集合的含義與表示精選(九篇)

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第1篇：集合的含義與表示范文

一、遺忘空集和本身

例1.滿足M?哿{0，1，2}且M?哿{0，2，4}的集合M的個(gè)數(shù)有()。

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè) (D)4個(gè)

錯(cuò)解：由已知，M?哿{0，2}，用列舉法得M為{0}，{2}，{0，2}，故選（C）。

剖析：忽視了M=／，故應(yīng)選（D）。

點(diǎn)評(píng)：在集合部分，空集是一個(gè)特殊的集合，其定義為不含任何元素的集合，它的具體表現(xiàn)形式很多，可能是方程（組）無解，也可能是不等式（組）無解，或者為其他完全不存在的集合對(duì)象。課本上明確指出了它的很多性質(zhì)，如（1）／?哿A，其中A為任一集合，當(dāng)A非空時(shí)／?芴A；（2）／I A=／，

次考試，筆者都發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率很高。

二、忽視集合中元素的互異性

例5.設(shè)A={-1，a}，B={1，|a|}，若A∩B≠／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：|a|≠-1，由已知A∩B≠／|a|=aa≥0。

剖析：當(dāng)a=1時(shí)，B={1，1}和集合中元素的互異性發(fā)生矛盾，所以a的范圍應(yīng)為{a|a≥0且a≠1}，故本題應(yīng)考慮|a|≠1這一隱藏條件。

剖析：當(dāng)m=1時(shí)，A中有元素1重復(fù)，和互異性矛盾，應(yīng)舍去，m=-1。

剖析：本題C的值出現(xiàn)了增解，因?yàn)楫?dāng)C=1時(shí)，集合B出現(xiàn)了相同的元素，和互異性矛盾，故應(yīng)舍去，C=- 。

點(diǎn)評(píng)：集合中的元素有三大性質(zhì)：⑴確定性、⑵互異性、⑶無序性，其中的互異性在解題時(shí)最易被忽視，所以在已知兩個(gè)集合滿足某些條件，確定某些字母時(shí)要注意將所求得的結(jié)果代入檢驗(yàn)集合中有無重復(fù)元素。

三、不能正確理解集合中元素的形式和真正含義

例7.下列哪個(gè)集合不同于另外三個(gè)集合（ ）。

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生大部分選（A）、（B）或（D）。

剖析：事實(shí)上（A）、（B）、（D）都表示集合{1}，而（C）則表示的以“x=1”這個(gè)表達(dá)式為元素的集合，應(yīng)選（C）。

分析：上述五小題出錯(cuò)率都很高，應(yīng)分別選（D），（C），（D），（D），（C），究其原因主要是完全曲解了這些集合中元素的表示形式及真正含義，它們有時(shí)表示定義域，有時(shí)為值域，有時(shí)表示點(diǎn)集，只有認(rèn)真審題，了解元素的真正含義，才能立于不敗之地。

點(diǎn)評(píng)：集合有多種表示方法，如列舉法，描述法，圖示法等。描述法{x|x具有性質(zhì)p}用得最多，我們稱之為代表元素描述法，它被廣泛應(yīng)用于方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等的表示，學(xué)生往往只留意表示方法中豎線右邊的內(nèi)容，而忽視其左邊的內(nèi)容，造成對(duì)集合中元素的真正含義模糊不清，解題時(shí)屢屢犯錯(cuò)，常見錯(cuò)誤有{x＞2}=

四、對(duì)“／”、“∈”、“?哿”、“ ?芴 ”、“∩”等符號(hào)不能正確識(shí)記

點(diǎn)評(píng)：本題錯(cuò)誤率很高，正確答案為（B），只有關(guān)系式②是正確的，“∈”表示集合和元素之間的關(guān)系，“?哿”表示集合與集合之間的關(guān)系，值得注意的是一個(gè)集合可以一個(gè)元素的形式出現(xiàn)在另一個(gè)集合中，此時(shí)它們即為元素和集合之間的關(guān)系，如②和③，對(duì)⑤來說，（1，1）并非集合{y|y=x -2x+2，x∈R}的元素，另外我們還應(yīng)注意符號(hào)“?芴”不包括相等這種情況，因此①當(dāng)A=／時(shí)出現(xiàn)了問題。

例10.若A、B、C為三個(gè)集合，A∪B=B∩C，則一定有（ ）。

（A）A?哿C （B）C?哿A （C）A≠C （D）A=／

錯(cuò)解：筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生選（A）、（B）、（C）或（D）均有。

剖析：學(xué)生不能正確理解集合中符號(hào)“∩，∪，?哿，∈”的含義。方法一：利用定義轉(zhuǎn)化抽象的符號(hào)語言，設(shè)任意元素x∈A或x∈B，A∪B=B∩C x∈B且x∈C，A?哿C，選（A）。方法二：利用A∪B，B∩C的等價(jià)的圖形語言轉(zhuǎn)化抽象的符號(hào)語言。

五、區(qū)間端點(diǎn)取舍模糊不清

（1）若A?芴B，求a的取值范圍；

（2）若A∩B=B，求a的取值范圍；

（3）若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值。

分析：在考試中發(fā)現(xiàn)學(xué)生答案較多，如在解（2）時(shí)，至少會(huì)出現(xiàn)1＜a＜2，1≤a＜2，1＜a≤2，1≤a≤2四種答案，（1）和（3）亦存在類似問題，我們歸納起來發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤的共同特征是區(qū)間端點(diǎn)問題。解答這類問題的方法是借助數(shù)軸求解，首先要特別注意已知集合是否包括區(qū)間的端點(diǎn)，如本題集合B改為B={x| x -（a+1）x+a＜0}其答案又都發(fā)生變化，本題正確答案依次為（1）a＞2（2）1≤a≤2（3）a≤1，筆者據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為對(duì)區(qū)間端點(diǎn)如a=1和a=2代入集合B={1}和B={x|1≤x≤2}，由此易得區(qū)間端點(diǎn)是否滿足題意。

例12.已知集合A={ x|-2≤x≤4}，B={ x|x＞a}。

（1）若A∩B≠／，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若A∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若A∩B≠／，且A∩B≠A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本題所揭示問題和上題類似，讀者不妨一試，能否得如下答案：（1）a＜4、（2）a＜-2、（3）-2≤a＜4，將本題中集合A改為A={ x|-2＜x＜4}，答案有何變化？集合B改為B={x|x≥a}，答案又如何？

總之，集合的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位十分重要，且應(yīng)用非常廣泛，被高考列入必考內(nèi)容。我們應(yīng)高度重視，對(duì)其概念能夠透徹理解，減少考試中的不必要的失分。

第2篇：集合的含義與表示范文

一、說教材

集合思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想。從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其實(shí)就已經(jīng)在運(yùn)用集合的思想了，例如：把1個(gè)人、2朵花、3支鉛筆等用一條封閉的曲線圈起來表示。又如，學(xué)生學(xué)習(xí)過的分類思想和方法實(shí)際上就是集合理論的基礎(chǔ)。但是，學(xué)生只是對(duì)集合有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，但還沒有抽象成集合的思想，以前所接觸到的也只是單獨(dú)的一個(gè)個(gè)集合圖，而本節(jié)課所要用到的含有重復(fù)部分的集合圖，學(xué)生并沒有接觸過。

教材例1編排的意圖是借助學(xué)生熟悉的題材，通過統(tǒng)計(jì)表的方式列出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的學(xué)生名單，而總?cè)藬?shù)并不是這兩個(gè)小組的人數(shù)之和，從而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀圖（即韋恩圖）把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來，從而滲透集合的有關(guān)思想，幫助學(xué)生找到解決問題的辦法。當(dāng)然，針對(duì)三年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，思維力度較強(qiáng)，有一定的挑戰(zhàn)性。因此教材只是讓學(xué)生通過生活中容易理解的題材去初步體會(huì)集合思想，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了。

基于以上思考，我設(shè)定以下教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：經(jīng)歷韋恩圖的產(chǎn)生過程，初步體會(huì)集合思想，理解“韋恩圖”中各部分表示的意義，并能用數(shù)學(xué)語言表述，會(huì)利用集合思想解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

過程與方法：在觀察、猜測(cè)、操作、比較、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)集合思想，會(huì)借助集合思想解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法解決問題的意識(shí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：利用生活事例讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，進(jìn)一步樹立學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

根據(jù)學(xué)情分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解“韋恩圖”中各部分表示的含義，并能用數(shù)學(xué)語言表述，會(huì)利用集合思想解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)重復(fù)部分的理解。

評(píng)析：數(shù)學(xué)廣角是人教版教材中的一大亮點(diǎn)。教師在教學(xué)數(shù)學(xué)廣角“重疊問題”時(shí)，善于根據(jù)教材和編者意圖，著力讓學(xué)生真正體驗(yàn)和感悟數(shù)學(xué)思想方法――“集合”，并有具體的活動(dòng)目標(biāo)、重點(diǎn)。

二、說教法與學(xué)法

本課教學(xué)我采取“先學(xué)后教，以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)”的教學(xué)策略，讓學(xué)生充分自學(xué)、嘗試、探究、交流、展示，讓他們?cè)诓乱徊?、說一說、畫一畫、算一算等一系列活動(dòng)來理解重疊的含義，并能用學(xué)到的知識(shí)解決生活中的問題。

評(píng)析：教師在教法、學(xué)法上，將數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上，沒有讓學(xué)習(xí)活動(dòng)單純模仿與記憶，而是讓動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流，以生為本，讓課堂動(dòng)態(tài)生成。

三、說教學(xué)過程

為了更好地突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，達(dá)到已定教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)了以下四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，初步感悟。

“施教之功，貴在引路，妙在開竅?！币_啟學(xué)生通竅之門，就要讓學(xué)生先學(xué)，然后依據(jù)先學(xué)中暴露出來的問題實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教。

首先，我根據(jù)即將到來的“六一”兒童節(jié)創(chuàng)設(shè)問題情境出示一份通知，讓學(xué)生收集了解信息。然后提問：“根據(jù)要求，每個(gè)班一共要選多少人參加這兩項(xiàng)比賽？”絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)根據(jù)以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為需要17人。這時(shí)，教師反問“一定是17人嗎？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考其他可能性，教師順勢(shì)出示參賽名單。隨著參賽名單實(shí)時(shí)呈現(xiàn)，學(xué)生的腦海里會(huì)躍出一個(gè)大大的問號(hào)――過去求總數(shù)就是直接把各部分的數(shù)量加起來的呀，怎么在這里行不通了呢？通過仔細(xì)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)之前脫口而出的答案錯(cuò)誤了，因?yàn)椤坝兄貜?fù)參加項(xiàng)目的”，從而自然地引出本節(jié)課的課題“重疊問題”。

評(píng)析：學(xué)生是在思維活動(dòng)中學(xué)會(huì)思維的。通過學(xué)生自學(xué)與嘗試，暴露的問題是：過去用部分?jǐn)?shù)相加就能求出總數(shù)的方法解決不了今天的新問題。問題激起學(xué)生強(qiáng)烈認(rèn)知沖突，研究“重疊問題”變成學(xué)生源自內(nèi)心的學(xué)習(xí)需求。

第二環(huán)節(jié)：合作探究，逐步領(lǐng)悟。

本環(huán)節(jié)中，我大膽放手，適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生合作交流，將時(shí)間和空間交給學(xué)生，讓每個(gè)學(xué)生都參與到活動(dòng)中來。本環(huán)節(jié)我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)教學(xué)活動(dòng)。

1.提出問題，明確要求

首先我讓學(xué)生繼續(xù)觀察表格：既參加書法又參加繪畫的是哪幾人？只參加書法比賽的是哪幾人？只參加繪畫比賽的是哪幾人？引導(dǎo)學(xué)生思考：這些信息，可不可以用圖表示出來？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造，自主構(gòu)建韋恩圖的雛形。

2.獨(dú)立探究，自主實(shí)踐

問題的提出，如一石激起千層浪，激發(fā)了學(xué)生挑戰(zhàn)新問題的欲望，此時(shí)，我讓學(xué)生靜靜思考，然后再嘗試擺一擺。學(xué)生自主活動(dòng)的同時(shí)，我深入到學(xué)生之中，仔細(xì)收集和分析學(xué)生的方法，以便后面的教學(xué)中能以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)。

3.合作交流，自主展示

通過學(xué)生獨(dú)立嘗試、探究，此時(shí)學(xué)生對(duì)問題的解決有了一定的思考，還可能出現(xiàn)了多種不同的解決問題的策略。特別是對(duì)于兩項(xiàng)比賽都參加的3名同學(xué)，因?yàn)槊种挥幸粋€(gè)，所以在擺的過程中必然會(huì)產(chǎn)生矛盾沖突：這幾個(gè)名字究竟是任意貼在其中一個(gè)圈中，還是擺在中間？此時(shí)我因勢(shì)利導(dǎo)，安排了兩個(gè)層次的交流展示。（1）組內(nèi)交流。組內(nèi)四人，通過交流，形成一致的擺法。（2）小組展示。組內(nèi)交流完成后，請(qǐng)進(jìn)入全班展示的環(huán)節(jié)。在小組展示的過程中，建議展示的學(xué)生除了展示自己小組的擺法和想法，還要詢問其他同學(xué)對(duì)本組擺法的看法和意見。此時(shí)，也要要求其余學(xué)生對(duì)其展示的擺法做出評(píng)價(jià)，提出問題。在這樣“詢問―回應(yīng)―再詢問―再回應(yīng)”的過程中，教師適時(shí)參與其中，生生之間，師生之間，相互啟迪，思維的火花得到了碰撞，對(duì)韋恩圖的認(rèn)知也逐步走向深入，最終完成韋恩圖的創(chuàng)作。此時(shí)順勢(shì)介紹韋恩圖的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生深深感受數(shù)學(xué)文化，以及隱藏在文化背后的數(shù)學(xué)思想。

4.再次感知，深化理解

在揭示韋恩圖的名稱之后，我要求學(xué)生用數(shù)學(xué)化的語言描述韋恩圖各部分的含義，在學(xué)生描述交流的過程中，教師完善板書：紅色的圈表示參加書法比賽的同學(xué)，藍(lán)色的圈表示參加繪畫比賽的同學(xué)，兩個(gè)圈中間重疊的部分恰好可以表示“既參加了書法比賽又參加了繪畫比賽的同學(xué)”，左邊的月牙形表示“只參加了書法比賽的同學(xué)”，右邊的月牙形表示“只參加了繪畫比賽”的同學(xué)。讓學(xué)生在小組內(nèi)再互相指一指、說一說，最后通過多媒體課件的光、色等多種信息渠道進(jìn)一步明確韋恩圖各部分的含義。

5.抽象概括，完善認(rèn)知

在學(xué)生明確了韋恩圖各部分的含義之后，讓學(xué)生根據(jù)韋恩圖列算式解決三（1）班一共有多少人參加了這兩項(xiàng)比賽的問題。再在組內(nèi)和全班交流自己的方法。由于學(xué)生思考問題的角度不同，必然會(huì)有不同的解決問題的策略。而教師對(duì)于學(xué)生提出的多種方法，都予以及時(shí)的評(píng)價(jià)和肯定。對(duì)于算式中每個(gè)數(shù)字表示的含義，也讓學(xué)生講清講透，如對(duì)于8+9-3=14（人）一一對(duì)應(yīng)板書中的信息和問題，讓學(xué)生說說為什么減“3”。這樣做一方面是讓學(xué)生感受到韋恩圖能很好地幫助理清思路，找到解決問題的方法。另一方面通過學(xué)生個(gè)性化的解讀，使知識(shí)到位到每個(gè)人，讓孩子們感受到解決問題的多樣性。

評(píng)析：整個(gè)新授課環(huán)節(jié)，教師從學(xué)生的自學(xué)開始，先嘗試后內(nèi)化，先自主再交流，教師則在學(xué)生自學(xué)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生展開合作、交流，有針對(duì)性地點(diǎn)撥，充分開發(fā)學(xué)生潛能，充分激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性、創(chuàng)造性。

第三環(huán)節(jié)：反饋應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)深悟。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，我安排了以下幾個(gè)層次的練習(xí)。

1.基本練習(xí)：動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)（出示110頁第1題）

第一題是練十四的第一題，本題是在學(xué)生有利用集合的思想方法解決簡(jiǎn)單問題經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生辨析集合圖的含義，完成對(duì)一些動(dòng)物的分類并填寫。最后我添加了一個(gè)問題：“大伙正在為自己報(bào)了拿手的項(xiàng)目而高興時(shí)，有一種動(dòng)物11號(hào)（小兔）卻在圈外垂頭喪氣。這是為什么呢？”相信學(xué)生能夠說出因?yàn)樗炔粫?huì)游泳又不會(huì)飛。這樣順利把集合圖由圈內(nèi)引向了圈外，將學(xué)生的視野拓展開來。

2.綜合練習(xí)：文具店開業(yè)（出示110頁第2題）

第二題是練十四的第二題，文具店昨天與今天進(jìn)的貨有重復(fù)的，要求學(xué)生列式計(jì)算兩天一共進(jìn)了多少種貨。本題給學(xué)生提供再次感知、認(rèn)識(shí)集合的思想方法的機(jī)會(huì)，加深對(duì)相應(yīng)集合思想方法的體驗(yàn)。解決問題中，放手讓學(xué)生用自己喜歡的方式，有效落實(shí)問題策略多樣性的改革理念，提高學(xué)生解題的靈活性。

3.拓展練習(xí)

在課開始，對(duì)于每個(gè)班要選多少人參加比賽，很多學(xué)生脫口而出的答案是17人，后來通過觀察三（1）班參賽名單，發(fā)現(xiàn)有人重復(fù)了，實(shí)際只有14人?，F(xiàn)在再回頭看這個(gè)問題，三（1）班是14人，那其他班級(jí)呢？在這里我通過判斷小明和小軍的結(jié)論再次引起學(xué)生思考，小組交流得出“每班參賽的同學(xué)最多是17人，最少是8人”。這樣在課始問題基礎(chǔ)上做出縱向和橫向的自然延伸，使學(xué)生對(duì)“重疊問題”的理解更具深度與廣度。

評(píng)析：練習(xí)是學(xué)生掌握知識(shí)、形成技能和能力、發(fā)展智力的重要方法，也是課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。通過不同層次的練習(xí)鞏固強(qiáng)化所學(xué)知識(shí)，拓展學(xué)生的思維空間，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

第四環(huán)節(jié)：提煉升華，延伸回悟。

這是本節(jié)課的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，首先讓學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談體會(huì)和收獲。同時(shí)詢問“關(guān)于韋恩圖和重疊問題，你還有新的問題嗎？老師更喜歡那些在解決了問題之后還能提出新問題的同學(xué)！”這樣一方面在最后給學(xué)生回憶梳理全課知識(shí)的時(shí)間，另一方面鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出新問題。

最后老師再出示以下表格并提問學(xué)生：從這份名單中你發(fā)現(xiàn)了什么？怎么用韋恩圖來表示這三個(gè)小組的重疊問題呢？有興趣的同學(xué)可以課后繼續(xù)研究。這樣做是讓學(xué)生帶著問號(hào)進(jìn)入課堂展開學(xué)習(xí)，又帶著問號(hào)走出課堂繼續(xù)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)海洋的無窮奧秘。

評(píng)析：學(xué)生自己總結(jié)、提煉，梳理思想，明晰方法。讓學(xué)生滋生新疑，是學(xué)習(xí)深入、理解深刻的體現(xiàn)，是繼續(xù)深化學(xué)習(xí)、向更多領(lǐng)域拓展學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

總評(píng)：本說課設(shè)計(jì)立足教材，超越教材，采取大版塊、大線條，采用學(xué)生自由的學(xué)習(xí)形式，以學(xué)定教，順學(xué)而導(dǎo)。在開放性的課堂里，學(xué)生有充分的學(xué)習(xí)時(shí)空，大膽質(zhì)疑，廣泛交流，充分討論，通過不同的角度、形式獲得知識(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，汲取自己最需要的知識(shí)，鍛煉自己新的思維。學(xué)生智慧的生成，讓課堂更具蓬勃生命活力。

第3篇：集合的含義與表示范文

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)挖掘；關(guān)聯(lián)規(guī)則；Apriori算法；購(gòu)物籃分析；頻繁項(xiàng)集

中圖分類號(hào)：TP391.4

先從著名的啤酒與尿布的案例說起。美國(guó)某零售業(yè)企業(yè)對(duì)過去的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，意外發(fā)現(xiàn)很多購(gòu)買尿布的顧客會(huì)購(gòu)買啤酒。這樣的結(jié)論按平常的思維根本不能解釋，經(jīng)過仔細(xì)調(diào)查，商家發(fā)現(xiàn)了潛在的秘密：美國(guó)的媽媽們習(xí)慣將購(gòu)買尿布的任務(wù)交給下班后的小孩爸爸，其中有一些爸爸在買完尿布之后再去購(gòu)買自己喜歡的啤酒，啤酒與尿布兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的事物就這樣聯(lián)系了起來。得到這一結(jié)論后，這家企業(yè)立即采取行動(dòng)，將啤酒與尿布放在距離相近的位置，大大提高了銷售額。由此，誕生了購(gòu)物籃分析（Market Basket Analysis）方法，衍生到數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域稱之為關(guān)聯(lián)規(guī)則（Association Rules）。關(guān)聯(lián)規(guī)則揭示了事物之間的相互依存性和關(guān)聯(lián)性。關(guān)聯(lián)規(guī)則在當(dāng)今生活中應(yīng)用十分廣泛，如電商根據(jù)顧客近期的消費(fèi)記錄向顧客推送相似商品的廣告信息，60%購(gòu)買了牛奶的顧客會(huì)購(gòu)買面包等。

1 關(guān)聯(lián)規(guī)則概述

1.1 規(guī)則與關(guān)聯(lián)規(guī)則

形如“如果…那么…”，通過條件得到結(jié)果，就是一項(xiàng)規(guī)則。關(guān)聯(lián)規(guī)則可以用蘊(yùn)含式：R：X Y表示，度量一項(xiàng)規(guī)則是否夠好有兩個(gè)指標(biāo)：置信度（Confidence）和支持度（Support）。

1.2 置信度和支持度

置信度：表示一條規(guī)則值得信賴的程度。如果A表示條件，B表示結(jié)果，則置信度的數(shù)學(xué)表示為Confidence（A―>B）=P（B|A），其含義是在條件A發(fā)生的情況中同時(shí)條件B發(fā)生的概率。

支持度：表示在總體情況下當(dāng)前情況發(fā)生的概率。如果A、B均表示一種可能發(fā)生的情況，則支持度數(shù)學(xué)表示為Support（A―>B）=P（AB），其含義是A、B同時(shí)發(fā)生的概率。

1.3 關(guān)聯(lián)規(guī)則的相關(guān)概念

項(xiàng)目（Item）：集合I={k1，k2，…，kn}中每一個(gè)kn（n=1，2，…，n）叫做一個(gè)項(xiàng)目。集合I叫做項(xiàng)集（Itemset）。集合中元素個(gè)數(shù)為k的項(xiàng)集叫做k-項(xiàng)集（k-Itemset）。

交易（Transaction）：集合I的子集構(gòu)成的集合稱為交易，記為T，T I。每一筆交易有自己唯一的編號(hào)，即交易號(hào)TID。若干交易構(gòu)成的集合D稱為交易集D，交易集D中包含的交易個(gè)數(shù)記為count（D）。

項(xiàng)集支持度：對(duì)于規(guī)則X Y，Support（X Y）=count（X∪Y）/count（D），X、Y I，支持度的含義就是含X、Y的交易數(shù)與總交易數(shù)之比。

項(xiàng)集置信度：Confidence（X Y）=Support（X Y）/Support（X），置信度的含義是包含X、Y的交易與包含X的交易之比。支持度與置信度刻畫了用戶興趣程度，一般來說，兩者都高表示用戶對(duì)其興趣越高。

1.4 最小支持度與頻繁項(xiàng)集

關(guān)聯(lián)規(guī)則作用的集合必須滿足一個(gè)最小支持閾值，即存在最小支持度（Minimum Support）。所有項(xiàng)的支持度均大于等于最小支持度的集合，稱之為頻繁項(xiàng)集（Frequent Itemset）。同樣也存在一個(gè)最小置信度（Minimum Confidence）。最小支持度與最小置信度用來衡量關(guān)聯(lián)規(guī)則的最低可靠程度。

1.5 強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則

滿足支持度大于等于最小支持度，置信度大于等于最小置信度的關(guān)聯(lián)規(guī)則稱之為強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則（Strong Rules）。反之，稱為弱關(guān)聯(lián)規(guī)則。

2 Apriori算法的實(shí)現(xiàn)

Apriori算法是一種生成關(guān)聯(lián)規(guī)則的頻繁項(xiàng)集挖掘經(jīng)典算法，利用該算法，可以找到項(xiàng)之間關(guān)系。Apriori算法有兩個(gè)重要的性質(zhì)：

（1）頻繁項(xiàng)集的子集一定是頻繁項(xiàng)集。

（2）非頻繁項(xiàng)集的超集一定是非頻繁項(xiàng)集。

Apriori算法挖掘的步驟：

（1）掃描數(shù)據(jù)庫，算出初始項(xiàng)集K1各個(gè)項(xiàng)的支持度，即1-項(xiàng)集的支持度，通過最小支持度篩選得到1-項(xiàng)集的頻繁集，記為Q1。

（2）掃描數(shù)據(jù)庫，通過Q1中項(xiàng)與項(xiàng)之間連接∞得到備選項(xiàng)集K2，K2是2-項(xiàng)集。

（3）通過最小支持度篩選K2得到頻繁集Q2，即將K2中不滿足最小支持度的項(xiàng)舍去得到Q2。

（4）通過Q2以（2）中的方法計(jì)算出K3，通過K3以（3）中的方法計(jì)算出Q4，繼續(xù)掃描數(shù)據(jù)庫，用（2）（3）中方法繼續(xù)計(jì)算更高層次的頻繁項(xiàng)集，（2）中使用的的方法叫做連接（Join），（3）中使用的方法叫做剪枝（Prune），重復(fù)步驟連接、剪枝，直到不再產(chǎn)生新的項(xiàng)集為止。例：

K1={k1，k2，k3，k4，k5}，最小支持度Supmin=45%，最小置信度Conmin=45%

（1）計(jì)算k1各項(xiàng)支持度：sup{k1}=50%，sup{k2}=75%，sup{k3}=75%，sup{k4}=25%，sup{k5}=75%。

sup（k4）

（2）Q1中項(xiàng)與項(xiàng)之間做連接 ：K2={{k1，k2}，{k1，k3}，{k1，k5}，{k2，k3}，{k2，k5}，{k3，k5}}。

（3）計(jì)算K2各項(xiàng)支持度，得到sup{k1，k2}

（4）循環(huán)（2）（3）中步驟，最終得到頻繁項(xiàng)集{k2，k3，k5}。通過{k2，k3，k5}的非空子集和最小置信度即可產(chǎn)生強(qiáng)關(guān)聯(lián)規(guī)則。

3 Apriori算法的不足

Apriori算法存在一個(gè)很嚴(yán)重的問題是效率低。因?yàn)锳priori算法是從1-項(xiàng)集開始逐層計(jì)算得到最大項(xiàng)集的，從k-項(xiàng)集通過連接、剪枝到k+1項(xiàng)集需要掃描一次數(shù)據(jù)庫，如果項(xiàng)集中項(xiàng)數(shù)越多，則掃描次數(shù)越多。比如：項(xiàng)集中含10個(gè)項(xiàng)，則要掃描數(shù)據(jù)庫10次，I/O負(fù)載特別大。針對(duì)它的不足，Jiawei Han等人提出了FP-growth算法，也有人研究出一些改進(jìn)算法，大大提高了算法的效率。

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第4篇：集合的含義與表示范文

依據(jù)教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和福建省教育廳頒布的《福建省普通高中新課程數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)實(shí)施指導(dǎo)意見（試行）》、《福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會(huì)考方案（試行）》、《2018年福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)基礎(chǔ)會(huì)考數(shù)學(xué)學(xué)科考試大綱（試行）》，并結(jié)合我省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)實(shí)際情況進(jìn)行命題.

二、命題原則

1．導(dǎo)向性原則.面向全體學(xué)生，有利于促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、健康的發(fā)展，有利于中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科新課程理念，充分發(fā)揮基礎(chǔ)會(huì)考對(duì)普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的正確導(dǎo)向作用.

2．基礎(chǔ)性原則.突出學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，注重學(xué)科基本思想和方法，考查初步應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力，試題難易適當(dāng)，不出偏題和怪題.

3．科學(xué)性原則.試題設(shè)計(jì)必須與考試大綱要求相一致，具有較高的信度、效度.試卷結(jié)構(gòu)合理，試題內(nèi)容科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，試題文字簡(jiǎn)潔、規(guī)范，試題答案準(zhǔn)確、合理.

4．實(shí)踐性原則.堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際，試題背景應(yīng)來自學(xué)生所能理解的生活現(xiàn)實(shí)，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用及其與社會(huì)的聯(lián)系.

5．公平性原則.試題的考查內(nèi)容、素材選取、試卷形式對(duì)每個(gè)學(xué)生而言要體現(xiàn)公平性，制定合理的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，尊重不同的解答方式和表現(xiàn)形式.

三、考試目標(biāo)與要求

高中畢業(yè)會(huì)考數(shù)學(xué)科考試的主要考查方面包括：中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法.

1．知識(shí)

知識(shí)是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中所規(guī)定的必修課程中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理.

基本技能包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等.

對(duì)知識(shí)的要求依次是了解、理解、掌握三個(gè)層次.

（1）了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有初步的、感性的認(rèn)識(shí)，知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么，能按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會(huì)）在有關(guān)的問題中識(shí)別和認(rèn)識(shí)它.

這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有了解，知道，識(shí)別，模仿等.

（2）理解：要求對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，知道知識(shí)間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R(shí)作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠利用所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容對(duì)有關(guān)問題進(jìn)行比較、判別、討論，具備利用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題的能力.

這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：理解，描述，說明，表達(dá)，推測(cè)，想像，比較，判別，會(huì)求，會(huì)解，初步應(yīng)用等.

（3）掌握：要求能夠?qū)λ械闹R(shí)內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)、證明，能夠利用所學(xué)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決.

這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：掌握，導(dǎo)出，分析，推導(dǎo)，證明，研究，討論，選擇，決策，運(yùn)用、解決問題等.

2．能力

能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

（1）空間想象能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合與變形；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì).

（2）抽象概括能力：對(duì)具體的實(shí)例，通過抽象概括，能發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)屬性；并從給定的信息材料中，概括出一般性結(jié)論，同時(shí)能將其用于解決問題或作出新的判斷.

（3）推理論證能力：推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.應(yīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜想，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明.會(huì)根據(jù)已知的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性.

（4）運(yùn)算求解能力：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求借助計(jì)算器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.

（5）數(shù)據(jù)處理能力：會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定實(shí)際問題.

（6）應(yīng)用意識(shí)：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題；能理解問題陳述的材料，并對(duì)所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題進(jìn)而加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決.

（7）創(chuàng)新意識(shí)：對(duì)新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.

3．?dāng)?shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，主要考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、必然與或然思想等.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握程度.考查時(shí)，要從學(xué)科整體意義上考慮，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.

4．個(gè)性品質(zhì)

個(gè)性品質(zhì)是指學(xué)生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎思維的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.

四、考試內(nèi)容

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的五個(gè)必修模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容.具體分述如下：

（一）集合

1.集合的含義與表示

了解集合的含義，了解元素與集合的關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述具體問題.

2.集合間的基本關(guān)系

理解集合之間包含與相等的含義；了解全集、子集、空集的含義.

3．集合的基本運(yùn)算

理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；理解補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；會(huì)用Venn圖表達(dá)兩個(gè)簡(jiǎn)單集合間的關(guān)系及運(yùn)算.

（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）

1.函數(shù)

了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過三段）；理解函數(shù)的單調(diào)性、（?。┲导捌鋷缀我饬x；了解函數(shù)奇偶性的含義；會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).

2．指數(shù)函數(shù)

理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算及性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2、3、10、 、 的指數(shù)函數(shù)的圖象；知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

3. 對(duì)數(shù)函數(shù)

理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用；理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2、10、 的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象；知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，知道指數(shù)函數(shù) （ > 0,且 ≠1） 與對(duì)數(shù)函數(shù) （ > 0,且 ≠1）互為反函數(shù).

4. 冪函數(shù)

了解冪函數(shù)的概念；了解冪函數(shù)y= ,y= 2,y= 3, , 的圖象的變化情況.

5．函數(shù)與方程

了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)；會(huì)用二分法求某些方程的近似解.

6.函數(shù)模型及其應(yīng)用

了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義；了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.

（三）立體幾何初步

1.空間幾何體

了解柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,會(huì)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)；能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三圖視與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.

2. 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，會(huì)用以下公理和定理進(jìn)行推理：

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.

理解以下判定定理，并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題：

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.

掌握以下性質(zhì)定理并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題：

一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.

兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行.

垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

（四）平面解析幾何初步

1．直線與方程

掌握確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；掌握直線方程的三種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離.

2．圓與方程

掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題；了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.

3．空間直角坐標(biāo)系

了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置；會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離.

（五）算法初步

1.算法的含義、程序框圖

了解算法的含義，了解算法的思想；理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán).

2. 基本算法語句

了解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義.

3．算法案例

了解秦九韶算法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)等算法案例.

（六）統(tǒng)計(jì)

1. 隨機(jī)抽樣

理解隨機(jī)抽樣；會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.

2. 用樣本估計(jì)總體

了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，了解他們各自的特點(diǎn)；理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差（不要求記憶公式）；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解樣本估計(jì)總體的思想；會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

3. 變量的相關(guān)性

會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）.

（七）概率

1. 事件與概率

了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別；了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

2．古典概型

理解古典概型及概率計(jì)算公式；會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件的基本事件數(shù)及其發(fā)生的概率.

3．隨機(jī)數(shù)與幾何概型

了解隨機(jī)數(shù)的意義，了解幾何概型的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.

（八）基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）

1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制的概念；能進(jìn)行弧度與角度的互化.

2．三角函數(shù)

理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；能用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式及 的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；能畫出 ， ， 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)（如單調(diào)性、值和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等），理解正切函數(shù)在（ ）上的單調(diào)性；理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： ， ；了解函數(shù) 的物理意義，了解函數(shù) 中參數(shù)A， ， 對(duì)函數(shù)圖象變化的影響；會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.

（九）平面向量

1．平面向量的實(shí)際背景及基本概念

了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量概念和兩個(gè)向量相等的含義；理解向量的幾何表示.

2．向量的線性運(yùn)算

掌握向量加、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

3．平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

4．平面向量的數(shù)量積

理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；會(huì)運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

5．向量的應(yīng)用

會(huì)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的平面幾何問題；會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

（十）三角恒等變換

1．兩角和與差的三角函數(shù)公式

會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

2．簡(jiǎn)單的三角恒等變換

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.

（十一）解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

2．正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.

（十二）數(shù)列

1．?dāng)?shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法

了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；知道數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù).

2．等差數(shù)列、等比數(shù)列

理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能判斷數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

（十三）不等式

1．不等關(guān)系與一元二次不等式

了解不等式（組）的實(shí)際背景，會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；會(huì)解一元二次不等式.

2．二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題

會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.

3．基本不等式： （ ）

了解基本不等式的證明過程；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的（?。┲祮栴}.

五、考試形式

考試采用閉卷筆試的形式，全卷100分，考試時(shí)間90分鐘.考試不使用計(jì)算器．

六、試卷結(jié)構(gòu)

第5篇：集合的含義與表示范文

一、會(huì)計(jì)主體理論評(píng)述

對(duì)所有者權(quán)益性質(zhì)的認(rèn)定依賴于人們對(duì)會(huì)計(jì)主體性質(zhì)的認(rèn)定。迄今為止，所有者權(quán)益并沒有一個(gè)統(tǒng)一的定義，現(xiàn)有的定義也并沒有揭示所有者權(quán)益的本質(zhì)，其根源在于人們對(duì)會(huì)計(jì)主體性質(zhì)認(rèn)識(shí)的差異。

(一)所有權(quán)理論評(píng)述所有權(quán)理論的基本出發(fā)點(diǎn)是“股東是企業(yè)的所有者”，“股東擁有企業(yè)的所有權(quán)”。所有權(quán)理論認(rèn)為，所有者擁有資產(chǎn)和負(fù)債，資產(chǎn)是所有者所擁有的權(quán)利，而負(fù)債是所有者所承擔(dān)的義務(wù)，權(quán)利減去負(fù)債后的凈額便是所有者權(quán)益。所有權(quán)理論的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)一負(fù)債=所有者權(quán)益，其所對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表則為報(bào)告式。

所有權(quán)理論的主要目標(biāo)就是確定和分析所有者的凈財(cái)富，也就是所有權(quán)的價(jià)值。嚴(yán)格的所有權(quán)理論進(jìn)一步認(rèn)為，負(fù)債為“負(fù)資產(chǎn)”，“資產(chǎn)一負(fù)債”就是企業(yè)的凈資產(chǎn)，而所有者權(quán)益就成為“凈資產(chǎn)”。美國(guó)財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)概念公告第6號(hào)《財(cái)務(wù)報(bào)表的各種要素》對(duì)所有者權(quán)益的定義是：“所有者權(quán)益或凈資產(chǎn)是某一個(gè)主體的資產(chǎn)扣除其負(fù)債的剩余部分”，這里將所有者權(quán)益等同于凈資產(chǎn)，可見美國(guó)財(cái)務(wù)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則概念公告對(duì)所有者權(quán)益的定義的依據(jù)正是所有權(quán)理論。

一般認(rèn)為，所有權(quán)理論只適用于獨(dú)資和合伙這類不公開募股的公司，并不適用于公眾公司。除了股東之外，企業(yè)還有許多利益相關(guān)者，如債權(quán)人、職工、社區(qū)居民、政府等，這些利益相關(guān)者也擁有對(duì)企業(yè)的特定權(quán)益，企業(yè)主體理論正是對(duì)這種現(xiàn)實(shí)的反映。另外，企業(yè)的剩余索取權(quán)并不總是歸股東所有，在某些特定情況下(如企業(yè)經(jīng)營(yíng)不善導(dǎo)致資不抵債)企業(yè)的所有權(quán)將被債權(quán)人接收，剩余權(quán)益理論正是對(duì)這種現(xiàn)實(shí)的反映。

所有權(quán)理論將負(fù)債抽象為“負(fù)資產(chǎn)”，實(shí)質(zhì)上將負(fù)債的義務(wù)屬性抽象掉了，負(fù)債不再是一個(gè)獨(dú)立的會(huì)計(jì)要素，而成為特定類別的“資產(chǎn)”；所有者權(quán)益的所有權(quán)屬性也被抽象掉了，而成為“凈資產(chǎn)”，成為總資產(chǎn)的一個(gè)部分，所有權(quán)理論實(shí)質(zhì)上否定了所有權(quán)的存在，與其基本的出發(fā)點(diǎn)相矛盾。按照所有權(quán)理論編制的資產(chǎn)負(fù)債表所提供的信息只是有關(guān)資產(chǎn)、負(fù)資產(chǎn)和凈資產(chǎn)的信息，降低了資產(chǎn)負(fù)債表的信息含量，這是所有權(quán)理論最致命的缺陷。

(二)企業(yè)主體理論評(píng)述企業(yè)主體理論認(rèn)為應(yīng)將企業(yè)主體與所有者和其他利益相關(guān)者分離開來，企業(yè)主體是有別于供資者的一個(gè)主體，將企業(yè)視為具有獨(dú)立人格的獨(dú)立主體，這也是被法律和制度認(rèn)可的事實(shí)。企業(yè)主體擁有企業(yè)的資源，負(fù)有向所有者和債權(quán)人支付的義務(wù)。相應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)=權(quán)益，或者，資產(chǎn)：負(fù)債十所有者權(quán)益。在這一等式中，負(fù)債和所有者權(quán)益被置于相同的地位，都是企業(yè)資產(chǎn)的來源，其區(qū)別僅在于，債權(quán)人的權(quán)益不受其他計(jì)價(jià)項(xiàng)目的影響，而所有者權(quán)益則是一種剩余權(quán)益，或者說，負(fù)債是企業(yè)的特定義務(wù)，而剩余部分則是歸屬于所有者的權(quán)益。

企業(yè)主體理論將“資產(chǎn)”定義為歸屬于企業(yè)主體的權(quán)利，“權(quán)益”定義為資產(chǎn)的來源，所有者權(quán)益則是權(quán)益扣除負(fù)債后的剩余權(quán)益。企業(yè)主體理論的缺陷在于對(duì)“權(quán)益”的定義。毫無疑問，企業(yè)的資產(chǎn)主要來源于債權(quán)人和所有者，會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)核算的負(fù)債和所有者權(quán)益也主要是債權(quán)人和所有者向企業(yè)投入資源形成的，但企業(yè)在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)過程中會(huì)形成新的資產(chǎn)(主要體現(xiàn)為資產(chǎn)價(jià)值的增加)，這也是企業(yè)存在的根本目的，這部分資產(chǎn)并不是來源于債權(quán)人和所有者的投入，這說明會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)核算的權(quán)益并不全是“資產(chǎn)的來源”。另外，有許多權(quán)益項(xiàng)目的形成也并不是“資產(chǎn)的來源”，如，“應(yīng)計(jì)利息”產(chǎn)生的原因不是債權(quán)人向企業(yè)提供了資金，而是源于企業(yè)占用了債權(quán)人的資金；“應(yīng)交稅金”產(chǎn)生的原因也不是政府向企業(yè)提供了資產(chǎn)，而是企業(yè)法定的義務(wù)；“留存收益”記錄的是企業(yè)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)導(dǎo)致的所有者權(quán)益增加，而不是所有者向企業(yè)投人資產(chǎn)?？梢姡瑢ⅰ皺?quán)益”定義為資產(chǎn)的來源與會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)相矛盾。

(三)剩余權(quán)益理論評(píng)述剩余權(quán)益理論是介于所有權(quán)理論和企業(yè)主體理論之間的一種理論，其目的是為了更好地向普通股股東提供與決策有關(guān)的信息。該理論所對(duì)應(yīng)的資產(chǎn)負(fù)債表方程式為：資產(chǎn)－特定權(quán)益=剩余權(quán)益。

特定權(quán)益包括債權(quán)人權(quán)益和優(yōu)先股東權(quán)益。在通常情況下，優(yōu)先股票既具有債權(quán)的性質(zhì)又有所有者權(quán)益的性質(zhì)。有些優(yōu)先股票實(shí)際上具有到期日和金額，到期時(shí)必須用現(xiàn)金償還。這樣的優(yōu)先股票與一般債權(quán)并無不同。特定權(quán)益的主要特征是它的數(shù)額通常不受資產(chǎn)計(jì)價(jià)程序的影響，而歸屬于普通股的權(quán)益則受到資產(chǎn)計(jì)價(jià)程序的影響，即要按上述資產(chǎn)負(fù)債表方程式來計(jì)算剩余權(quán)益。

剩余權(quán)益理論兼具所有權(quán)理論和企業(yè)主體理論缺陷。如果按所有權(quán)理論將特定權(quán)益定義為“負(fù)資產(chǎn)”，則剩余權(quán)益也就成為“凈資產(chǎn)”，資產(chǎn)負(fù)債表也就只能提供有關(guān)“資產(chǎn)”的信息。如果按企業(yè)主體理論將“特定權(quán)益”和“剩余權(quán)益”定義為“企業(yè)資產(chǎn)來源”，則與會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)核算的特定權(quán)益和所有者權(quán)益相矛盾。

(四)基金理論評(píng)述基金理論將從事業(yè)務(wù)活動(dòng)的單位作為會(huì)計(jì)核算的對(duì)象，這一業(yè)務(wù)活動(dòng)單元的利益范圍成為基金。該理論所對(duì)應(yīng)的會(huì)計(jì)等式為：資產(chǎn)=基金。基金可按用途分為基金項(xiàng)目。我國(guó)在計(jì)劃經(jīng)濟(jì)時(shí)期采用了基金理論，將資產(chǎn)限定為流動(dòng)資產(chǎn)、固定資產(chǎn)和專項(xiàng)資產(chǎn)，并為之設(shè)立了三個(gè)相對(duì)應(yīng)的基金，即流動(dòng)基金、固定基金和專項(xiàng)基金，其根本目的在于控制資產(chǎn)的運(yùn)用，以達(dá)到?？顚Ｓ?。這種做法對(duì)國(guó)家直接管理企業(yè)能發(fā)揮一定的作用，但限制了企業(yè)成為一個(gè)產(chǎn)權(quán)清晰、權(quán)責(zé)明確、政企分開、管理科學(xué)、追逐利潤(rùn)的主體?；鹄碚撊毕菰谟诤鲆暳似髽I(yè)所有權(quán)的存在，也忽視了企業(yè)是一個(gè)獨(dú)立的主體，因此，基金理論所建立的會(huì)計(jì)主體并不適合于企業(yè)。

二、資產(chǎn)扣除負(fù)債的含義

我國(guó)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)資產(chǎn)和負(fù)債的定義是：“資產(chǎn)是指企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的、由企業(yè)擁有或者控制的、預(yù)期會(huì)給企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)利益的資源；負(fù)債是指企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的、預(yù)期會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)利益流出企業(yè)的現(xiàn)時(shí)義務(wù)。”該定義所揭示出的資產(chǎn)的最本質(zhì)特性是“資源”，負(fù)債的最本質(zhì)特性是“義務(wù)”。那么，資產(chǎn)能扣除負(fù)債?

(一)兩個(gè)集合的扣除運(yùn)算借助兩個(gè)集合的差來探討“扣除”的含義。設(shè)A和B表示兩個(gè)任意的集合，從集合A中扣除集合B的元素得到的集合稱為A和B的差集，記為A―B。集合A和B之間存在三

種可能的關(guān)系，A包含B、A與B不相交、A與B相交，如圖1所示。

從圖1可知：(1)當(dāng)A包含B，A扣除B就是將集合B從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影的部分，是集合A的一個(gè)子集。(2)由于A與B不相交，集合A扣除集合B，剩余部分仍然為集合A，或者說從集合A中扣除集合B沒有產(chǎn)生任何實(shí)質(zhì)的影響。(3)當(dāng)A與B相交，集合A扣除集合B就是將兩集合相交部分從集合A中扣除，剩余部分為A中沒有陰影部分，是集合A的一個(gè)子集。由此可以看出，集合A扣除集合B剩余部分一定是集合A的一個(gè)子集，當(dāng)A與B不相交時(shí)，集合A扣除集合B還是集合A本身，“扣除”沒有產(chǎn)生任何實(shí)際影響。

(二)資產(chǎn)與負(fù)債的關(guān)系用符號(hào)A表示企業(yè)的資產(chǎn)集合。按照資產(chǎn)的定義，集合A的構(gòu)成元素為具備特定條件的“資源”，或者說具備“企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的”、“由企業(yè)擁有或者控制的”、“預(yù)期會(huì)給企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)利益的”這三個(gè)條件的資源構(gòu)成了集合A。用符號(hào)B表示企業(yè)的負(fù)債集合。按照負(fù)債的定義，集合B的構(gòu)成元素為具備特定條件的“義務(wù)”，或者說具備“企業(yè)過去的交易或者事項(xiàng)形成的”、“預(yù)期會(huì)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)利益流出企業(yè)的”、“現(xiàn)時(shí)的”這三個(gè)條件的義務(wù)構(gòu)成了集合B。

資源包含自然資源和社會(huì)資源兩大類，前者如陽光：空氣、水、土地、森林、草原、動(dòng)物、礦藏等，后者包括人力資源、信息資源以及經(jīng)過勞動(dòng)創(chuàng)造的各種物質(zhì)財(cái)富。義務(wù)的本質(zhì)屬性為人與人之間的社會(huì)關(guān)系，指政治上、法律上或道義上應(yīng)盡的責(zé)任。因此，資源與義務(wù)屬于完全不同的范疇，或者說，不存在既是資源又是義務(wù)的資源，也不存在既是義務(wù)又是資源的義務(wù)。進(jìn)而可知，集合A和集合B的構(gòu)成元素沒有相同的，也即集合A與集合B不相交，因此，集合A扣除集合B剩余部分仍然是集合A，即資產(chǎn)集合扣除負(fù)債集合仍然為資產(chǎn)集合，或者說，資產(chǎn)扣除負(fù)債沒有任何實(shí)際意義。

(三)資產(chǎn)扣除負(fù)債的特定含義“資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益”是復(fù)式記賬和編制資產(chǎn)負(fù)債表的基石，由該等式可以得到“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”。但資產(chǎn)負(fù)債表等式僅僅反映的是等式兩邊的價(jià)值相等，并不表示“資產(chǎn)”與“負(fù)債+所有者權(quán)益”性質(zhì)相同。資產(chǎn)負(fù)債表等式可以更為準(zhǔn)確地表述為“資產(chǎn)的價(jià)值=負(fù)債的價(jià)值+所有者權(quán)益的價(jià)值”，“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”則實(shí)質(zhì)上是“資產(chǎn)的價(jià)值－負(fù)債的價(jià)值=所有者權(quán)益的價(jià)值”。因此，“資產(chǎn)－負(fù)債=所有者權(quán)益”只能用來計(jì)量所有者權(quán)益的價(jià)值，并不是對(duì)所有者權(quán)益屬性的規(guī)定?！百Y產(chǎn)扣除負(fù)債”的特定含義就是資產(chǎn)的價(jià)值減去負(fù)債的價(jià)值，這只是規(guī)定了所有者權(quán)益的計(jì)量方法，并不是對(duì)所有者權(quán)益的定義。

三、所有者權(quán)益定義的改進(jìn)

企業(yè)主體理論將“資產(chǎn)”定義為歸屬于企業(yè)主體的權(quán)利，“權(quán)益”定義為資產(chǎn)的來源，提出的資產(chǎn)負(fù)債表等式為“資產(chǎn)=權(quán)益”。本文不贊同企業(yè)主體理論對(duì)“資產(chǎn)”和“權(quán)益”的定義，但接受將“資產(chǎn)=權(quán)益”作為資產(chǎn)負(fù)債表等式。筆者不贊同所有權(quán)理論將“負(fù)債”看作是“負(fù)資產(chǎn)”，也不贊同將所有者權(quán)益定義為“凈資產(chǎn)”，但接受所有者權(quán)益為“剩余權(quán)益”的觀點(diǎn)。以此為基礎(chǔ)，筆者對(duì)所有者權(quán)益會(huì)計(jì)定義進(jìn)行改進(jìn)。

第6篇：集合的含義與表示范文

一、注意符號(hào)的識(shí)別與記憶

例1 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）方程x2=1的解組成的集合；（2）不等式3x≥4-2x的解集。

錯(cuò)解：（1）｛x|-1，1｝，｛x=-1或x=1｝；（2）｛x≥■｝。

集合語言主要有三種形態(tài)，即自然語言、符號(hào)語言和圖形語言。平時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)更多的是使用符號(hào)語言。表示集合的方法，課本上介紹了列舉法和描述法。例1兩小題的錯(cuò)因是學(xué)生把兩種表示方法混淆了，同時(shí)用描述法和列舉法來表示集合。筆者建議在教學(xué)中多強(qiáng)調(diào)兩種表示法的特點(diǎn)和適用條件，多讓學(xué)生練習(xí)體會(huì)它們的區(qū)別。

例2 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6的圖象的交點(diǎn)組成的集合；（2）二次函數(shù)y=x2-4的函數(shù)值組成的集合。

錯(cuò)解：（1）｛1，4｝；（2）｛（x，y）|y=x2-4｝。

高中數(shù)學(xué)主要涉及的集合有兩類：數(shù)集和平面點(diǎn)集。例2兩小題的錯(cuò)因是學(xué)生沒有弄清楚集合的元素是什么：（1）表示兩個(gè)數(shù)1和4組成的集合；（2）表示二次函數(shù)y=x2-4圖象上的點(diǎn)組成的集合，與題目要求不符。列舉法表示數(shù)集和平面點(diǎn)集的區(qū)別在于集合元素是數(shù)還是點(diǎn)，或者看看每個(gè)元素之間有沒有用括號(hào)隔開；描述法表示數(shù)集和平面點(diǎn)集的區(qū)別是豎線前面的元素符號(hào)是數(shù)還是點(diǎn)。

符號(hào)語言是一種高度抽象的人工符號(hào)系統(tǒng)，因此它常常成為數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。正確理解集合符號(hào)語言的前提是對(duì)集合符號(hào)能正確地識(shí)別和記憶。筆者建議廣大教師重視數(shù)學(xué)符號(hào)語言的教學(xué)，組織學(xué)生對(duì)一些符號(hào)進(jìn)行辨析、識(shí)別和記憶，同時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，加深學(xué)生對(duì)符號(hào)的理解和記憶。

二、注意空集?芰的概念和性質(zhì)

例3 用正確的符號(hào)填空：（1）?芰_________｛0｝；（2）0________?芰；（3）?芰_________｛?芰｝。

錯(cuò)解：（1）=；（2）∈；（3）=。

空集是不含任何元素的集合，記為?芰。例3中（1）（2）兩題的錯(cuò)因是學(xué)生把空集概念中“沒有”元素中的沒有和0表示“沒有”的意思混淆了；（3）的錯(cuò)因是學(xué)生前面接觸的集合都要加｛｝，所以誤以為所有的集合都要加｛｝。實(shí)際上｛?芰｝可以理解為有一個(gè)元素是?芰的集合。筆者建議在教學(xué)中可以把不用加｛｝就表示集合的符號(hào)羅列一下（如：?芰，N，Z，Q，R），方便學(xué)生記憶。

例4 已知集合A=｛x|a+1＜x＜2a｝，B=｛x|x＜4｝，若A?哿B，求a取值范圍。

錯(cuò)解：A?哿B，2a≤4，a≤2。

空集是一個(gè)特殊且重要的集合，所以它有一些獨(dú)特的性質(zhì)：1.對(duì)任意的集合A，有A∩?芰=?芰；2.對(duì)任意的集合A，有A∪?芰=A；3.空集是任何集合A的子集，即?芰?哿A。例4的錯(cuò)因是忽視了空集的第三個(gè)性質(zhì)。所以這題要分A=?芰和A≠?芰兩種情況討論。

三、注意臨界點(diǎn)的取舍

例5 已知集合A=｛x|-2＜x≤4｝，B=｛x|x＜a｝，若A?哿B，求實(shí)數(shù)a取值范圍。

■

錯(cuò)解：a≤4。

臨界點(diǎn)的討論一直是含參問題的難點(diǎn)。例5的錯(cuò)因是學(xué)生誤以為字母a取到等號(hào)集合B就含有4這個(gè)元素。實(shí)際上集合B是否含有4這個(gè)元素主要是看x＜a中不等號(hào)是否有等號(hào)。筆者建議引導(dǎo)學(xué)生單獨(dú)考慮臨界點(diǎn)的等號(hào)，把取等號(hào)時(shí)兩個(gè)集合的情況寫出來，對(duì)照條件是否滿足，再進(jìn)行最后的取舍。

例6 若全集U=｛x|x≥-3｝，A=｛x|x＞1|｝，則?奩UA=__________。

■

錯(cuò)解：?奩UA=｛x|-3＜x＜1｝。

集合運(yùn)算中臨界點(diǎn)的取舍是考試考查的重點(diǎn)。例6的錯(cuò)因是學(xué)生沒有理解補(bǔ)集的概念。筆者建議在講解補(bǔ)集概念時(shí)，重點(diǎn)突出補(bǔ)集中元素的兩個(gè)特點(diǎn)：1.在全集U中；2.不在集合A中。在解題過程中可以運(yùn)用補(bǔ)集的兩個(gè)性質(zhì)：（?奩UA）∩A=?芰和（?奩UA）∪A=U對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這樣就知道臨界點(diǎn)是否可以取到。

四、注意新定義集合的理解和運(yùn)算

例7 設(shè)集合S=｛0，1，2，3，4，5｝，A是S的子集，當(dāng)x∈A時(shí)，若有x-1?埸A且x+1?埸A，則稱x是A的一個(gè)“孤立元素”；如果A中含有4個(gè)元素，且沒有“孤立元素”，則這樣的集合有_________。

錯(cuò)解：｛0，1，2，3｝；｛1，2，3，4｝；｛2，3，4，5｝。

例7 的錯(cuò)因是學(xué)生沒有正確理解“孤立元素”的含義。本題轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的內(nèi)容是：不含“孤立元素”是指集合A中每個(gè)元素的前一個(gè)或后一個(gè)數(shù)也在A中。而不是指集合A中元素必須全部相鄰。

第7篇：集合的含義與表示范文

【關(guān)鍵詞】集合；子集；特征函數(shù)；包含與排除

為了證明本原理的定理，我們事先要做一些引導(dǎo)，我們討論一個(gè)有限或無窮的集合U.U的子集A的特征函數(shù)A（x）是U中變?cè)獂的函數(shù).根據(jù)x屬于或不屬于A定義

A（x）=1或0.

U的特征函數(shù)為常數(shù)1（因此U也表示單位數(shù)），空集的特征函數(shù)是常數(shù)0，U的子集A，B，C，…的特征函數(shù)分別用A（x），B（x），C（x），…表示，如果不致發(fā)生誤解的話，也可以把A（x），B（x），C（x），…簡(jiǎn)寫成A，B，C，…即用同樣的符號(hào)表示U的子集和它的特征函數(shù).

A是B的一個(gè)子集的充要條件是對(duì)所有x成立A（x）≤B（x）或簡(jiǎn)寫成A≤B.

如果U是一個(gè)有限集，那么子集A中元素的個(gè)數(shù)是∑A（x），其中和式取遍U中所有元素.

定理1 設(shè)有N個(gè)對(duì)象，令Nα，Nβ，…，Nμ，Nλ分別表示這些對(duì)象中具有某種性質(zhì)α，β，…，μ和λ的對(duì)象的個(gè)數(shù).類似的，令Nαβ，Nαγ，…，Nαβλ，…，Nαβγ…μλ分別表示同時(shí)具有性質(zhì)α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對(duì)象的個(gè)數(shù).那么不具有性質(zhì)α，β，γ，…，μ，λ中任一性質(zhì)的對(duì)象個(gè)數(shù)N0等于

N-Nα-Nβ-Nγ-…-Nμ-Nλ+Nαβ+Nαγ+…+ Nμλ-Nαβλ-…±Nαβγ…μλ.

證明 設(shè)A，B，C，…分別為具有性質(zhì)α，β，γ…的對(duì)象所組成的子集，則A，B，C，…的余集的交集表示不具有性質(zhì)α，β，γ…中的任何一個(gè)性質(zhì)的對(duì)象所組成的集合.我們需要找出它所含元素的個(gè)數(shù)，令N0是它所含元素的個(gè)數(shù)，N是對(duì)象的個(gè)數(shù)，其他Nα，Nβ，…的含義同定理.由上可得A，B，C，…的余集的交集的特征函數(shù)是：

（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-…

所以它的元素個(gè)數(shù)N0等于

∑[（1-A）（1-B）（1-C）…]= ∑1-∑A-∑B-∑C-…+∑（AB）+∑（AC）+∑（BC）+…-

∑（ABC）-…= N-Nα-Nβ- Nγ-…+Nαβ+Nαγ+ Nβγ-…-Nαβγ-….

即求出所需求元素的個(gè)數(shù)，定理即證.

定理2 假定有N個(gè)對(duì)象，像在定理1中那樣，它們能夠具有性質(zhì)α，β，…，μ，λ，給每個(gè)對(duì)象帶上一個(gè)權(quán)數(shù).用Wα表示具有性質(zhì)α的所有對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值（那些對(duì)象所帶權(quán)數(shù)數(shù)值的和），用Wβ表示具有性質(zhì)β的所有對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值等等.類似的，令Wαβ，Wαγ，…，Wαβλ，…，Wαβγ…μλ分別表示同時(shí)具有性質(zhì)α和β，α和γ，…，α，β和γ，…，α，β，γ，…，μ和λ的對(duì)象所帶權(quán)數(shù)總值.如果W是所有對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值，那么不具有性質(zhì)α，β，γ，…，μ，λ中任一性質(zhì)的那些對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值等于W-Wα-Wβ-Wγ-…-Wμ-Wλ+Wαβ+Wαγ+…+ Wμλ- Wαβλ-…±Wαβγ…μλ.

證明 設(shè)A，B，C，…分別為具有性質(zhì)α，β，γ，…的對(duì)象所組成的子集，則不具有性質(zhì)α，β，γ，…中的任何一個(gè)性質(zhì)的對(duì)象所組成的集合是A，B，C，…的余集的交集，則有∑xA是具有性質(zhì)α的所有對(duì)象的權(quán)數(shù)總值，類似的∑xB表示具有性質(zhì)β的所有對(duì)象的權(quán)數(shù)總值……我們需要找出A，B，C，…的余集的交集中對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值，由此可得，它的特征函數(shù)是：

（1-A）（1-B）（1-C）…=1-A-B-C-…+AB+AC+BC+…-ABC-….

那么，不具有性質(zhì)α，β，γ，…中任一性質(zhì)的那些對(duì)象所帶的權(quán)數(shù)總值W0等于

a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±m(xù)in（a，b，c，…，k，l）.

證 令N=max（a，b，c，…，k，l）.當(dāng)N=0時(shí)，結(jié)論顯然成立.當(dāng)N>0時(shí)，將數(shù)1，2，…，N看作對(duì)象，并對(duì)它們應(yīng)用定理1.如果一個(gè)數(shù)≤a，則稱該數(shù)具有性質(zhì)α，若≤b，則稱具有性質(zhì)β，等等，既沒有性質(zhì)α也沒有性質(zhì)β…的對(duì)象的個(gè)數(shù)顯然等于0.于是

N-[a+b+c+…+k+l-min（a，b）-min（a，c）-…-min（k，l）+min（a，b，c）+…±m(xù)in（a，b，c，…，k，l）]=0，即證.

在這里我們從集合的角度，證明了包含與排除原理的兩個(gè)定理，其中定理2是定理1的推廣，而定理1是定理2的特殊情況.并通過例題對(duì)所證明的定理進(jìn)行了應(yīng)用，在實(shí)際的運(yùn)用過程中通常應(yīng)用定理2即可.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉玉翹，陳漢卿.集合初步知識(shí)[M].天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2007.

第8篇：集合的含義與表示范文

目前現(xiàn)有的針對(duì)煙草營(yíng)銷策略的研究，多采用數(shù)據(jù)挖掘的思想，基于數(shù)據(jù)挖掘的營(yíng)銷策略是對(duì)終端客戶進(jìn)行分類，根據(jù)用戶的銷量和誠(chéng)信記錄把用戶分為多個(gè)等級(jí)，但這種分級(jí)策略只能反應(yīng)用戶的銷量信息，把這個(gè)分類作為營(yíng)銷策略依據(jù)太單薄，只能起一定的輔助作用。更深入地研究是根據(jù)客戶的資料和歷史訂單數(shù)據(jù)對(duì)現(xiàn)有商戶進(jìn)行聚類，獲取到自主的商戶分類，但盲目的聚類會(huì)導(dǎo)致商戶的分類沒有實(shí)際意義，或獲取的結(jié)果是無助于營(yíng)銷目的的。

2技術(shù)關(guān)鍵

本系統(tǒng)采用基于營(yíng)銷目的的商戶聚類，技術(shù)關(guān)鍵包括三部分內(nèi)容：數(shù)據(jù)預(yù)處理中的特征選擇、基于限制目標(biāo)的商戶精確聚類和基于聚類結(jié)果的多層關(guān)聯(lián)規(guī)則算法的研究。

2.1特征選擇

假定獲取的數(shù)據(jù)的維數(shù)為n，通常情況下n是很大的一個(gè)數(shù)，為簡(jiǎn)化模型，也為了防止模型陷入過擬合（維數(shù)災(zāi)難），需要進(jìn)行降維處理，即僅把對(duì)項(xiàng)目改造判定起關(guān)鍵作用的因素挑選出來。本系統(tǒng)采用PCA算法來進(jìn)行降維處理，過程如下：

1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣Z的樣本的協(xié)方差矩陣Cov；

2)計(jì)算協(xié)方差矩陣Cov的本征向量e1,e2,…,en的本征值。本征值按大到小排序；

3)投影數(shù)據(jù)

到本征矢張成的空間之中，利用貢獻(xiàn)分析取前m個(gè)向量Y1,Y2,…,Ym。

2.2基于營(yíng)銷目標(biāo)限制的商戶精確聚類算法

現(xiàn)有聚類算法一般沒有約束條件，只根據(jù)相似度來進(jìn)行聚類，為了能夠體現(xiàn)約束條件，需要在聚類相似度或者樣本距離之間把限制條件增加進(jìn)去，這樣在樣本聚類的時(shí)候即可使得具有相同營(yíng)銷特性的樣本或者客戶被劃分到同一個(gè)類中。煙草終端商戶的大部分屬性是分類屬性，例如：地區(qū)、類別等，此外還有數(shù)字型屬性、日期型屬性，由于存在不同類型的屬性，常規(guī)的聚類算法無法使用，為此，采用把數(shù)字屬性和日期屬性劃分區(qū)間的思路，這樣可以轉(zhuǎn)化成分類屬性的方式來進(jìn)行聚類。進(jìn)而可建立如下商戶模型：分類對(duì)象X∈Ω，X=[A1=x1]∧[A2=x2]∧…∧[Am=xm]，其中xj∈DOM(Aj)，1≤j≤m，為簡(jiǎn)便起見，將對(duì)象X∈Ω用向量（x1,x2,…,xm）表達(dá)，如果屬性Aj的值不存在，則Aj=ε。令Χ={X1,X2,…,Xn}為n個(gè)分類對(duì)象的集合，用集合方式表達(dá)分類對(duì)象，則Xi={xi,1,xi,2,…,xi,m}，如果屬性Aj的值不存在，則集合中不出現(xiàn)xi,j，容易得到|Xi|≤m。如果存在Xi,j=Xk,j，1≤j≤m，則Xi=Xk。為方便聚類，利用聚類匯總來壓縮原始數(shù)據(jù)，從而達(dá)到提高算法效率的目的。一個(gè)類C可以由如下三元組（n,I,S）來表示。其中n為類C中的對(duì)象數(shù)量，I={i1,i2,…,iu}是C內(nèi)所有屬性值的集合，S={s1,s2,…,su}，其中sj為ij在類C中的數(shù)量，ij∈I，1≤j≤u。集合S按升序排列，即s1≤s2≤…≤su，這同時(shí)也暗示集合I的元素按其在C中的數(shù)量按升序排列。三元組（n,I,S）被稱作類C的聚類匯總CS，CS的三個(gè)成員分別記作CS.n、CS.I和CS.S；對(duì)于CS.I的任一元素ij∈CS.I，則記作CS.I.ij，對(duì)于sj∈CS.S，則記作CS.S.sj，其中1≤j≤u。

2.3基于煙草營(yíng)銷的多層關(guān)聯(lián)規(guī)則的研究

針對(duì)本項(xiàng)目，對(duì)關(guān)聯(lián)規(guī)則定義進(jìn)行擴(kuò)展，對(duì)形如：XY的關(guān)聯(lián)規(guī)則，不再限定X和Y為一個(gè)項(xiàng)目集，而把X和Y定義為條件的合取范式，每個(gè)條件Ai=True/False為布爾表達(dá)式。此時(shí)的Ai為一個(gè)項(xiàng)目集，它的含義與原來的X和Y的含義相同，如果把結(jié)果中的條件布爾表達(dá)式寫成Cj=True/False，則關(guān)聯(lián)規(guī)則有如下形式：（A1=True/False）∧（A2=True/False）∧…∧（An=True/False）（C1=True/False）∧（C2=True/False）∧…∧（Cm=True/False）關(guān)聯(lián)規(guī)則的開采問題可以分解成以下兩個(gè)子問題：

①?gòu)臄?shù)據(jù)集合或交易集合D中發(fā)現(xiàn)所有的頻繁項(xiàng)目集。

②從頻繁項(xiàng)目集中生成所有置信度不小于用戶定義的最小置信度minconf的關(guān)聯(lián)規(guī)則。即對(duì)任一個(gè)頻繁項(xiàng)目集F和F的所有非空真子集S，SF，如果sup（F）/sup（F－S）≥minconf，則（F－S）S就是一條有效的關(guān)聯(lián)規(guī)則。按上述方法發(fā)現(xiàn)所有類似的規(guī)則。這兩個(gè)步驟中第2步要相對(duì)容易，因此項(xiàng)目的研究將更關(guān)注第1步，由于最大頻繁項(xiàng)目集已經(jīng)隱含了所有頻繁項(xiàng)目集，所以可以把發(fā)現(xiàn)頻繁項(xiàng)目集的問題轉(zhuǎn)化為發(fā)現(xiàn)最大頻繁項(xiàng)目集的問題。針對(duì)煙草營(yíng)銷的客戶，進(jìn)行關(guān)聯(lián)規(guī)則挖掘時(shí)，是在上一步的基礎(chǔ)上，即針對(duì)每一個(gè)商戶群進(jìn)行規(guī)則挖掘。在獲取到最大頻繁項(xiàng)目集后，順序生成頻繁項(xiàng)目集，然后獲取到可用的關(guān)聯(lián)規(guī)則。此時(shí)獲取的關(guān)聯(lián)規(guī)則是底層關(guān)聯(lián)規(guī)則，然后再采用概念樹的方法對(duì)獲取的底層關(guān)聯(lián)規(guī)則進(jìn)行匯總。概念樹由煙草領(lǐng)域?qū)＜腋鶕?jù)屬性的領(lǐng)域知識(shí)提供，按特定屬性的概念層次從一般到具體排序。樹的根結(jié)點(diǎn)是用any表示最一般的概念，葉結(jié)點(diǎn)是最具體的概念即屬性的具體值。

第9篇：集合的含義與表示范文

一、思考“本質(zhì)屬性”

對(duì)“學(xué)什么”這一問題的思考，實(shí)際上就是對(duì)學(xué)生“學(xué)習(xí)目標(biāo)（Objective）”的確定過程。如果把學(xué)生視為學(xué)習(xí)的主體，那么這樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)相對(duì)于學(xué)生來說就具有客觀性，是課程編制者或者教師對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)“學(xué)什么”的期望（Expectation）。對(duì)“怎樣學(xué)”的思考，首先是將學(xué)習(xí)目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生應(yīng)當(dāng)執(zhí)行并完成的學(xué)習(xí)任務(wù)（Task），之后是思考學(xué)生為完成任務(wù)所需要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動(dòng)（Activity）。對(duì)“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”這兩個(gè)問題的思考并不是截然分開的，二者的思考應(yīng)當(dāng)是融合在一起，并且都要基于對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)及其認(rèn)識(shí)過程本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)。

比如“平行四邊形的面積”，[2]這一知識(shí)點(diǎn)反映的是一個(gè)平行四邊形面積的大小與這個(gè)平行四邊形內(nèi)部元素（底邊長(zhǎng)度和高的長(zhǎng)度）之間相互依賴與制約的關(guān)系，其本質(zhì)屬性是對(duì)客觀規(guī)律的描述，此類知識(shí)的特點(diǎn)相對(duì)于學(xué)習(xí)者來說具有“確定性”，不依人的意志為轉(zhuǎn)移。認(rèn)識(shí)這種知識(shí)的基本方法是“發(fā)現(xiàn)（Discover）”，也就是通過觀察并比較諸多不同對(duì)象，從中發(fā)現(xiàn)共性，這樣的共性就成為了具有一定普遍意義的規(guī)律。

數(shù)學(xué)課程中另外一類知識(shí)其本質(zhì)屬性是人的“發(fā)明（Invention）”，這一類知識(shí)通常是依賴于人的主觀“需求（Need）”而出現(xiàn)的。以分?jǐn)?shù)為例，這種“需求”至少表現(xiàn)在三個(gè)方面。從語言的視角看，當(dāng)表達(dá)數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，同一種數(shù)量關(guān)系通常會(huì)有兩種說法，這兩種說法往往是“雙向同義”的。如果說“甲的收入比乙的收入多100元”，就會(huì)有反過來并且意義相同的說法，即“乙的收入比甲的收入少100元”。如果說“甲的收入是乙的3倍”，需要反過來并且要求意義相同的說法，那么沒有分?jǐn)?shù)，這樣的說法就難以實(shí)現(xiàn)。有了分?jǐn)?shù)，就可以說“乙的收入是甲收入的三分之一”，從而實(shí)現(xiàn)了“雙向同義”的語言描述。

歷史上人們對(duì)分?jǐn)?shù)的“需求”還表現(xiàn)在“量（Magnitude）”的測(cè)量方面。在沒有度量單位的時(shí)候，人們對(duì)量與量之間的比較通常都是“用小量大”，當(dāng)出現(xiàn)“量不盡”的情況時(shí)，就“用余量小”，如此反復(fù)，量盡為止。比如圖1兩條線段分別表示量A和量B，其中A是較大的量。

量A：― ― ― ― ― ―

量B：―――

圖1 量的比較示意圖

如果需要了解并且表達(dá)兩個(gè)量之間關(guān)系的時(shí)候，人們首先就會(huì)用較小的量B去與較大的量A重疊測(cè)量，目的是為了知道幾次量盡，從而就可以知道量A中包含了幾個(gè)量B。但是測(cè)量過程中經(jīng)常出現(xiàn)量不盡的情況，也就是有剩余的情況出現(xiàn)。（見圖2）

量A：

量B：

圖2 “量不盡”示意圖

圖2中用量B測(cè)量量A重疊2次后，出現(xiàn)了小于量B的剩余量C，這時(shí)候人們通常會(huì)用剩余的量C反過來去與量B重疊測(cè)量，如果仍然量不盡，就繼續(xù)重復(fù)這一“用余量小”的過程。圖2用C量B的結(jié)果恰好三次量盡。這時(shí)候就需要用數(shù)來描述量A與量B之間的關(guān)系，此時(shí)僅有整數(shù)就不夠了，有了分?jǐn)?shù)就可以說“A是B的2（或者）”，也可以說“B是A的”。用“比”的語言說就是A與B的比是7∶3，或者B與A的比是3∶7。

數(shù)學(xué)家對(duì)分?jǐn)?shù)的“需求”還表現(xiàn)為對(duì)除法運(yùn)算“封閉”的愿望。在整數(shù)范圍內(nèi)，兩個(gè)整數(shù)相除，可能得不到整數(shù)的結(jié)果，這種情況就叫作“整數(shù)集合對(duì)除法運(yùn)算不封閉”，也就是整數(shù)集合內(nèi)兩個(gè)元素的運(yùn)算結(jié)果跑到了整數(shù)集合的外面了。因此需要擴(kuò)大整數(shù)集合的范圍，把分?jǐn)?shù)合并到整數(shù)集合中來，由此形成了數(shù)學(xué)中的有理數(shù)集合，在這個(gè)集合中除法運(yùn)算就能保證封閉了，即任何兩個(gè)有理數(shù)相除的結(jié)果一定還是有理數(shù)。

“發(fā)現(xiàn)”的知識(shí)與“發(fā)明”的知識(shí)屬性不同，當(dāng)然學(xué)習(xí)的方式也就有了差異。發(fā)現(xiàn)的過程核心環(huán)節(jié)是“觀察與比較”，發(fā)明的過程重在“需求與創(chuàng)造”。針對(duì)不同屬性的知識(shí)，備課中就要思考如何為學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)和學(xué)習(xí)活動(dòng)。

二、如何設(shè)計(jì)“發(fā)現(xiàn)”的過程

對(duì)客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)至少應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面。首先應(yīng)當(dāng)是定性的認(rèn)識(shí)，比如對(duì)于“平行四邊形面積”來說，應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)無論什么樣的平行四邊形，其面積的大小都受制于底邊長(zhǎng)度和高的長(zhǎng)度；在定性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，就可以有定量的認(rèn)識(shí)，即面積的大小等于底邊與高的乘積。針對(duì)定性的認(rèn)識(shí)，需要觀察并且比較不同的平行四邊形，在不同中發(fā)現(xiàn)共性，也就是所有平行四邊形面積的大小都受制于底邊長(zhǎng)度和高的長(zhǎng)度；而對(duì)于定量的認(rèn)識(shí)，也就是平行四邊形的面積等于底邊與高的乘積，需要觀察平行四邊形與面積相等的長(zhǎng)方形之間的關(guān)系而得到。如果把長(zhǎng)方形視為特殊的平行四邊形，那么就可以將定性的認(rèn)識(shí)與定量的認(rèn)識(shí)合為一體，把學(xué)習(xí)目標(biāo)確定為“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”。

既然這一學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)依賴于觀察與比較，那么教師在備課中需要思考的就是如何設(shè)計(jì)能夠溝通學(xué)習(xí)目標(biāo)及觀察與比較活動(dòng)之間聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。這種任務(wù)的設(shè)計(jì)是否有效，取決于兩個(gè)前提，第一是觀察者為什么需要觀察，也就是要為學(xué)生提供觀察的理由，這種理由可以使得學(xué)生具有觀察的動(dòng)機(jī)；第二是觀察什么，也即需要為學(xué)生提供觀察對(duì)象以及思考方向。學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述可以是以問題的形式出現(xiàn)的，不妨稱之為“問題型”任務(wù)。比如針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊及高的關(guān)系”，可以設(shè)計(jì)如下的問題型任務(wù)：“下面是三組平行四邊形，每一組中兩個(gè)平行四邊形面積是否相等？你是怎么得到結(jié)論的？”

圖3 平行四邊形面積比較圖

第一組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)度不相等，但是高的長(zhǎng)度相等；第二組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)度相等，但是高的長(zhǎng)度不相等；第三組中兩個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)度相等，同時(shí)高的長(zhǎng)度也相等。為了回答這樣兩個(gè)問題，學(xué)生可能的學(xué)習(xí)活動(dòng)有用眼睛“看”，看不出來還可以用尺子“量”，當(dāng)然也可以用剪刀把兩個(gè)平行四邊形“剪”下來重疊在一起“看”。所有的活動(dòng)都是針對(duì)“是否相等”以及“為什么”這樣兩個(gè)問題，因此活動(dòng)就不是盲目的，而是有目的的，活動(dòng)的目的性使得學(xué)生具有了參與活動(dòng)的動(dòng)機(jī)。同時(shí)，教師為學(xué)生提供的三組圖形相當(dāng)于為學(xué)生的觀察提供了對(duì)象。通過活動(dòng)最終期望學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊以及高有關(guān)。

學(xué)習(xí)任務(wù)的敘述還可以是“指令性”的，就是指明要求學(xué)生做什么。比如在前面任務(wù)已經(jīng)完成的基礎(chǔ)上，為了能夠發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積公式，可以給學(xué)生布置如下任務(wù)：“在方格紙上畫出一個(gè)長(zhǎng)方形，再畫出一個(gè)與長(zhǎng)方形面積相等的平行四邊形，和你的同伴說說你的畫法。”學(xué)生依據(jù)前面觀察的經(jīng)驗(yàn)，在畫圖過程中自然而然地就會(huì)把平行四邊形的底和高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬建立起聯(lián)系。在以上學(xué)習(xí)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，最后可以通過布置指令性任務(wù)：“請(qǐng)自己總結(jié)出計(jì)算平行四邊形的面積公式，將你的結(jié)論寫出來。”通過以上三項(xiàng)任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷一系列以觀察與比較為核心的學(xué)習(xí)活動(dòng)，就應(yīng)當(dāng)可以達(dá)成“發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的大小與底邊和高的關(guān)系”這一學(xué)習(xí)目標(biāo)。

三、“發(fā)明”的過程需要經(jīng)歷

對(duì)于“發(fā)明”的知識(shí)，認(rèn)識(shí)的核心環(huán)節(jié)是感受需求，并且經(jīng)歷自主發(fā)明的過程。以分?jǐn)?shù)為例，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)包括分?jǐn)?shù)概念的形成與語言表述、分?jǐn)?shù)之間的相等與不等關(guān)系、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)與除法和比的關(guān)系等內(nèi)容，這些內(nèi)容需要一個(gè)螺旋上升的學(xué)習(xí)過程。如果把分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性定位于語言，那么其學(xué)習(xí)過程就應(yīng)當(dāng)遵循語言學(xué)習(xí)的規(guī)律。語言通常是按照“先聽說，后讀寫”的順序進(jìn)行學(xué)習(xí)的。通過“聽說”可以感受到分?jǐn)?shù)的存在以及分?jǐn)?shù)概念的含義，通過“讀寫”讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)明”的過程，感受數(shù)學(xué)中文字語言、圖形語言以及符號(hào)語言之間的相互關(guān)系。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之初，首先應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感受到對(duì)分?jǐn)?shù)的“需求”，體現(xiàn)“讓知識(shí)因需要而產(chǎn)生”的教學(xué)原則。因此小學(xué)三年級(jí)“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)目標(biāo)可以確定為如下三個(gè)：感受分?jǐn)?shù)在語言中的存在及其必要性；經(jīng)歷分?jǐn)?shù)符號(hào)從“多樣”到“統(tǒng)一”的發(fā)明過程；了解分?jǐn)?shù)的含義。

針對(duì)第一個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以設(shè)計(jì)如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“鐘表上表示的時(shí)間是‘7點(diǎn)半’，思考其中的‘半’是什么意思？與同伴交流自己的想法?！保ㄒ妶D4）

圖4 鐘表示意圖

學(xué)生在執(zhí)行并完成這一任務(wù)的過程中，自然要思考和交流分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈與半圈的關(guān)系，或者時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一格與半格之間的關(guān)系。這種思考與交流一方面感受到二分之一的現(xiàn)實(shí)存在，同時(shí)也能初步感受到分?jǐn)?shù)用于描述局部與整體關(guān)系的含義。類似的任務(wù)還可以設(shè)計(jì)為如下的形式。

將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折，折痕將整張紙平均分成了兩部分。這兩部分的大小是什么關(guān)系？用盡可能多的語言說說其中一部分的大小與整張紙之間的關(guān)系。

用盡可能多的語言說說“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系。

這樣的任務(wù)可以啟發(fā)學(xué)生在思考和交流的過程中，溝通描述數(shù)量關(guān)系的多種語言之間的聯(lián)系。比如關(guān)于“10元錢”與“2元錢”之間的關(guān)系，學(xué)生可能利用先前熟悉的描述加減關(guān)系的語言，說出：“10元比2元多8元”和“2元比10元少8元”。學(xué)生還可能利用二年級(jí)學(xué)習(xí)過的“倍的認(rèn)識(shí)”說：“5個(gè)2元等于10元”或者“10元是2元的5倍”，此時(shí)恰好說明需要一種與之相反的說法：“2元是10元的五分之一”，“五分之一”自然而然地因需要而產(chǎn)生了。

通過“聽說”初步感受分?jǐn)?shù)的含義后，就需要用符號(hào)來表示分?jǐn)?shù)。符號(hào)作為一種數(shù)學(xué)的語言，具有“人造（Artificial）”的特點(diǎn)，其發(fā)生與發(fā)展必然是從“多樣”走向“統(tǒng)一”的過程。如果把分?jǐn)?shù)的符號(hào)表示方法直接告知學(xué)生，表面看省時(shí)省力，但失去的是學(xué)生經(jīng)歷發(fā)明符號(hào)的思考過程。為了讓學(xué)生經(jīng)歷這種“發(fā)明”的思考過程，針對(duì)第二個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以設(shè)計(jì)這樣的學(xué)習(xí)任務(wù)：“你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用什么樣的符號(hào)表示二分之一？向同伴介紹你的發(fā)明?！痹诒本┬W(xué)萬年花城分?！白兘虨閷W(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)”的課堂中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生依據(jù)這個(gè)任務(wù)開展活動(dòng)后，的確出現(xiàn)了“多樣”的符號(hào)表達(dá)。（見圖5）

圖5 學(xué)生分?jǐn)?shù)符號(hào)表達(dá)

在這些符號(hào)表達(dá)中，學(xué)生運(yùn)用斜線、橫線、逗號(hào)等多種方式表達(dá)“分”的含義。而且還發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在寫“二分之一”的符號(hào)時(shí)，喜歡將2寫在左側(cè)或者上面。這實(shí)際上反映出平時(shí)習(xí)慣的閱讀和書寫順序（從左向右，自上而下）對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的符號(hào)是有影響的。分?jǐn)?shù)“二分之一”的讀法是“先2后1”，因此學(xué)生書寫也是這樣的順序。

在學(xué)生“多樣”的發(fā)明充分交流和展示之后，教師可以補(bǔ)充一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)：“同一個(gè)二分之一出現(xiàn)了這么多不同的符號(hào)，行嗎？應(yīng)當(dāng)怎么辦呢？”補(bǔ)充這個(gè)任務(wù)的目的在于引發(fā)學(xué)生思考，分?jǐn)?shù)符號(hào)作為一種數(shù)學(xué)語言，其重要作用是用于交流，多樣化會(huì)帶來交流的困難，因此需要統(tǒng)一，統(tǒng)一的目的是讓所有人看到后都能夠知道其確定的含義。

在這兩個(gè)任務(wù)之后，為了進(jìn)一步溝通不同語言之間的聯(lián)系，深化對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解，可以再為學(xué)生布置一個(gè)任務(wù)：“舉個(gè)例子說明的意思，在小組內(nèi)交流不同的想法。”學(xué)生可以通過畫圖、折紙、講故事等多樣化的活動(dòng)完成這個(gè)任務(wù)，在完成任務(wù)的過程中自然會(huì)加深對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。

如果時(shí)間允許，還可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科溝通聯(lián)系的學(xué)習(xí)任務(wù)。比如中國(guó)傳統(tǒng)文化中成語和詩詞的學(xué)習(xí)通常是語文課程中的內(nèi)容，如果引入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，一方面可以溝通不同學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，同時(shí)也能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義。在前面已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之后，可以利用成語“半斤八兩”設(shè)計(jì)如下的學(xué)習(xí)任務(wù)：“中國(guó)古代用‘斤’和‘兩’作為重量單位，16兩為1斤。古代成語中有‘半斤八兩’的說法，請(qǐng)你用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)描述這個(gè)成語的意思?！边@個(gè)任務(wù)的思考討論實(shí)際上已經(jīng)滲透了六年級(jí)將要學(xué)習(xí)的“正比例”的知識(shí)。如果把“斤”和“兩”看作兩類不同的量，那么其相互依賴的關(guān)系可以從表1中明顯看出。

類似的成語還有“事半功倍”與“事倍功半”等。中國(guó)古代詩詞中也有蘊(yùn)含著分?jǐn)?shù)含義的。比如明代詩人杜庠的題為“岳陽樓”的詩：“茫茫雪浪帶煙蕪，天與西湖作畫圖。樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖?！倍赐ズ呛鲜『秃笔〉姆纸?，岳陽樓位于洞庭湖畔湖南省一側(cè)，在樓中能夠遠(yuǎn)眺君山。“樓外十分風(fēng)景好，一分山色九分湖”可以用分?jǐn)?shù)的語言描述為，把樓外的風(fēng)景看作10，那么山景占了其中的，水景占了，描繪出了近大遠(yuǎn)小的視覺效果。

“變教為學(xué)”教學(xué)改革期望的是學(xué)生“自由、自主、自信”地開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，為此就需要教師在備課中準(zhǔn)確把握知識(shí)的本質(zhì)屬性，合理設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，“把目標(biāo)變成任務(wù)、把知識(shí)變成問題、把方法變成活動(dòng)”，讓學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中“愛做、能做、善做”。所謂“愛做”就是學(xué)生對(duì)于執(zhí)行學(xué)習(xí)任務(wù)具有積極性和主動(dòng)性，也就是所謂內(nèi)在的動(dòng)機(jī)（Motivation），讓學(xué)習(xí)活動(dòng)成為學(xué)生“自覺自愿”的主動(dòng)活動(dòng)，而不是“被逼無奈”的被動(dòng)活動(dòng)；所謂“能做”是期望每位學(xué)生都能夠明白自己應(yīng)當(dāng)做什么和怎樣做，而不是“部分人做，其他人陪”；所謂“善做”指的是每位學(xué)生都有做好的愿望，活動(dòng)過程中有機(jī)會(huì)向同伴學(xué)習(xí)，也有機(jī)會(huì)與同伴分享自己的想法。真正做到“每位學(xué)生都有活動(dòng)，每位學(xué)生都有機(jī)會(huì)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹.“變教為學(xué)”從哪兒做起[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2013（9）.