有理數(shù)的乘法教學(xué)案例精選(九篇)

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第1篇：有理數(shù)的乘法教學(xué)案例范文

關(guān)鍵詞：過程生成；基克問題解決模式；有理系數(shù)多項(xiàng)式；可約性；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2012）05-015-03

培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，已是各國(guó)教育改革中倍受關(guān)注的問題，然而我國(guó)的實(shí)際教學(xué)卻不盡如人意，尤其是高等數(shù)學(xué)課堂，大都沉浸在“定義性質(zhì)定理例題”的注入教學(xué)中，無(wú)益于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高與創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。為何如此？一是遺傳多年的傳統(tǒng)觀念的冥頑不化，二是教育研究重理論而不重實(shí)踐。筆者倡導(dǎo)“過程生成”教學(xué)理念，本文給出基于“過程生成”理念的基克問題解決模式教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)例。

一、過程生成理念

基于過程哲學(xué)思想，參照基礎(chǔ)教育新課改的三維目標(biāo)，筆者提出“過程生成”教學(xué)理念：

教學(xué)是動(dòng)態(tài)的知識(shí)生成過程。該過程始于某種背景，在思想、情操的層層支配下，激發(fā)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的步步追求，從而誘導(dǎo)已有知識(shí)、技能、方法的循循攝入，形成流變與合生：在流變中創(chuàng)造新知識(shí)、練就新技能、獲得新方法、增長(zhǎng)新智慧、形成價(jià)值觀、積聚創(chuàng)造能量。

過程生成不是過程與生成的簡(jiǎn)單疊加，而是強(qiáng)調(diào)在過程中生成(因?yàn)閷?duì)教學(xué)而言，有教學(xué)過程未必有生成，有生成未必有良好的過程),其中過程是基礎(chǔ)，生成是創(chuàng)造，二者缺一不可，相輔相成。

過程生成教學(xué)以過程哲學(xué)為世界觀，以意會(huì)哲學(xué)為認(rèn)知論，以知識(shí)在過程中生成為基本策略，以動(dòng)態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性、生成性為基本原則。

二、基克問題解決模式

20世紀(jì)初以來(lái)，人們對(duì)問題解決及其相關(guān)思維技能作了大量的研究，尤其是自皮業(yè)杰的認(rèn)知理論面世和認(rèn)知心理學(xué)產(chǎn)生以后，人們更熱衷于從認(rèn)知的角度來(lái)解釋人類解決問題的過程，更真實(shí)地描述了人類解決問題的動(dòng)態(tài)過程，基克問題解決模式(圖1所示)就是其中之一。

三、基于“過程生成”理念的基克問題解決教學(xué)模式

遵循“過程生成”理念，參照基克問題解決模式，提出基于“過程生成”理念的基克問題解決教學(xué)模式如下：

1、提出問題

2、理解表征問題

找出相關(guān)信息，忽略無(wú)關(guān)細(xì)節(jié)，分析詞句含義，理解表征問題。許多問題中，運(yùn)用圖形表征可能更有助于理解整個(gè)問題。在理解表征問題過程中，若問題的解析與頭腦中已有的的解題系統(tǒng)產(chǎn)生某種匹配(即“圖式激活”)，則直接進(jìn)入嘗試解答階段，否則需要尋求解答的路線。

3、尋求解答路線

尋求解答路線的一般方法可能有算法式和啟發(fā)式，常用的啟發(fā)式有目的分析法、逆向反推法、爬山法、類比思維法等。如果尋求失敗即退回到№2。

4、嘗試解決方案

亦即是執(zhí)行解答計(jì)劃，此時(shí)要保證每一個(gè)步驟的正確。

5、評(píng)價(jià)總結(jié)

當(dāng)完成某個(gè)解決方案后，要對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)。如果成功且滿意就停止，那么就要對(duì)求解過程予以完善且建構(gòu)；否則就退回到前面幾個(gè)階段，重新求解。

需要注意的是，如此分步只是一種表述形式，實(shí)際的問題解決過程并非為如此線性，可能是跳來(lái)跳去的、跨步的。

基于“過程生成”理念的基克問題解決教學(xué)重在體現(xiàn)具有動(dòng)態(tài)性、整體性、連續(xù)性、攝入性和生成性的問題解決過程。

四、案例設(shè)計(jì)

在高等代數(shù)教材或教學(xué)中，關(guān)于有理系數(shù)多項(xiàng)式的可約性都是直接定義本原多項(xiàng)式，直接給出高斯引理，直接給出愛森斯坦判別法，無(wú)益于數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。本文使用基于“過程生成”理念的基克問題解決模式，給出有理系數(shù)多項(xiàng)式的可約性問題的教學(xué)設(shè)計(jì)，意在拋磚引玉，達(dá)到棄絕注入式教學(xué)模式的目的。

1、問題提出

我們知道，在上只有一次多項(xiàng)式不可約多項(xiàng)式，在上只有一次或二次不可約多項(xiàng)式，但在上卻有任意次不可約多項(xiàng)式．那么就存在問題：如何判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式在上的可約性？

2、理解和表征問題

（1）分析聯(lián)想：激活基本圖式

有理數(shù)，即整數(shù)之比，聯(lián)想到解分式方程去分母，頓悟出：有理系數(shù)整系數(shù)。如，顯然與在上有相同的可約性，此例具有一般性。于是有理系數(shù)多項(xiàng)式在上可約性的研究可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式在上的可約性來(lái)研究。

（2）奇思異想：初擬求解路線

設(shè)，討論的可約性。因?yàn)檎禂?shù)容易處理，并且“在上可約在上也可約”，所以如果能證明“在上可約在上可約”，那么有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約性問題即可以轉(zhuǎn)化為整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)環(huán)上來(lái)研究，倘若如此豈不快哉！因此我們大膽地確定問題解決路線：

嘗試證明以上“期望”：在上可約在上可約；

當(dāng)“期望”成立時(shí)，尋求整系數(shù)多項(xiàng)式在整數(shù)環(huán)上可約性的判別方法。

3、尋求解答

探究：設(shè)且在上可約，為簡(jiǎn)明起見，簡(jiǎn)寫為，探究過程見圖2。

圖2說明：只要證明的系數(shù)互素，我們的期望就能夠?qū)崿F(xiàn)。注意到，其中是系數(shù)的最大公因數(shù)，所以的系數(shù)互素。于是所要證明的問題即是“由、的系數(shù)互素推出的系數(shù)互素。為了表述方便，稱系數(shù)互素的整系數(shù)多項(xiàng)式為“本原多項(xiàng)式”。這樣所證問題即可表為：

猜想I：本原多項(xiàng)式的乘積是本原多項(xiàng)式。

4、嘗試解決方案

（1）試證猜想I

設(shè)、都是本原多項(xiàng)式，且，，要證是本原多項(xiàng)式，即需證明。但因?yàn)榈南禂?shù)是抽象的而無(wú)法直接推演，故考慮反證法。

假如，為爭(zhēng)取更好的可用條件，取的素因子而代替。分析已知條件與的關(guān)系：因?yàn)?、都是本原多?xiàng)式，所以的系數(shù)中存在著不能被整除的數(shù)，的系數(shù)中也存在著不能被整除的數(shù)，于是應(yīng)抓住這些不能被整除的系數(shù)來(lái)“做文章”。不過因?yàn)榛蛘咧胁荒鼙徽南禂?shù)并不確定，所以如何“抓”就成了問題。然而“槍打出頭鳥”卻隱喻著深刻的數(shù)學(xué)哲理：第一個(gè)、最大的、最小的等等都是很好的數(shù)學(xué)方法！所以不妨設(shè)、…、但，、…、但，依此假設(shè)及素?cái)?shù)的性質(zhì)即可推得，獲得矛盾，所以猜想成立，亦即是得到了高斯引理。

至此我們得到結(jié)論“若，則在上可約在上可約”。于是可進(jìn)入。

第2篇：有理數(shù)的乘法教學(xué)案例范文

一、精心設(shè)計(jì)教學(xué)，充分暴露過程

教師要設(shè)計(jì)出科學(xué)、清晰的教學(xué)思路，暴露出數(shù)學(xué)家、教材編寫者、教師、學(xué)生的思維過程。教學(xué)思路不等于教師的思路，也不等于學(xué)生和教材的思路，更不等于數(shù)學(xué)家的思路，而是在協(xié)調(diào)上述4個(gè)思維過程（思路）相互關(guān)系上形成的一條以學(xué)生思維為核心、教與學(xué)協(xié)同發(fā)展的整體思路，這樣才能真正做到以思維過程為中心來(lái)組織教學(xué)。例如數(shù)學(xué)概念是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的“細(xì)胞”?，F(xiàn)行九年義務(wù)教學(xué)教材中許多內(nèi)容都簡(jiǎn)化了概念的提出過程，省略了暴露概念提出的豐富知識(shí)背景及發(fā)展、探索過程，而這些概念是如何抽象、概括的，解決問題的方法是如何構(gòu)想的，學(xué)生都甚感茫然。因此教師不應(yīng)急于把概念全盤托出、一言了之，而應(yīng)精心探究，重新組織教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)合理而完美的教學(xué)流程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過程，充分暴露知識(shí)的背景，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情景，以順應(yīng)學(xué)生的心理需求和思維發(fā)展規(guī)律。例如在教學(xué)有理數(shù)乘方概念時(shí)，可通過設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣的提問，引入概念：（1）棱長(zhǎng)是5厘米的正方體的體積如何表示?（2）4個(gè)負(fù)6相乘，用式子如何表示?4個(gè)字母a相乘呢?（3）上述幾個(gè)式子都是什么運(yùn)算?（4）乘法運(yùn)算的結(jié)果是什么?（5）上述各式的因數(shù)有何關(guān)系?（6）提出乘方概念。然后安排一些坡度適宜的題以使學(xué)生初步形成乘方概念。這樣的概念教學(xué)不僅能充分暴露問題的提出、發(fā)展過程，而且能使學(xué)生在整個(gè)過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，達(dá)到思有源泉、思有方向、思有順序、思有所獲。

總之，講解概念要求構(gòu)建情境，提供素材，揭示概念的形成過程；講解定理（公式）要求模擬定理（公式）的發(fā)現(xiàn)過程；例題、習(xí)題的教學(xué)要求探索變式，拓廣成果，對(duì)解題思路進(jìn)行內(nèi)化、深化探索，總結(jié)升華，也就是說，應(yīng)注意數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，知識(shí)的形成、發(fā)展過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程，使學(xué)生在這些“過程”中展開思維，發(fā)展能力。

二、反思學(xué)生所想，倒攝暴露思維

學(xué)生解題往往只注重結(jié)論的正確與否，而很少關(guān)注這個(gè)結(jié)論的思維過程，并從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，深化知識(shí)。因此，教師看到學(xué)生的正確答案時(shí)，不能就此滿足，而應(yīng)該啟發(fā)如何發(fā)現(xiàn)、選擇與調(diào)控解題思路，引導(dǎo)學(xué)生（根據(jù)需要和可能）去反思思維過程，倒攝結(jié)論的形成路線，達(dá)到暴露思維的目的。例如在一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系應(yīng)用的一節(jié)習(xí)題課教學(xué)中，我叫一名學(xué)生板演習(xí)題：已知兩數(shù)a、b滿足ab≠1，且2a+8a+3=0，3b+8b+2=0，則有=（）。這個(gè)學(xué)生觀察片刻，便添上了正確答案1.5。如此神速，令一些同學(xué)目瞪口呆。我抓住契機(jī)，誘導(dǎo)學(xué)生自我倒攝思維過程，既優(yōu)化了該生自身的思維品質(zhì)，又啟迪了其他學(xué)生的思維。

計(jì)算是七年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，如何把握這一重點(diǎn)，突破這一難點(diǎn)呢?例如在上完有關(guān)冪的性質(zhì)后，進(jìn)入下一階段――單項(xiàng)式的乘除法時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)例題：

（1）請(qǐng)分別指出（-2）×2，-2×2，-2-2，2-2的意義。

（2）請(qǐng)判斷下列各式：

①a+a=a

②a÷a=a=a

③-ag（-a）=（-a）+2=-a

④（-a）÷a=0

⑤（a-2）?a=a+3+1=a

解后我便引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧小結(jié)：（1）計(jì)算常出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤?（2）出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的原因有哪些?（3）怎樣克服這些錯(cuò)誤呢?同學(xué)們各抒己見，針對(duì)各種“病因”開出了有效的“方子”。實(shí)踐證明，這樣的例題教學(xué)是成功的，學(xué)生在計(jì)算的準(zhǔn)確率、計(jì)算的速度兩方面都有了極大的提高。

三、實(shí)施小題大做，顯微暴露思維

數(shù)學(xué)中的許多細(xì)小部分往往蘊(yùn)涵著十分豐富的思想內(nèi)含，存在著很大的訓(xùn)練價(jià)值。在這些地方教師要善于化隱為顯，“小題大做”，挖掘其精髓，促使學(xué)生在顯微中充分暴露思維過程，發(fā)揮其應(yīng)有的潛在功能。這樣不僅能活躍學(xué)生思維，拓寬思路，而且能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)探索能力，長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，形成良性循環(huán)，十分有利于學(xué)生智力的發(fā)展和數(shù)學(xué)能力的提高。例如絕對(duì)值概念：

|a|=a（a>0）0（a=0）-a（a

教師教會(huì)學(xué)生這一代數(shù)定義固然重要，但更重要的是引導(dǎo)學(xué)生清晰地領(lǐng)會(huì)利用分類思想解決問題的方法。所以在講授時(shí)應(yīng)采用慢鏡頭式的思維剖析，暴露分類思想的思維過程，為后面的廣泛應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如學(xué)生在解“ax+b＝cx+d”類型的一元一次方程時(shí)，很容易在符號(hào)上出錯(cuò)，從而導(dǎo)致答案的錯(cuò)誤。教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行“小題大做”，顯微暴露。

解方程6x-7=4x-5，學(xué)生板練如下：

解：6x+4x=7-5 10x=2 x=0.2 （1）

我在教學(xué)過程中并沒有隨口問：“同學(xué)們，這個(gè)同學(xué)做得對(duì)嗎？”而是問：“同學(xué)們，還有其它不同的解答嗎？”學(xué)生陷入了沉思，經(jīng)過演算，又有許多同學(xué)舉手了，其他解答如下：

解：6x-4x=-5-7 2x=-12x=-6 （2）

解：6x-4x=-5+72x=2 x=1（3）

“那么這個(gè)一元一次方程到底還有沒有其它的解呢？如果有的話，一共有多少個(gè)解呢？”

討論結(jié)果是：這個(gè)一元一次方程的解只有一個(gè)，解法（3）才是正確的。

學(xué)生在學(xué)習(xí)一元一次方程“ax+b=cx+d”的解法時(shí)，逐步體會(huì)到了化歸思想（使方程逐步轉(zhuǎn)化為“x＝a”形式），而在這個(gè)過程中出現(xiàn)各種錯(cuò)誤（主要是忽略了方程的項(xiàng)是連同前面的符號(hào)）是學(xué)生（特別是基礎(chǔ)不夠扎實(shí)的同學(xué)）的共性，我根據(jù)其數(shù)學(xué)思維過程的呈現(xiàn)，引導(dǎo)他們積極探索，使他們經(jīng)歷了“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動(dòng)的基本過程，優(yōu)化了學(xué)生的思維品質(zhì)，提高了數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)了創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

我曾經(jīng)聽過《多邊形的內(nèi)角和》的教學(xué)的一堂優(yōu)質(zhì)課：執(zhí)教老師這樣安排學(xué)生探究，逐步暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生在過程學(xué)習(xí)中掌握數(shù)學(xué)思想方法：

探索一：老師拿出一張四邊形紙片，請(qǐng)同學(xué)們回答這四邊形的內(nèi)角和為多少度？

學(xué)生用多種方法得出結(jié)果：1.直接量出每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，然后相加；2.把四邊形分成三角形，計(jì)算內(nèi)角和；3.利用已經(jīng)知道的結(jié)果；……

引導(dǎo)學(xué)生思考：在方法2中有幾種不同的分法？

探索二：再拿出一張五邊形紙片，要求學(xué)生用分割成三角形的方法，求五邊形的內(nèi)角和。如果是六邊形、七邊形呢？

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)了不同的探索方案后，再引導(dǎo)學(xué)生思考：從剛才的探究中，你又發(fā)現(xiàn)了什么？你是怎么推導(dǎo)出來(lái)的？這種思考方法對(duì)自己今后學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)？

通過親身體驗(yàn)、反思，學(xué)生獲得了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)了從多角度去思考體會(huì)探索的方法、策略，并在探究中不斷地展現(xiàn)自己的思維過程，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識(shí)和能力的相互溝通，提高了問題解決的能力。

四、了解學(xué)生難惑，鋪墊暴露思維

數(shù)學(xué)解題過程是思維的過程，解題方法的優(yōu)劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低。而思維的提高與發(fā)展又依賴于解題過程中所創(chuàng)設(shè)的問題情景，所以解題訓(xùn)練是培養(yǎng)思維能力的良田沃土。一般來(lái)說，綜合性能愈強(qiáng)，知識(shí)跨度愈大的數(shù)學(xué)題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，學(xué)生就愈難以理解，思維的訓(xùn)練價(jià)值愈大。這就要求教師精心設(shè)計(jì)，作必要的鋪墊，以減少坡度，順利地從未知引渡到已知。這種鋪墊引渡，實(shí)質(zhì)上就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來(lái)，化作切實(shí)可行的小步子。例如學(xué)過二次函數(shù)的頂點(diǎn)式內(nèi)容之后，讓學(xué)生解答這樣一道題目：（如圖1）在一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，問此球能否投中？

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學(xué)生紛紛建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2），點(diǎn)（4，4）是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)式解得這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：y=-（x-4）+4（0≤x≤8）

當(dāng)x=8時(shí)，y=

籃圈中心距離地面3米

此球不能投中

個(gè)別學(xué)生運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性，觀察出該拋物線經(jīng)過了（8，）點(diǎn)，得出了同樣的結(jié)論。

學(xué)生一般做完題就萬(wàn)事大吉，很少有人能夠深入地反思，因此錯(cuò)過了研究探索的契機(jī)。我不失時(shí)機(jī)地發(fā)揮指導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生思索。

師：若假設(shè)出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球命中?

生：跳得高一點(diǎn)；向前平移一點(diǎn)。

師：在出手角度和力度都不變的情況下，小明的出手高度為多少時(shí)能將籃球投入籃圈?（如圖3）

師：在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃，也能將籃球投入籃圈？（如圖4）

這是一個(gè)以學(xué)生日常生活為背景，適合初中學(xué)生探究的問題，學(xué)生可以初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度去解決實(shí)際問題，掌握數(shù)學(xué)的思維方法，將探究、創(chuàng)新活動(dòng)貫穿于課堂教學(xué)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動(dòng)灌裝變?yōu)橹鲃?dòng)的探索，學(xué)生的自主性、能動(dòng)性和創(chuàng)造性得到培養(yǎng)?？梢婁亯|思維暴露，實(shí)質(zhì)是給學(xué)生架設(shè)“梯子”，促使學(xué)生思維躍上“臺(tái)階”。

五、開展誘錯(cuò)悟誤，糾繆暴露思維

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的思維錯(cuò)失和思維定勢(shì)偏差往往帶有很強(qiáng)的主觀性，常又具有普遍性。抓住它作剖析治理，有較大的訓(xùn)練價(jià)值?！吨行W(xué)數(shù)學(xué)》初中（教師）版2004年第5期刊登了這樣的教學(xué)案例：一位初一的老師在講完負(fù)負(fù)得正的規(guī)則后，出了這樣一道題：“3×（-4）=?”A學(xué)生的答案是“9”。老師一看：“錯(cuò)了!”于是馬上請(qǐng)B同學(xué)回答，這位同學(xué)的答案是“12”，老師便請(qǐng)他講一講算法：……下課后聽課的老師對(duì)給出錯(cuò)誤的答案的學(xué)生進(jìn)行訪談，那位學(xué)生說：站在-3這個(gè)點(diǎn)上，因?yàn)槌艘浴耙弧?，所以要沿著?shù)軸向相反方向移動(dòng)四次，每次移三格，故答案為9。他的答案的確錯(cuò)了，怎么錯(cuò)的?為什么會(huì)有這樣的想法?又怎樣糾正呢?如果我們的例題教學(xué)能抓住這一契機(jī)，并就此展開討論、反思，無(wú)疑比講十道、百道乃至更多的例題來(lái)鞏固法則要好得多，而這一點(diǎn)恰恰容易被我們所忽視。因此，教師有時(shí)還應(yīng)有必要采用多種手段如相似因素的遷移、思維定勢(shì)的誘導(dǎo)、特殊條件的遺漏、應(yīng)具條件的欠缺、沖動(dòng)心態(tài)的干擾、終極目標(biāo)的誘惑等巧妙設(shè)置某種誘誤情境，讓學(xué)生充分暴露病源，然后引導(dǎo)他們進(jìn)行自我治療，從“陷阱”中掙扎出來(lái)，走出誤區(qū)，吃塹長(zhǎng)智。但是學(xué)生在學(xué)習(xí)中的謬誤，有時(shí)比較隱蔽，隱藏于深層次中，不充分暴露思維過程，就治不到“點(diǎn)”子上，挖不到“根”子上。教師在為學(xué)生糾繆救失時(shí)，要重視思維過程的展現(xiàn)，以便從深層次上作診斷和矯治。例如：已知等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則頂角等于?搖?搖?搖?搖。學(xué)生往往錯(cuò)解為30°，錯(cuò)誤的原因就是學(xué)生沒有認(rèn)真理解“三角形的高”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。他們認(rèn)為“三角形的高”都在三角形內(nèi)部。學(xué)生通過反思、討論，知道鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，從而得到另一解為150°。通過反思，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)本題的錯(cuò)誤在于對(duì)圖形的分類不全面造成漏解。

總之，面對(duì)學(xué)生的失誤，老師不要過早地點(diǎn)明，而應(yīng)在暴露學(xué)生思維失誤的過程中，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)，并在老師的正確思維的積極引導(dǎo)下自我糾偏。同時(shí)，在糾繆過程中彌補(bǔ)學(xué)生的知識(shí)缺陷和思維缺陷，更有力地促進(jìn)思維日益縝密。

六、言盡但是意存，延伸暴露思維

教師指導(dǎo)學(xué)生解題，常有這種現(xiàn)象，題目解完了，但學(xué)生的思維過程并沒有就此結(jié)束，正在向縱深拓進(jìn)，可謂“言盡意存”。教師若能有效地抓住這個(gè)理想的思維機(jī)會(huì)，把延伸的思維過程揭示出來(lái)，也是很有訓(xùn)練價(jià)值的。譬如，解后審視解題過程，評(píng)價(jià)原認(rèn)識(shí)過程、檢查解題過程是否準(zhǔn)確，討論或論證是否嚴(yán)密，方法是否恰當(dāng)，有沒有更簡(jiǎn)潔更高明的方法，對(duì)所得到的結(jié)果能否進(jìn)一步引申推廣，能否總結(jié)出規(guī)律來(lái)，等等。例如：已知一元二次方程ax+bx+c=0，兩實(shí)根的平方和為m，兩實(shí)根的和為n，試求am+bm+2c的值。對(duì)于此題，很多學(xué)生在練習(xí)時(shí)，沒有清晰的思路；有些學(xué)生考慮了根與系數(shù)的關(guān)系，雖然能解出此題，但過程較為繁瑣。于是我在點(diǎn)評(píng)時(shí)，鼓勵(lì)大家反思題目已知及所求目標(biāo)的特征，比較所求目標(biāo)am+bm+2c與方程ax+bx+c=0，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們中a、b、c出現(xiàn)的順序完全一致，只是目標(biāo)中c的系數(shù)為2，方程中c的系數(shù)為1，而從1到2的最簡(jiǎn)單的方法就是加法。經(jīng)過如此反思、探索，基礎(chǔ)較好的學(xué)生馬上頓悟：為什么不利用方程根的定義來(lái)解決這一問題呢？于是得到了簡(jiǎn)捷的求法。

通過對(duì)解題思維的反思，學(xué)生重新審查題意，更正確、完整、深刻地理解了題目的條件和結(jié)論，激活了思維，開闊了思路，使思維的靈活性在變換和化歸的訓(xùn)練中得到了培養(yǎng)和發(fā)展。

綜上所述，通過延伸思維引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)和領(lǐng)悟解題中的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法，積累對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系的整體感知，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的評(píng)價(jià)能力、發(fā)散能力、創(chuàng)造能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)大有裨益。過程教學(xué)是很精彩的，但必須是科學(xué)的、合理的、自然的，否則，過程教學(xué)就只是花架子，起不到任何培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。

參考文獻(xiàn)：

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