投資學因子模型的統(tǒng)計學原理淺析

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摘要：因子模型是投資科學中非常重要的一類模型，在金融界的應用更是非常廣泛。然而，學術(shù)界對于因子模型統(tǒng)計原理的探究卻較為少見?；诖?，本文詳細論述了投資學因子模型的構(gòu)建和統(tǒng)計學因子分析的范式，并創(chuàng)造性地探究了二者之間的關(guān)系，從而得出因子模型作為統(tǒng)計學因子分析特殊形式的結(jié)論，以期可以解決投資學因子模型在應用時的一些難題。

關(guān)鍵詞：因子模型；正交因子分析；投資科學；股票收益率

一、引言

因子模型是投資學中最經(jīng)典的模型之一。自從1992年，F(xiàn)amaEF和FrenchKR提出三因子模型后，國內(nèi)外金融學界便掀起了挖掘市場因子的熱潮[1]。例如，因子模型被應用到量化基金的投資實戰(zhàn)當中，取得了不俗的歷史收益，使更多的市場投資者參與其中，以期獲得更高的收益，這次事件堪稱投資學界的“淘金熱”。雖然學界和商界對因子模型的研究熱情很高，但大多追求與收益相關(guān)的因子挖掘或者對固有因子有效性的檢驗，很少有人對因子模型的統(tǒng)計學原理進行深入解析[2-5]。基于此，本文將結(jié)合統(tǒng)計學上更為一般的正交因子模型探討投資學因子模型的原理，并一同探究其與CAPM模型和套利定價模型的關(guān)系。

二、文獻綜述

文中所引用之理論主要來源于兩個領(lǐng)域。一是統(tǒng)計學因子分析原理和實證應用[6]。早在20世紀30年代，英國心理學家CESpearman就已提出因子分析的雛形，在后人整理發(fā)表的各種文獻中，這種方法被逐漸補充完整，并在心理學、營銷學、社會學和金融學等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應用[7]。二是金融學投資科學領(lǐng)域因子模型的構(gòu)建、實證研究和業(yè)界應用。這些研究大抵沿著FamaFrench的方法不斷地探求和拓展，只是稍有過當之嫌[8]。但是，縱覽國內(nèi)外學者的文獻，很少有人將兩個領(lǐng)域結(jié)合研究，并清晰地解釋出兩者的聯(lián)系，本文期望在這方面有所突破。

三、投資學因子模型簡介

首先，介紹主要的研究對象——因子模型。根據(jù)Z·Bodie的理論，股市中的單因子模型是為了應對股票較多時，和應用Markowitz組合理論協(xié)方差矩陣估計困難問題而提出的[9]。它假定任何證券i的收益率總是可以分解為期望收益率和非期望部分（預料之外的因素）之和：Er=Eri+ei（1）其中，Eei=0，Dei=σi2，預料之外的因素又可以分為同時影響所有證券的宏觀因素m（如未預期的宏觀突發(fā)事件），以及只影響特定公司的特殊因素∈。于是，可以得到單因子模型基本形式：ri=Eri+m+∈i（2）對應風險分解為σi2=σm2+σ2（∈i）?？紤]不同公司對宏觀因素m變化的敏感性不同（汽車制造比食品制造對經(jīng)濟周期更加敏感），記敏感性系數(shù)為βi（又稱“因子暴露度”），則ri=Eri+βim+∈i。如果收益率用超額收益Ri=ri+rf表示，等價于Ri=Eri+βim+∈i。于是，只需要m，βi，σm，σ（∈i）共2n+2個參數(shù)便可完成Markowitz分析，而不用去估計大小為n2的股票波動率協(xié)方差矩陣∑，大大提高了模型效率。在日常應用中，一般使用單因子模型的特殊形式——單指數(shù)模型[10]。單指數(shù)模型：由于宏觀因素m不易定義和觀測，所以需要尋找一個變量來代表（proxy）共同因素，當使用股指收益率作為宏觀因素的代理指標時，則稱為單指數(shù)模型Ri=Eri+βi（RM+ERM）+∈i。在實證研究中，使用時序回歸的方式確定單指數(shù)模型中的βi，構(gòu)造回歸方程Ri(t)=αi+βiRM(t)+ei(t)，并通過最小二乘法得到iβ∧，iα∧。之后兩邊對時間t取期望值得到Eri=αi+βiERM。然而，考慮到宏觀因素的多樣性。由于股指不能100%地反映所有宏觀因素的影響，所以單指數(shù)模型∈仍蘊含宏觀信息，并且可以通過增加因子的方式增強解釋性（這在正交因子分析中就是增大總變量共同度）。如果我們選取m個宏觀因子，則可得到如下基本形式：Ri=ERi+∑mj=1βijFj+ei，其中，F(xiàn)j為m個不同宏觀因素的未預期值。這里的因子選擇是頗具藝術(shù)性的一步，常用的有國內(nèi)生產(chǎn)總值（GrossDomesticProduct，GDP）、國民生產(chǎn)總值（GrossNationalProduct，GNP）、消費者物價指數(shù)（ConsumerPriceIndex，CPI）、失業(yè)率等。另外，其參數(shù)估計方式與單因子模型相似，應用多元線性回歸最小二乘法估計，并假設(shè)因素之間不存在相關(guān)性，盡管此假設(shè)經(jīng)常受到質(zhì)疑，但仍是目前最常見的應用方法。

四、統(tǒng)計學因子分析原理

介紹完多因子模型后，下面便可分析其統(tǒng)計學原理。其實，因子模型本質(zhì)上都是統(tǒng)計學正交因子分析的特殊應用，金融多因子模型也不例外。二者之間是特殊與一般的關(guān)系，因此，理解了正交因子分析，也就能夠深入理解金融多因子模型。設(shè)對某標準化后的隨機向量Z=（Z1,Z2,Z3,…,Zn）T的研究需要得知其協(xié)方差矩陣∑，參數(shù)估計復雜度為O（n2），當n很大時，則難以完成。若對每一個Zi，都能表示為m個隨機變量（m«n）的和：1112+iiiimmiZ=lF+lF+l…F+∈，則稱Fj（j=1,2,3,…,m）為Z的公共因子，∈j為特殊因子，系數(shù)lij為第i個變量在第j個因子上的因子載荷。矩陣形式記為Z=LF+∈。注意正交因子分析若要進行下去，必須滿足的基本假設(shè)為類Gauss-Markov性：E（F）=0，Cov（F，F(xiàn)）=E（FFT）=I，E（∈）=0，Cov（∈，∈）=ψdiag（ψ2i），且F與∈獨立，即Cov（F，∈）=0。這是因為諸Fj是不可觀測的隨機變量，必須滿足上述假設(shè)，才能賦予一個可以驗證的方差結(jié)構(gòu)。另外，不難看出，因子分析的目的與主成分分析法是類似的，主要在于將屬性進行變量降維，并將協(xié)方差矩陣分解為低秩矩陣的和。它滿足以下幾個重要性質(zhì)：Σ=LLT+ψ,ρ(Z,F)=Cov(Z,F)=L,221()mijijiVarZϕ==∑l+，（i=1,2,3…n）。從上述三條性質(zhì)中可以看出總方差被成功分解為兩個部分。為了進一步研究此方差結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，定義變量共同度為221mijijh==∑l，同行的和反映了所有公共因子對單個原始變量Zi方差的貢獻，即所選m個因子對原始變量的解釋能力，φ2i則稱為剩余方差。又定義方差貢獻221mjjijg==∑l，同一列的和則反映了單個公共因子Fj對所有原始變量方差的貢獻，即第j個因子的相對重要程度。有趣的是，在主成分因子分析法中，該值即特征值λ。在實際應用中，尋找和確定因子是一件非常不容易的事，通常有兩種方法，其一是標準化的主成分法。主成分分解可表示為Y＝AZ，其中，Y=（Y1,Y2,Y3,…,YTK）為K個特征向量，對應特征值為λ1,λ2,λ3,…,λk。由于A為正交關(guān)系，故Z=ATY，取前m個特征值放入特征向量，其余放入特殊因子∈中即得對應形式。為了滿足假設(shè)，將Y標準化：即得jjjYFλ=，ijjjil=λα。此方法雖然有跡可循，但面臨問題是仍不能確定因子的代表意義，需進一步因子旋轉(zhuǎn)（由于與本文關(guān)系不大，此處略過）。其二是啟發(fā)法，直接猜想某個變量為因子，最著名的便是CAPM模型，猜想RM作為整個市場所有資產(chǎn)收益率的唯一公共因子。在啟發(fā)法下，因子載荷的估計可以用回歸法。由于啟發(fā)法猜想得到的m個因子可以直接觀測到，因此建立回歸方程Z=βF+∈，使用最小二乘法估計得到的系數(shù)矩陣β∧即為L。啟發(fā)法相對主成分法走上另一個極端，它能夠直接確定因子的意義，卻需要令人驚嘆的直覺。

五、投資學因子模型與統(tǒng)計學因子分析的關(guān)系

根據(jù)上文的敘述，通過對比因子模型與統(tǒng)計學因子分析的原理不難發(fā)現(xiàn)，兩者之間是特殊與一般的關(guān)系。以經(jīng)典的FamaFrench三因子模型為例，本質(zhì)上三個因子市場收益率、市盈率、市凈率就是對宏觀因素的一個猜測，相當于使用啟發(fā)法找出了三個因子，并在股票收益率面板數(shù)據(jù)上應用兩步回歸法進行因子估計。值得注意的是，為了應對宏觀因子不易測量的困難，二人絕妙地創(chuàng)造出了“Fama-FrenchXMY型因子”——使用公司特征的差異作為系統(tǒng)風險來源的代表因子。設(shè)某公司特征K將市場上所有公司等分為K組，按照K的取值由高到低（或由低到高）排序，K最大的一組平均收益率為X，最小的一組平均收益率為Y，則它們的差為XMY，也可以作為某個宏觀因素m的代理變量。m滿足：它對K高的公司影響與對K低的公司影響是不一樣的，即K組公司對m的暴露度不同。這樣XMY就可以作為m的代理變量（雖然不知道m(xù)具體是什么）。這一開創(chuàng)性設(shè)計也正解釋了二者輝煌的成就。探究多因子模型的統(tǒng)計學原理后，可以將這種洞見延伸至相關(guān)的其他模型。這里為CAPM模型提供類似的視角。CAPM模型認為，在投資者二階理性假設(shè)和完美市場假設(shè)下，如果市場組合是有效的，那么市場上任何一個資產(chǎn)i的期望收益率滿足Eri-rf=βi（Erm-rf），其中，2iMiMσβσ=，具體可參見朱光宇的研究成果[11]。若記超額收益率Ri=ri-rf，則CAPM模型可表示為ERi=βiERM。結(jié)合第四部分的討論，可以得出，CAPM模型是單指數(shù)模型在有效市場中的特殊形式，是市場收益率被猜想為唯一宏觀因素時的因子分析。如果CAPM模型假設(shè)成立，即證券i被公平定價，那么αi=0；然而，在實務中市場不一定有效，如果回歸結(jié)果表示應拒絕H0：αi=0，即0iα∧≠顯著，說明證券被錯估，從而可以進行套利?？梢哉f，CAPM模型是“特殊的特殊”，既保留了因子分析的智慧，又充滿了簡潔的美感，它的廣泛應用也體現(xiàn)了統(tǒng)計學與金融學結(jié)合的巨大魅力，有很廣闊的應用前景。

六、結(jié)語

本文詳細論述了投資學因子模型的構(gòu)建和統(tǒng)計學因子分析的范式，并創(chuàng)造性地探究了二者之間的關(guān)系。得出：因子模型作為統(tǒng)計學因子分析特殊形式，可以解決投資學因子模型在應用時對理論完備性的顧慮，也補全了國內(nèi)對因子模型理論研究的空白。此外，文章應用到的正交因子分析技術(shù)也可相應地運用到因子模型中，作為投資者尋找因子的有力武器。

作者:賈宗藝 單位:山東工商學院國際商學院