、或多解。為解決這個(gè)問(wèn)題可在一定的正面練習(xí)的基礎(chǔ)上為定義域的結(jié)果設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)解析式，使其滿足定義域，可結(jié)合知識(shí)基礎(chǔ)假設(shè)對(duì)數(shù)型、偶次根式型，等等。定義域的設(shè)計(jì)可采取由單向無(wú)窮至封閉區(qū)間或兩個(gè)區(qū)間并集各種形式，能極大程度地調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，并幫助他們從深層次掌握各種定義域的限制條件，促使學(xué)生完成初步的由解題到出題的轉(zhuǎn)變。在此處知識(shí)的教學(xué)中還有一個(gè)難點(diǎn)――二次不等式的解，也在上一訓(xùn)練中得以升華。

在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)定理以后， 指導(dǎo)學(xué)生思考并用清晰的語(yǔ)言來(lái)敘述它的逆出題目， 再去判斷或論證逆出題目的正確性，是逆向思維訓(xùn)練的有效方法。能力較差的學(xué)生一般只會(huì)簡(jiǎn)單地把定理的題設(shè)以及結(jié)論對(duì)換，難免出現(xiàn)語(yǔ)言不準(zhǔn)確的錯(cuò)誤，但由正定理反過(guò)來(lái)設(shè)計(jì)逆定理是對(duì)正定理理解的完美補(bǔ)充。如立體幾何中的平行、垂直等的判定與性質(zhì)定理等。

二、運(yùn)用反例及補(bǔ)集思想分析題

在解諸如填空、判斷、選擇題時(shí)，運(yùn)用事例及補(bǔ)集思想分析題更是一種簡(jiǎn)單易行的方法；在解題后，對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果的檢驗(yàn)，也是一種行之有效的方法；在審題時(shí)，可幫助學(xué)生找出由于種種原因而出現(xiàn)的錯(cuò)題，以避免浪費(fèi)精力和時(shí)間；在求概率問(wèn)題時(shí)運(yùn)用補(bǔ)集思想分析是較好的方法，如確定對(duì)立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思維的作用。數(shù)學(xué)被譽(yù)為“思維體操”，思維的多樣性、靈活性更是其顯著特點(diǎn)。客觀題的解答只需合理不需過(guò)程，反向檢驗(yàn)更容易快速地得出結(jié)論。比如從選項(xiàng)看取值范圍的差異用特殊值檢驗(yàn)。又如講解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由于對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在指導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像特征時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生將兩種函數(shù)的圖像以及性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生能相應(yīng)地得出對(duì)數(shù)函數(shù)的四條性質(zhì)。再列出指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式，定義域以及值域，數(shù)值變化以及單調(diào)性方面的對(duì)照表，學(xué)生就能更清楚兩者之間的對(duì)稱(chēng)（互逆）關(guān)系了。

三、簡(jiǎn)易邏輯在思維中的作用

第4篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

關(guān)鍵詞:邏輯數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào):G633文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-2851(2009)10-0177-01

高中數(shù)學(xué)的起始單元就是“集合與簡(jiǎn)易邏輯” 。雖然它是第一次以“邏輯”的形式正式出現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材中,但是邏輯思維方法,早從初中數(shù)學(xué)伊始,就已經(jīng)貫穿于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中了。如初中代數(shù)中的一元二次方程、一元二次方程組,平面幾何中的四種命題、反證法等,這些知識(shí)中都包含和滲透著邏輯學(xué)知識(shí)。而高中代數(shù)中的集合、不等式組、數(shù)學(xué)歸納法,立體幾何中的定義、公理、反證法等等,更是貫穿著邏輯學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用。我們一定要認(rèn)真理解并吸收這些知識(shí),掌握正確的邏輯思維方法,才能為以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

既然邏輯學(xué)知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著如此重要的位置,要學(xué)好數(shù)學(xué),我們必須努力學(xué)習(xí)和掌握邏輯學(xué)相關(guān)知識(shí),進(jìn)而全面地理解概念,正確地進(jìn)行邏輯推理和判斷。唯有如此,我們才能贏得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的勝利。

下面是我對(duì)邏輯學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)部分知識(shí)中的滲透和運(yùn)用的一些膚淺理解。

一、邏輯學(xué)知識(shí)在集合中的應(yīng)用

簡(jiǎn)易邏輯與集合密不可分。邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”詮釋著三種不同的邏輯,它們與集合的“并”、“交”、“補(bǔ)”有著密切的聯(lián)系。

(一)“或”可以理解為集合中的并集,是將不同集合的所有元素合成一個(gè)集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個(gè)成立。

(二)“且”可以聯(lián)想到集合中交集的概念,它類(lèi)似于我們慣常理解的“既是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”這兩個(gè)條件同時(shí)都滿足。

(三)“非”可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集。若命題P對(duì)應(yīng)的集合為A,則命題非P就應(yīng)該對(duì)應(yīng)著集合A在全集U中的補(bǔ)集CuA。

二、 邏輯學(xué)知識(shí)在概率中的應(yīng)用

假使我們把以上三種邏輯運(yùn)用到概率中,便更容易理解了。如果事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,則事件A與B為互斥事件,就像“或”對(duì)應(yīng)著并集,發(fā)生的概率是A發(fā)生的概率加B發(fā)生的概率。而對(duì)于相互獨(dú)立事件,事件A與B發(fā)生的概率就是A的概率與B的概率之乘積。如果A和B是對(duì)立事件,就滿足著排斥邏輯。所以說(shuō)數(shù)學(xué)中概率的運(yùn)用也同樣離不開(kāi)邏輯。

三 、邏輯學(xué)知識(shí)在“反證法”中的應(yīng)用

從邏輯學(xué)的角度理解反證法,也就是通過(guò)推理論證矛盾命題非P的虛假性,從而確定命題P的真實(shí)性的論證。需要注意的是,假定P與非P的結(jié)論所確定的集合分別是A、B,且滿足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”結(jié)論必須包含P的結(jié)論的所有對(duì)立面。否則我們使用反證法證題時(shí)就可能犯錯(cuò)誤。如題:用反證法證明:如果a>b>0,則√a>√b。我們證明時(shí)假設(shè)√a不大于√b,則有兩種情況√a

四、邏輯學(xué)知識(shí)在充分、必要、充要條件中的運(yùn)用

我們知道,一般情況下,如果由p=>q,那么p是q的充分條件,q是p的必要條件。如果由p=>q,又由q=>p,那么p是q的充分必要條件,即充要條件。

例:條件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判斷p是q的()。

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件

解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立則q成立,而q成立則p不一定成立,故p是q的充分不必要條件,故選A。

五、邏輯學(xué)知識(shí)在理解判斷四種命題及其相互關(guān)系的應(yīng)用

在本節(jié)的學(xué)習(xí)中,我們可以從邏輯學(xué)和集合兩個(gè)角度去理解概念,正確掌握判斷四種命題的方法,如定義法,集合法,轉(zhuǎn)化法等。學(xué)會(huì)運(yùn)用集合的觀點(diǎn)來(lái)解決簡(jiǎn)易邏輯中的一些問(wèn)題。

第5篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

摘 要：不等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)常見(jiàn)問(wèn)題，而不等式的證明是中學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，本文論述了不等式證明常用方法和技巧，對(duì)于幫助中學(xué)生克服不等式證明這一難點(diǎn)有重要價(jià)值；同時(shí)對(duì)于提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平、提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力大有幫助.

關(guān)鍵詞 ：不等式；方法；技巧

中圖分類(lèi)號(hào)：O122文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1673-260X（2015）08-0006-03

不等關(guān)系是客觀世界中量與量之間一種重要的關(guān)系，而不等式則是反映這種關(guān)系的基本形式.在數(shù)學(xué)中，不等式是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，其中不等式中的重點(diǎn)主要是證明不等式，解不等式以及不等式的應(yīng)用三類(lèi)問(wèn)題.不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換、證明和解不等式的根據(jù).不等式的變換包括推出變換和等價(jià)變換兩類(lèi).其實(shí)質(zhì)是條件為結(jié)論的充分條件或必要條件這兩種邏輯關(guān)系.

其實(shí)解不等式的技巧就是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，其過(guò)程為一系列的轉(zhuǎn)化過(guò)程，因此要加強(qiáng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并注意分類(lèi)討論思想的滲透.

證明不等式的方法有比較法、綜合法和分析法、反證法、換元法、分類(lèi)討論法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、累次求極值法、函數(shù)法等.

1 比較法

其中比較法又可以分為比差和比商法，比差法即設(shè)有數(shù)a和b，若a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b；若a-b=0，則a=b.比商法即設(shè)有數(shù)a和b且b≠0，若a/b>1，則a>b；若a/b><1，則a<b；若a/b>=1，則a=b.

得證.

2 綜合法與分析法

綜合法與分析法也是很常用的兩種方法，由于兩者只是在思維過(guò)程的順序有所不同，因此在這里我們放在一起來(lái)分析和討論.綜合法即是利用題設(shè)和基本不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所需要證明的不等式的方法；而分析法是從欲證不等式的結(jié)論出發(fā)，通過(guò)分析使這個(gè)不等式成立的條件，只要這些條件在題目中具備，就可以斷定原不等式成立.

即得證.

3 反證法

反證法即是先提出和定理中的結(jié)論相反的假定，然后從這個(gè)假定中得出和已知條件相矛盾的結(jié)果來(lái)，這樣就否定了原來(lái)的假定而肯定了定理.也叫歸謬法.事實(shí)上，反證法就是去證明一個(gè)命題的逆否命題是正確的，這與直接證明是等價(jià)的，但是可能其逆否命題比較容易證明.上述的過(guò)程得出了矛盾，事實(shí)上就是得出了“假設(shè)與題設(shè)不相融”這個(gè)結(jié)論，所以我們不能接受這個(gè)假設(shè)，所以這個(gè)假設(shè)的反面就是正確的，從而命題得證.有時(shí)候反證法能夠使我們得到意想不到的效果.

與已知矛盾

所以假設(shè)不成立

原結(jié)論成立.

4 放縮法

放縮法也是證明不等式常用的并且行之有效的一種證明方法，其關(guān)鍵在于尋找中間變量C，通過(guò)C對(duì)A或B的放大或縮小使A<C<B成立，C在量A和B之間架起一座橋梁，通過(guò)C的過(guò)渡使A與B間接的建立起不等關(guān)系.

例　已知n為正整數(shù)，

證畢.

5 構(gòu)造法

構(gòu)造法就是數(shù)學(xué)中通過(guò)數(shù)與數(shù)、數(shù)與形的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化的方法，其中構(gòu)造幾何圖形證明不等式是一種比較直觀和簡(jiǎn)便的方法，此方法是利用構(gòu)造圖形的幾何性質(zhì)，通過(guò)圖形比較明顯的性質(zhì)來(lái)直接的證明不等式的方法.

6 累次求極值法

累次求極值法是求多元函數(shù)最值的一種方法，其是先將一些變量固定，對(duì)于較少變量求出最值，然后使另一些變量“活化”，當(dāng)它們變化時(shí)，求第一步求出的那些最值的最值，這樣一步一步地求下去，得到題中所求的最值.

7 函數(shù)法

函數(shù)法即是先構(gòu)造自己所需要的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性或值域或者函數(shù)的一些其它性質(zhì)來(lái)證明不等式的一種方法，也是一種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

在不等式的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)探究思維能力，作為一種觀念，只要我們長(zhǎng)期堅(jiān)持，積極探討，一定能大大提高我們的學(xué)習(xí)效率和探究思維能力，從而對(duì)所學(xué)知識(shí)窺之深，察之遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)：

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第6篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

（赤峰學(xué)院 學(xué)報(bào)編輯部，內(nèi)蒙古　赤峰 024000）

摘 要：逆向思維是一種與正向思維相反的思維方式，是一種"由果溯因"的思維模式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一種重要方法.逆向思維方式中蘊(yùn)涵了許多獨(dú)特，巧妙的數(shù)學(xué)思想.運(yùn)用逆向思維方法，可以使一些難于解決的問(wèn)題應(yīng)刃而解，如本文中涉及的六類(lèi)問(wèn)題，其解法都比較巧妙，這對(duì)于提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有很大的幫助.

關(guān)鍵詞 ：逆向思維；反證法；分析法；命題轉(zhuǎn)換法

中圖分類(lèi)號(hào)：O122；G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-260X（2015）08-0003-03

思維是人對(duì)客觀事物的本質(zhì)特點(diǎn)和內(nèi)在規(guī)律的反映，是人的理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程.根據(jù)思維過(guò)程的指向性，可以將思維分為正向思維和逆向思維.正向思維是指在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，按通常思維的方向進(jìn)行.而逆向思維是從已知問(wèn)題的相反問(wèn)題著手解決原問(wèn)題，其采用了與正常的思維方式完全相反的一種思維方式，“反其道思之”.所以在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，我們也可以采用與常規(guī)思想不同的逆向思維思考問(wèn)題，順推解決不了問(wèn)題就考慮逆推，直接解決不了就考慮間接，正面不好討論的問(wèn)題就討論其相反面.

逆向思維也是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分.在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，逆向思維的培養(yǎng)對(duì)于提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力有很大的幫助.其在數(shù)學(xué)解題或研究中時(shí)常會(huì)遇到，比如利用逆用定義，逆用公式和法則等方式解決問(wèn)題，證明題中常用的反證法運(yùn)用的也是這樣一種思維方式.本文試圖從以下幾個(gè)方面來(lái)闡述逆向思維在解題中的重要性.

1 逆用定義

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中定義的作用不可替代，它是解題的航標(biāo).而定義的逆用在解題過(guò)程中也時(shí)常遇見(jiàn).只要我們重視定義的逆用，進(jìn)行逆向思維，有些題目的解決會(huì)很容易.

例1　解不等式|x-2|<1.

分析　掌握了絕對(duì)值的概念后，我們知道，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我們應(yīng)想到絕對(duì)值等于3的數(shù)有幾個(gè)？而如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，這兩個(gè)數(shù)可能是什么關(guān)系？如果是一個(gè)式子的絕對(duì)值，在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)可能出現(xiàn)什么樣的情況？

解　由題

當(dāng)x-2>0即x>2時(shí)

有|x-2|=x-2

此時(shí)原不等式等價(jià)于x-2<1

解得x<3

而當(dāng)x-2<0即x<2時(shí)

有|x-2|=2-x

此時(shí)原不等式等價(jià)于2-x<1

解得x>1

綜上可以得出原不等式的解為1<x<2.

所以

例3　設(shè)f(x)=9x-3x+1，求f-1(0)

分析　我們通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函數(shù)，然后再把0代入求出f-1(0)的值，顯然這樣做過(guò)程有些煩瑣.但是如果逆用反函數(shù)定義，令f(x)=0那么解出x的值就是為f-1(0)的值.

解 由題　令f(x)=0，即9x-3x+1=0

解得x=1

所以根據(jù)反函數(shù)定義f-1(0)=1.

2 公式的逆應(yīng)用

公式的運(yùn)用在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中是非常重要的一部分，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用公式也是一種數(shù)學(xué)能力.我們運(yùn)用公式時(shí)大都習(xí)慣遵循著由左向右順序.可是有些問(wèn)題不能運(yùn)用公式正面解決，那么逆用公式也是重要的數(shù)學(xué)方法.

例1　計(jì)算20002-19992+19982-19972+……+22 -1.

分析　觀察原式的式子特點(diǎn)可考慮逆用平方差公式，這樣會(huì)使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化.

3 利用逆向思維求函數(shù)值域

在函數(shù)這一部分學(xué)習(xí)中，求函數(shù)的定義域和值域是很重要的內(nèi)容，但有時(shí)候通過(guò)一些函數(shù)的性質(zhì)定義域很容易求出，可是值域卻不容易得出.于是我們可以利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域的關(guān)系,通過(guò)求反函數(shù)的定義域而求得反函數(shù)的值域.

4 反證法

一個(gè)數(shù)學(xué)命題的證明按其所證的對(duì)象是原命題還是其等價(jià)命題分為直接證法和間接證法.證明原命題稱(chēng)為直接證法，證明原命題的等價(jià)命題稱(chēng)為間接證法.反證法就是一種間接證法，是許多問(wèn)題在用直接證法很難解決時(shí)常常被采用的證法.這是一個(gè)很好的思想，很好的體現(xiàn)了哲學(xué)中的“矛盾”思想，也就是任何一個(gè)矛盾都存在著對(duì)立統(tǒng)一的兩方面，一方的轉(zhuǎn)化或消失，矛盾便不存在.“反證法”在我們探索數(shù)學(xué)的性質(zhì)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)引起我們高度重視，正面想不出，從事情的反面考慮，也許就很容易得到想要的結(jié)果.

反證法證明問(wèn)題的基本程序：

1 假定所要證的結(jié)論不成立,而設(shè)命題的反面成立.

2 用反設(shè)做條件,通過(guò)已知的定理,定義進(jìn)行正確的推理,導(dǎo)出矛盾

3 因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的錯(cuò)誤.既然結(jié)論的反面不成立，那么結(jié)論成立.

例1　圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

分析 假設(shè)兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點(diǎn)到兩條弦在圓上的點(diǎn)的距離相等，所以交點(diǎn)為圓心.又因?yàn)檫@兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個(gè)圓心，這樣同一個(gè)圓有兩個(gè)圓心，而這不可能，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

例2　已知a>0，b>0，a+b>2,求證：1+b/a，1+a/b中至少有一個(gè)小于2.

分析 本題顯然用一般的方法去思考會(huì)非常復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)三種需要考慮的結(jié)果.因此，我們不妨從反面著手，用反證法來(lái)證明.

解　假設(shè)1+b/a，1+a/b都不小于2

則

1+b/a≥2，1+a/b≥2.

因?yàn)?/p>

a>0，b>0

所以

1+b≥2a，1+a≥2b

因此

1+b+1+a≥2(a+b)

即

a+b≤2.

這與a+b>2矛盾，故假設(shè)不成立.

即1+b/a，1+a/b中至少有一個(gè)小于2.

5 分析法

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，從題設(shè)出發(fā)，根據(jù)已有的定理和公式推出要證的結(jié)論，稱(chēng)為綜合法.但是在解題過(guò)程中，有一些問(wèn)題的解決用綜合法很難得到解決，有些問(wèn)題如果從條件出發(fā)往往會(huì)感到無(wú)從下手.但是若從命題的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行推理，最后達(dá)到已知條件，問(wèn)題就很容易得到解決.這就是分析法.

分析法在不等式證明中的作用尤為突出.我們可以從求證的不等式出發(fā)，逐步尋找使不等式成立的充分條件，直到所需要的條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立.

逆向思維在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，這就要求我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中.遇到難題時(shí)不要退縮，要大膽創(chuàng)新，加強(qiáng)逆向思維的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)中，培養(yǎng)可逆思維能力的途徑還有很多，還需要我們不斷的探索，從而真正從思想高度上理解自己所學(xué)的知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

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〔3〕陳明名，劉問(wèn)斌.中學(xué)數(shù)學(xué)解題技巧[M].北京：北京理工大學(xué)出版社.

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第7篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；“層次”教學(xué)；創(chuàng)新教育

新課程把數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，在數(shù)學(xué)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出來(lái)，這不僅是課標(biāo)體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對(duì)學(xué)生實(shí)施創(chuàng)新教育、培訓(xùn)創(chuàng)新思維的重要保證。

一、了解《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》要求，把握教學(xué)方法

1、新課標(biāo)要求，滲透“層次”教學(xué)。

《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”、“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。在教學(xué)中，要求學(xué)生“了解”數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)的思想、化歸的思想、類(lèi)比的思想和函數(shù)的思想等。這里需要說(shuō)明的是，有些數(shù)學(xué)思想在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中并沒(méi)有明確提出來(lái)，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識(shí)和運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉(zhuǎn)化的思想方法。

教師在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，不僅應(yīng)該使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過(guò)獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。在《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》中要求“了解”的方法有：分類(lèi)法、類(lèi)比法、反證法等。要求“理解”的或“會(huì)應(yīng)用”的方法有：待定系數(shù)法、消元法、降次法、配方法、換元法、圖象法等。在教學(xué)中，要認(rèn)真把握好“了解”、“理解”、“會(huì)應(yīng)用”這三個(gè)層次。不能隨意將“了解”的層次提高到“理解”的層次，把“理解”的層次提高到“會(huì)應(yīng)用”的層次，不然的話，學(xué)生初次接觸就會(huì)感到數(shù)學(xué)思想、方法抽象難懂，高深莫測(cè)，從而導(dǎo)致他們失去信心。如數(shù)學(xué)教材中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》只是把“反證法”定位在通過(guò)實(shí)例，“體會(huì)”反證法的含義的層次上，我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，千萬(wàn)不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2、從“方法”了解“思想”，用“思想”指導(dǎo)“方法”。

關(guān)于初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想和方法內(nèi)涵與外延，目前尚無(wú)公認(rèn)的定義。其實(shí)，在初中數(shù)學(xué)中，許多數(shù)學(xué)思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊(yùn)含。只是方法較具體，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段，而思想是屬于數(shù)學(xué)觀念一類(lèi)的東西，比較抽象。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解，使數(shù)學(xué)思想與方法得到交融的有效方法。同時(shí)，數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)，又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣處置，使“方法”與“思想”珠聯(lián)璧合，將創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神寓于教學(xué)之中，教學(xué)才能卓有成效。

二、遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，把握教學(xué)原則，實(shí)施創(chuàng)新教育

1、滲透“方法”，了解“思想”。

由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思維能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門(mén)獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程，解決問(wèn)題和規(guī)律的概括過(guò)程，使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題。在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過(guò)程中，教師要精心設(shè)計(jì)、有機(jī)結(jié)合，要有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤(pán)托出，脫離實(shí)際等錯(cuò)誤做法。

2、訓(xùn)練“方法”，理解“思想”。

數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富的，方法也有難有易。因此，必須分層次地進(jìn)行滲透和教學(xué)。這就需要教師全面地熟悉初中三個(gè)年級(jí)的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、方法滲透的各種因素，對(duì)這些知識(shí)從思想方法的角度作認(rèn)真分析，按照初中三個(gè)年級(jí)不同的年齡特征、知識(shí)掌握的程度、認(rèn)知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹?cái)?shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)。如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運(yùn)算方法和運(yùn)算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來(lái)指導(dǎo)具體的運(yùn)算。在整個(gè)教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用。

3、掌握“方法”，運(yùn)用“思想”。

第8篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】初中；數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)方法任何學(xué)科都有它的教學(xué)思想和與其相配套的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)學(xué)科也是這樣。可以這樣地講，數(shù)學(xué)思想和方法是學(xué)科的精髓，也是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的平臺(tái)。初中階段，為了更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，必須指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本方法，這些要領(lǐng)的心領(lǐng)神會(huì)，必須通過(guò)反復(fù)解題，并在解題中學(xué)會(huì)思考，形成舉一反三及派生的能力。初中數(shù)學(xué)教材中大量的優(yōu)秀例題和習(xí)題，過(guò)程中很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題方法與解題思維。作為一名初中一線數(shù)學(xué)老師，我們就應(yīng)該順著這條線索把知識(shí)中孕含的思想與解題過(guò)程中的要領(lǐng)講清楚。讓學(xué)生明白，并掌握一種學(xué)習(xí)技巧。下面就自己多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劷虒W(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法滲透的幾點(diǎn)做法。

一、依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，把握教學(xué)方法

數(shù)學(xué)思想，淺意地說(shuō)是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。

1.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求滲透“層次”教學(xué)。對(duì)初中數(shù)學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想、方法劃分為三個(gè)層次，即“了解”“理解”和“會(huì)應(yīng)用”。數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)的思想、類(lèi)比的思想等。方法有：分類(lèi)法、圖象法、反證法等。數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯思維非常強(qiáng)的學(xué)科，這就更加嚴(yán)謹(jǐn)要求老師在講課時(shí)，不能將不同層次的方法混用在同一知識(shí)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，方法如果用得不恰當(dāng)，學(xué)生就會(huì)一頭霧水，聽(tīng)不明白，并逐漸喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，損失很大。如初中數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)中明確提出“反證法”的教學(xué)思想，且揭示了運(yùn)用“反證法”的一般步驟，但《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》“反證法”被定位在通過(guò)實(shí)例，“體會(huì)”反證法的含義的層次上，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中，應(yīng)牢牢地把握住這個(gè)“度”，不能隨意拔高、加深。否則，教學(xué)效果將是得不償失。

2.“方法”中提煉“思想”，“思想”中導(dǎo)引“方法”。初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法大多是一致的。只是方法較具體，思想比較抽象。比如，化歸思想，可以說(shuō)是貫穿于整個(gè)初中階段的教學(xué)，就這一數(shù)學(xué)思想，教材中引入了許多數(shù)學(xué)方法，如換元法，圖象法、待定系數(shù)法、配方法等。在教學(xué)中，通過(guò)對(duì)具體數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步理解其數(shù)學(xué)思想；同時(shí)思想又深化了數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。這樣相輔相成的教學(xué)妙用，是教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮的極致，也會(huì)取得很好的教學(xué)效果。

二、把握教學(xué)原則，實(shí)施創(chuàng)新教育

創(chuàng)新是一種能力，更是一種教學(xué)智慧。初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力薄弱，知識(shí)貧乏，這就要求老師要把握好知識(shí)之間相互聯(lián)系，理清知識(shí)之間難易層次，做到這一點(diǎn)，學(xué)生必須要熟記數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則，并知道這些定義法則提出的理論依據(jù)。使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，獲取新知。比如，初中數(shù)學(xué)《有理數(shù)》這一章中，“有理數(shù)大小的比較”，貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，得出的結(jié)論就是正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，就會(huì)使本章節(jié)知識(shí)融會(huì)貫通；又能很好掌握數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受，形成舉一反三的能力。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容是相當(dāng)豐富，方法也有難有易。老師在教學(xué)中做到創(chuàng)新就必須熟知初中所在數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，絕對(duì)凌駕教材之上。才能運(yùn)用恰到好處，才能有創(chuàng)新的能力。如在教學(xué)同底數(shù)冪的乘法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先研究底數(shù)、指數(shù)為具體數(shù)的同底數(shù)冪的運(yùn)算方法和運(yùn)算結(jié)果，從而歸納出一般方法，在得出用a表示底數(shù)，用m、n表示指數(shù)的一般法則以后，再要求學(xué)生應(yīng)用一般法則來(lái)指導(dǎo)具體的運(yùn)算。在整個(gè)教學(xué)中，教師分層次地滲透了歸納和演繹的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣起重要作用。

三、數(shù)學(xué)思想方法的具體應(yīng)用

1.轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想，且應(yīng)用十分廣泛，數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)就是一系列轉(zhuǎn)化的過(guò)程，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化未知為已知等，這種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化方式與過(guò)程激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常用的轉(zhuǎn)化形式就是，化高次為低次、化多元為一元。例如，“有理數(shù)的減法”和“有理數(shù)的除法”這兩節(jié)教學(xué)內(nèi)容中，使學(xué)生在自主探究和合作交流的過(guò)程中，經(jīng)歷把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法、把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的過(guò)程，“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，這個(gè)地方雖然很簡(jiǎn)單，但卻充分體現(xiàn)了把“沒(méi)有學(xué)過(guò)的知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)”來(lái)加以解決，學(xué)生一旦掌握了這種解決問(wèn)題的策略，今后無(wú)論遇到多么難、多么復(fù)雜的問(wèn)題，都會(huì)自然而然地想到把“不會(huì)的”轉(zhuǎn)化為“會(huì)的”“已經(jīng)掌握的”知識(shí)來(lái)加以解決，這符合學(xué)生原有認(rèn)知規(guī)律，作為教師，我們不能因?yàn)楹?jiǎn)單而忽視它的教學(xué)過(guò)程，實(shí)踐告訴我們，往往是越簡(jiǎn)單、越淺顯的例子，越能引起學(xué)生的認(rèn)同，所以我們不能錯(cuò)過(guò)這一絕佳的提高學(xué)生的思維品質(zhì)的機(jī)會(huì)。

第9篇：數(shù)學(xué)中的反證法范文

【關(guān)鍵詞】不等式；證明方法；比較法；綜合法；分析法

一、引言

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分及數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具。不等式是指在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系，不全是等號(hào)，含不等符號(hào)的式子。不等式分為嚴(yán)格不等式（用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)“>”“

二、證明不等式的基本方法

（一）比較法

比較法是證明不等式的方法之一，用比較法證明不等式分類(lèi)比差法和比商法兩類(lèi)，它們優(yōu)點(diǎn)是明了容易想到，但是用起來(lái)不是那么容易。它們的解題依據(jù)及步驟如下：

（1）比差法。主要依據(jù)是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序關(guān)系。應(yīng)用比差法時(shí)我們規(guī)定這里的a，b可推廣為一般的代數(shù)式，這是比差法的理論依據(jù)?；窘忸}步驟是：做差--變形--判斷符號(hào)。

（2）作商比較法。當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式冪指數(shù)式可采用作商比較法。當(dāng)欲證只需證，欲證只需證。

基本解題步驟是：作商--變形--判斷。（與1的大?。?/p>

例1.求證：

證：

時(shí)等號(hào)成立。

所以成立。

例2.已知，求證。

證： 又

（1）當(dāng)時(shí)，，所以

（2）當(dāng)時(shí)所以

（3）當(dāng)時(shí)不等式取等號(hào)。所以（1），（2），（3）知，不等式成立。

（二）綜合法

綜合法就是從已知式已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推出，欲證的不等式，通過(guò)一系列已確定的命題（包含不等式的性質(zhì)，已掌握的重要不等式）逐步推演，從而得到所要求證的不等式成立，這種方法叫做綜合法。它涉及多方面的知識(shí)，算是比較難的方法。以下介紹幾個(gè)重要不等式：

為實(shí)數(shù)）同號(hào)）

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

例3.已知且，求證：

證： 所以?xún)蛇呁瑫r(shí)乘得：

即：

原不等式成立。

（三）分析法

從求證的不等式出發(fā)，分析不等式成立的條件把證明這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化為判定使這個(gè)不等式成立的條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都以具備那么就可以判定這個(gè)不等式成立，這種證明方法叫做分析法。

例4.求證：

證即：因?yàn)橐驗(yàn)闉榱俗C明原不等式成立，只順證明：

即：

即：

即：

所以原不等式成立。

三、證明不等式的其他方法

（一）反證法

反證法是從假設(shè)結(jié)論不成立入手，推出與已知條件，假設(shè)公里，定理式顯然成立的實(shí)相矛盾的結(jié)果，從而判定假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論是成立的，這種方法叫做反證法。反證法屬于間接證法，其主要步驟是：

1.作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)。

2.在假設(shè)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)合理的推理導(dǎo)出矛盾的結(jié)果。

3.肯定命題的正確性。反證法的原理是《否定》之否定定于肯定。

例5.已知，求證：

證：假設(shè)成立則

由此得這是不可能的。

（二）放縮法

放縮法是證明不等式的一種特殊的方法。從不等式的一邊入手，逐漸放大或縮小不等式，直到不等式的另一邊，這種方法叫做.放縮法。放縮是使用的主要方法，有：

1.舍去或加上一些項(xiàng)：

如：，，

2.將分母或分子放大（或縮?。?/p>

例6.求證：

證：有

原不等式成立。

（三）數(shù)學(xué)歸納法

證明有關(guān)自然數(shù)的不等式的證明，可以采用數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的證明原理，是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題順用兩個(gè)步聚完成。

1.驗(yàn)證取第一個(gè)數(shù)值時(shí)，不等式成立。

2.假設(shè)取某一自然數(shù)時(shí)，不等式成立。（歸納假設(shè)），由此推演出取時(shí)，此不等式成立。

例7.求證：

證：（1）當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊=2，不等式顯然成立。

（2）假設(shè)時(shí)，則時(shí)：

左邊==

時(shí)不等式也成立。由（1），（2）對(duì)于任意的，原不等式都成立。

（四）換元法

換元法是指對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的命題，通過(guò)恰當(dāng)入變量代換原命題中的部分式子，簡(jiǎn)化原有結(jié)構(gòu)，使其教化未便于研究的形式。

例8.若，求證：

證：已知條件，令，

左端：

右端：

即可知

原不等式成立。

例9.已知，求證：

證：因?yàn)樵O(shè)，其中：

因?yàn)?/p>

而，

（五）構(gòu)造法

通常有構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造復(fù)數(shù)法，構(gòu)造方程法。

1.構(gòu)造函數(shù)是將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，達(dá)到證明的目的。

例10.已知且，求證：

證：構(gòu)造函數(shù)：

函數(shù)在上為增函數(shù)

原不等式成立。

（1）構(gòu)造復(fù)數(shù)法

例11.已知，求證：

證：構(gòu)造復(fù)數(shù)：

（2）構(gòu)造方程法

例12.若且，證：

證：令則：

構(gòu)造方程為方程的兩個(gè)根。

即：

但即：

由于

原不等式成立。

（六）判別式法

判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來(lái)的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根，解集函數(shù)的性質(zhì)等特征確定判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方程。

例13.設(shè)，求證：

證：

因?yàn)榈南禂?shù)為。

原不等式成立。

四、結(jié)束語(yǔ)

不等式雖然在書(shū)本上給的內(nèi)容不多，但它在現(xiàn)實(shí)中不可缺少的。不等式的證明方法很多，并且具有系統(tǒng)性。當(dāng)我們遇到不等式有關(guān)問(wèn)題時(shí)，選擇哪一個(gè)方法證明是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵。不等式的證明涉及到代數(shù)，幾何，三角各方面知識(shí)綜合性較強(qiáng)，題型各樣，因此就練地不等式的基本證明方法是非常必要的不等式的證明方法靈活多變，枝巧性很強(qiáng)，一個(gè)題目解決的方法沒(méi)有固定模式。通過(guò)對(duì)不等式證明方法的總結(jié)，可以培養(yǎng)良好的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維能力。

參考文獻(xiàn)：