函數(shù)概念精選(九篇)

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第1篇：函數(shù)概念范文

對于高一的學(xué)生來講，初學(xué)高中函數(shù)時，初中的概念還比較牢固.并且學(xué)生在初中接觸的都是一次函數(shù)、兩次函數(shù)、反比例函數(shù)等對應(yīng)關(guān)系用函數(shù)解析式來表示的函數(shù)，所以把“對應(yīng)法則” 等同于函數(shù)解析式就一點也不奇怪了。

高中的函數(shù)定義明確了聯(lián)系兩個變量的是“對應(yīng)法則”，提到對應(yīng)法則往往用函數(shù)“解析式”表示，并且提到 “當(dāng)函數(shù)的變量之間的對應(yīng)關(guān)系不適合或難以用解析式刻畫時，圖或表是有效的表示函數(shù)的方法”也就是說，對應(yīng)法則不僅僅是函數(shù)解析式。但并沒對“對應(yīng)法則”進(jìn)行進(jìn)一步解讀，更沒有提到兩個函數(shù)解析式的形式不同但對應(yīng)法則相同的例子，所以學(xué)生對”對應(yīng)法則”的理解比較初中提升有限。

在這個問題中，用來表示對應(yīng)法則的解析式僅僅是形式不同而已，它們都把相同的自變量x對應(yīng)到相同的函數(shù)值y，所以它們都是相同的一種對應(yīng)法則.也就是說一個對應(yīng)法則可以有不同的解析式表示形式，比如函數(shù) 也和上面的函數(shù)是同一函數(shù).但如果把定義域稍作改變，均改為上面的兩個函數(shù)就不是同一個函數(shù)了，對于來講，它所對應(yīng)的y不同.這說明這兩個解析式代表的對應(yīng)法則是否相同還與函數(shù)的定義域與有關(guān)。

總之，如果兩個函數(shù)定義域相同，相同x的值對應(yīng)的y相同，我們就認(rèn)為這兩個函數(shù)的對應(yīng)法則相同（即使函數(shù)解析式形式不同），這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)。

高中階段給學(xué)生講清楚“對應(yīng)法則”與“函數(shù)解析式”的聯(lián)系與區(qū)別，無疑會加深高中學(xué)生對函數(shù)概念中函數(shù)概念的本質(zhì)理解.

其實不僅很多中學(xué)生把“對應(yīng)法則”與“函數(shù)解析式”混為一談，有些數(shù)學(xué)系畢業(yè)的大學(xué)生對這兩個概念也是模糊的，我們曾用這個問題問過某重點師范大學(xué)剛剛畢業(yè)的碩士生，她的回答竟然也是“不是同一個函數(shù)”，甚至有些教學(xué)多年的教師對這個問題的認(rèn)識也是錯誤的.實際上，“對應(yīng)法則”與“函數(shù)解析式”沒有搞清楚，對函數(shù)概念的理解就是不完整的，在后面函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中也會引發(fā)出問題。

教學(xué)中需要通過練習(xí)鞏固概念，再從討論、反饋中深化概念，通過從具體到抽象的過程，使學(xué)生深入理解函數(shù)的實質(zhì)，避免概念教學(xué)的抽象與枯燥，完成函數(shù)概念的內(nèi)化。這方面可以借鑒國外的做法：英國教材由實際情景得到表達(dá)式，再得到數(shù)據(jù)，描點作出圖像，利用曲線解決實際問題，在實際問題的解決中引入函數(shù)概念。還可以利用其它手段加強對函數(shù)理解，比如德國初中由機器運算寄存器的有關(guān)知識展開所熟悉的簡單算法，讓學(xué)生在編寫簡單程序的同時開始學(xué)習(xí)變量、函數(shù)。

第2篇：函數(shù)概念范文

關(guān)鍵詞：運動 變化 思維轉(zhuǎn)化

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。函數(shù)知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從中學(xué)數(shù)學(xué)知識的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。因此，函數(shù)的學(xué)習(xí)非常重要，應(yīng)當(dāng)給予充分的重視。

一、函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的原因分析

1．函數(shù)概念本身的原因

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，個體的心理發(fā)展過程是人類社會認(rèn)識發(fā)展過程的簡約反映。因此，學(xué)生掌握函數(shù)概念的過程要簡約地重演數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展中對函數(shù)的認(rèn)識過程，普遍出現(xiàn)認(rèn)識上的困難是比較自然的。另外，從函數(shù)概念本身看，以下特點會造成學(xué)生理解上的困難。

（1）“變量”概念的復(fù)雜性和辯證性。函數(shù)涉及較多的子概念：映射、非空數(shù)集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應(yīng)、對應(yīng)法則，等。其中，“變量”被當(dāng)成不定義的原名而引入，是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復(fù)，于學(xué)生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關(guān)鍵在于“變”，而“變”在現(xiàn)實中與時、空相關(guān)，但數(shù)學(xué)中對時、空是沒有定義的。

另外，數(shù)學(xué)中的“變量”與日常生活經(jīng)驗有差異。從日常經(jīng)驗看，“變量”不可能與“確定”聯(lián)系在一起，而且變量的形式表示之間沒有可替代性。但數(shù)學(xué)中的“變量”具有形式的可替代性，因此，變量概念的形成是辯證法在數(shù)學(xué)中運用的典范。

（2）函數(shù)概念表示方式的多樣性。函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應(yīng)、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數(shù)概念來。與其他數(shù)學(xué)概念相比，由于函數(shù)概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關(guān)系，常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此容易造成學(xué)習(xí)上的困難。

能否正確地使用函數(shù)的不同表示形式，靈活地對不同的表示進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是考察函數(shù)概念形成水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。

2．學(xué)生思維發(fā)展水平方面的原因

心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生掌握概念的一般特點是：概念的識別優(yōu)于概念特征的說明，概念外延的掌握優(yōu)于概念內(nèi)涵的掌握。對概念內(nèi)涵的掌握，取決于概念本質(zhì)特征的多少以及它們之間的關(guān)系。本質(zhì)屬性越多、越鮮明，概念形成越容易；非本質(zhì)屬性越多、越明顯，概念形成越難。對于所有概念，都是先掌握具體概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辯證概念。

函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思維運算，進(jìn)行符號語言與圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換。但在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形基本上是割裂的。理解函數(shù)概念時，需要學(xué)生在頭腦中建構(gòu)一個情景（解析式的、表格的或圖形的），使得函數(shù)的對應(yīng)法則能夠得到形象的、動態(tài)的反映；函數(shù)是對應(yīng)法則、定義域、值域的統(tǒng)一體，學(xué)生應(yīng)當(dāng)領(lǐng)會它們之間的相互制約關(guān)系，對三者進(jìn)行整體把握。像這種抽象地、動態(tài)地、相互聯(lián)系地、整體地認(rèn)識研究對象，而且要在頭腦中把整個動態(tài)過程轉(zhuǎn)化為研究對象來研究，這就需要學(xué)生的思維在靜止與運動、離散與連續(xù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。但是，學(xué)生的思維發(fā)展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學(xué)習(xí)任務(wù)。

總之，學(xué)生的辯證邏輯思維處于發(fā)展的初級階段，與函數(shù)概念的運動、變化、聯(lián)系的特點非常不適應(yīng)，這是構(gòu)成函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的主要根源。不過，正因為函數(shù)概念所具有的這種特性，才使它在促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展中起著別的數(shù)學(xué)內(nèi)容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)折點。

二、函數(shù)概念的教學(xué)

1.重視函數(shù)概念的形成過程

函數(shù)概念產(chǎn)生于研究變量之間關(guān)系的需要，函數(shù)是描述數(shù)學(xué)和現(xiàn)實問題的有效工具。學(xué)生已有經(jīng)驗中存在許多可以用以說明函數(shù)產(chǎn)生過程的實例。例如：

通過引導(dǎo)學(xué)生對表格進(jìn)行觀察，有的學(xué)生會注意到，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°；通過歸納，有的學(xué)生會猜測到邊數(shù)與內(nèi)角和之間存在下列關(guān)系：Sn＝180°（n－2）。這是一個一次函數(shù)。這個過程可以使學(xué)生建立起對變量之間變化關(guān)系的直觀感受，這對理解函數(shù)概念是很重要的。

為了使學(xué)生獲得關(guān)于猜想正確性的自信心，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生采用不同方法來探索同一個問題。例如，上述問題還可以用畫圖的方法進(jìn)行探索：從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內(nèi)角和增加了180°。

另外，由圖還可以得到如下想法：從n邊形的一個定點畫出所有對角線，恰好得到（n－2）個三角形，于是內(nèi)角和公式得到確證。

另外，循著“從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內(nèi)角和增加了180°”，還可以用遞推的方法：“后繼數(shù)＝前數(shù)＋180°”。

之所以要鼓勵學(xué)生采用多種表示方式探索規(guī)律，目的是為了使學(xué)生由此體驗函數(shù)關(guān)系的產(chǎn)生過程，為后面的抽象概念學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。實際上，在探索過程中，學(xué)生可以獲得變量之間相互依賴關(guān)系的切身感受，這種感受對于理解抽象的函數(shù)概念是非常重要的。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)多采用學(xué)生熟悉的具體實例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識其中的變量關(guān)系。另外，在上述過程中，學(xué)生所使用的主要是歸納的思維形式：通過歸納，探尋規(guī)律。歸納之重要性，不僅在于由它可以猜想結(jié)論，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，而且還在于它采用了由具體到抽象、由特例到一般的形式，這就可以使推理建立在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。

2．重視對變量概念的理解

“變量”是函數(shù)概念的核心，但發(fā)展學(xué)生對變量概念的理解需要一個較長的過程。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，學(xué)生從代數(shù)式、方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中獲得了關(guān)于變量的一定理解。例如，他們已學(xué)會解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程組；能夠作恒等變形；會使用公式S＝πr2求圓的面積；另外，通過解二元一次方程，他們體驗到對于方程y＝2x＋1，可以有無數(shù)多個有序數(shù)對（x，y）滿足它，等等。這些是學(xué)生學(xué)習(xí)“變量”概念的基礎(chǔ)。教師應(yīng)當(dāng)以此為基礎(chǔ)，使學(xué)生認(rèn)識“變量可以在某種約束條件下取不同的值”，以及在這個約束條件下變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的變量概念。

3．重視不同表示方式之間的轉(zhuǎn)換

通常，在人們頭腦中，函數(shù)的表示主要使用解析式，但實際上各種表示（語言的、圖像的、表格的、符號的）之間的相互轉(zhuǎn)換，可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。

4.重視函數(shù)概念的實際應(yīng)用

抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過具體的應(yīng)用才能得到深刻理解。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，可以通過用函數(shù)性質(zhì)比較大小、求解方程、求解不等式、證明不等式等活動，深化對函數(shù)概念的理解。還要注意用函數(shù)知識解決實際問題的訓(xùn)練。實際上，函數(shù)是非常重要的“數(shù)學(xué)建模”工具，現(xiàn)實中的許多問題都是通過建立函數(shù)模型而得到解決的。同時，在解決實際問題的過程中，學(xué)生對函數(shù)概念以及與它相關(guān)的變量、代數(shù)式、方程等知識都能夠加深理解。

第3篇：函數(shù)概念范文

從數(shù)學(xué)角度看，函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的重要概念，它既是數(shù)學(xué)研究的對象，同時也是數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常采用的一種思想方法。在引入函數(shù)概念之前，數(shù)學(xué)研究的是靜態(tài)的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)課程引入函數(shù)概念以后，使研究的內(nèi)容增添了運動變化的問題；基本初等函數(shù)使中學(xué)生的數(shù)學(xué)頭腦更為靈活；函數(shù)圖像是使中學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的典范；三角函數(shù)成為中學(xué)生研究三角形以及周期變化的主要用具；解析幾何中曲線的方程f（x，y）=0實際上是隱函數(shù)，可以使學(xué)生了解解析式與幾何圖形的緊密關(guān)系；歸納中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，得到的結(jié)論是：函數(shù)是個綱，綱舉目張。學(xué)生第一次認(rèn)識函數(shù)是在初中階段。初中數(shù)學(xué)中要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、正反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)等知識，這些知識在初中數(shù)學(xué)中無論數(shù)量還是影響力都居于重要位置，函數(shù)概念屬于最基本的知識。現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)里對函數(shù)定義的描述是：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值y都有唯一的一個值與它對應(yīng)，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)。對于函數(shù)概念的內(nèi)涵只要稍加分析，不難發(fā)現(xiàn)它著重強調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對應(yīng)”，而且確定了y對x的單值對應(yīng)關(guān)系，這一點恰恰是現(xiàn)代函數(shù)對“映射”的要求，但是它卻沒有從“集合”范圍來描述函數(shù)，所以沒有明確地涉及到定義域及值域。因此觀之，現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)中函數(shù)定義只是函數(shù)概念三個要素中的“單值對應(yīng)”關(guān)系而已。

函數(shù)是一個抽象的概念，需要學(xué)生逐步深入地了解，初中時期對函數(shù)的了解應(yīng)是初步的。學(xué)生如果沒有“集合”“映射”等知識基礎(chǔ)時，要了解函數(shù)只有通過一些具體例子來實現(xiàn)，主要體會變量間的“單值對應(yīng)”關(guān)系。而對于自變量的定義域、值域等，教師可以先不去過多探討，以避免分散學(xué)生對概念的了解。因為初步接觸函數(shù)概念時只強調(diào)關(guān)注變化中的對應(yīng)關(guān)系，所以對于常值函數(shù)y=f（x）=c（常數(shù)），不宜過早涉及。學(xué)生剛剛接觸到常量與變量的概念，還不十分理解常值函數(shù)y是一個特殊的變量，不可能提高到映射的高度上領(lǐng)會函數(shù)概念中的“對應(yīng)”存在“多對一”的關(guān)系（這時并不強調(diào)y一定是變量）。這些知識都可以在今后的學(xué)習(xí)中逐步掌握，操之過急，反而會造成“欲速則不達(dá)”的結(jié)果。運用函數(shù)圖像的直觀性認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)，是研究函數(shù)的重要手段，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合這一至關(guān)重要的數(shù)學(xué)理念。如正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)），是中學(xué)生正式學(xué)習(xí)的第一類具體函數(shù)，如何引導(dǎo)學(xué)生熟悉它的圖像呢？人教版教科書的做法是先用描點法畫出函數(shù)y=x和y=-x的圖像，然后啟發(fā)學(xué)生從中尋找規(guī)律，得出結(jié)論：正比例函數(shù)的圖像是一條直線，且過原點，當(dāng)k>0時，直線經(jīng)過第一、第三象限；當(dāng)k

（遵義縣鴨溪鎮(zhèn)中學(xué)）

第4篇：函數(shù)概念范文

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué) 函數(shù)概念 教學(xué)

1. 概念滲透階段，初步認(rèn)識變量之間的相互關(guān)系

函數(shù)與我們每個人的生活息息相關(guān)，函數(shù)關(guān)系充斥著我們的生活，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念，函數(shù)思想貫穿中學(xué)教材的始終。首先，從初一代數(shù)“對字母表示數(shù)的認(rèn)識”開始，學(xué)生體驗、認(rèn)識到了“變量”，在教學(xué)中教師要促使學(xué)生感受到變量的意義，體驗變量的概念.其次，在“代數(shù)式的值”、“數(shù)軸和坐標(biāo)”的教學(xué)中再滲透變量的含義，讓學(xué)生通過對代數(shù)式中字母取值之間的相互關(guān)系，滲透關(guān)于“對應(yīng)”概念的初步思想，感受到變量之間的相互聯(lián)系。最后，隨著代數(shù)式、方程的研究滲透這一觀念，特別是“二元一次方程”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生感受兩個變量之間是彼此關(guān)聯(lián)的。通過這樣的鋪墊，經(jīng)過一定量的知識累積，引導(dǎo)學(xué)生體會變量之間的相互依存的關(guān)系。

2. 概念認(rèn)知階段，逐步感知變量之間的內(nèi)在聯(lián)系

在初二幾何部分教學(xué)中，教材中涉及函數(shù)關(guān)系的例子非常多。比如“角的平分線的定義”、“中點的定義”、“角度之間的互余、互補”等都揭示了兩個變量之間的聯(lián)系。另外像“平行線四邊形的性質(zhì)”、“中位線定理”等等都蘊涵著函數(shù)關(guān)系。一方面，教師在傳授這些知識點的 過程中要有不斷滲透變量的意識，即在現(xiàn)實生活中存在著大量的變量，且變量之間并不是獨立的，而是相互聯(lián)系的；另一方面，要指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識的過程中熟悉把“幾何問題代數(shù)化”的方法，為函數(shù)的代數(shù)和幾何方法的相結(jié)合打好必要的基礎(chǔ)，為后續(xù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)作好充分的鋪墊。

函數(shù)概念的形成用物理上的知識點滲透變量意識，是非常直觀而且有效的方法。物理書中的很多知識點都是促成學(xué)生形成函數(shù)概念的較好素材。比如速度計算公式v=st中的速度、時間和路程，壓強計算公式P=F/S中壓力、受力面積和壓強之間的關(guān)系都是典型的函數(shù)關(guān)系。從多方面、多學(xué)科進(jìn)行滲透，強化變量之間是相互聯(lián)系的觀念。

3. 概念引入階段，順利形成函數(shù)概念的感知認(rèn)識

“建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論”認(rèn)為：“應(yīng)把學(xué)生看成是學(xué)生主動的建構(gòu)活動，學(xué)習(xí)應(yīng)與一定的知識、背景即情境相聯(lián)系；在實際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有的知識與經(jīng)驗同化和索引出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中?！?/p>

在學(xué)生對變量意識以及變量之間相互依存關(guān)系有了初步認(rèn)識以后，函數(shù)概念的教學(xué)前期準(zhǔn)備工作已經(jīng)基本完成，接下來就可以開始函數(shù)概念的講授了。教師在教授函數(shù)概念時，一定要合理設(shè)置教學(xué)情境，要讓學(xué)生清醒地感受到變量意識，然后再講清楚“自變量”、“函數(shù)”的名稱及含義，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用這些名詞來敘述變量間的依存關(guān)系，從而熟悉函數(shù)概念。

當(dāng)然學(xué)生這時對函數(shù)的理解還并不太清晰，正比例函數(shù)、一次函數(shù)都是比較簡單的函數(shù)，在實際生活中也是大量存在的，例如相似三角形、30°角的直角三角形中對應(yīng)邊之間的比例關(guān)系是正比例函數(shù)等等。具體例子可以使學(xué)生清楚地認(rèn)識到兩個變量之間的聯(lián)系及共性，函數(shù)的概念就會逐漸在學(xué)生的腦海中留下印記，在以后的反比例函數(shù)和二次函數(shù)的教學(xué)中，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深入理解函數(shù)概念的內(nèi)涵與實質(zhì)。教師在實際教學(xué)中能從整體上把握教學(xué)，就可以挖掘出最適宜的教學(xué)方法，使學(xué)生深刻理解函數(shù)的實質(zhì)。

4. 概念延伸階段，逐漸適應(yīng)函數(shù)的學(xué)習(xí)方法

函數(shù)的學(xué)習(xí)方法與以前代數(shù)和幾何的學(xué)習(xí)方法有著明顯的不同。進(jìn)入函數(shù)表達(dá)式開始，由于函數(shù)的表達(dá)是多樣化的，有圖像法、列表法、解析式法等，許多學(xué)生很不適應(yīng)，怎樣在教學(xué)函數(shù)時使學(xué)生逐漸適應(yīng)這種多樣化呢？在函數(shù)概念的實際教學(xué)中，我一般采用教師引導(dǎo)式：先從實際問題引入概念，鼓勵學(xué)生以討論的方式，注重分析啟發(fā)、鞏固反饋，使學(xué)生一點點地認(rèn)識到函數(shù)概念的共同特性；了解不同的方法表示函數(shù)的方法在不同情況下的使用情況。

另外，“數(shù)形結(jié)合法”是函數(shù)學(xué)習(xí)的最重要的學(xué)習(xí)方法，它和代數(shù)方法、幾何方法有著明顯的不同。

學(xué)生對“數(shù)形結(jié)合法”的適應(yīng)需要一定的時間，因為學(xué)生對代數(shù)解析式與幾何圖形之間的對應(yīng)還不適應(yīng)，從正比例函數(shù)到反比例函數(shù)，最后進(jìn)入二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，要使學(xué)生認(rèn)識到幾種函數(shù)的直觀對應(yīng)關(guān)系：一次函數(shù)對應(yīng)直線，反比例函數(shù)對應(yīng)雙曲線，二次函數(shù)對應(yīng)拋物線.通過對圖像的認(rèn)識與感知，學(xué)生體會到“數(shù)形結(jié)合法”的優(yōu)點：“準(zhǔn)確簡潔的解析式，直觀形象的圖像?！?/p>

總之，學(xué)習(xí)函數(shù)概念首先要有觀念上的轉(zhuǎn)變，其次要具備抽象思維能力，提高學(xué)生的抽象思維能力和學(xué)生的認(rèn)識能力是使學(xué)生形成函數(shù)思想的基礎(chǔ)。所以教師在進(jìn)入函數(shù)概念的教學(xué)過程中，要把傳授知識和培養(yǎng)思維能力有機結(jié)合起來，實現(xiàn)觀念上的轉(zhuǎn)變。這就要求教師要從整體上處理好教材，使函數(shù)概念的教學(xué)活動成為一個有機整體，這樣才能在教學(xué)活動中真正有效地提高學(xué)生的素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 劉運宜.平面幾何代數(shù)化背景探源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2009（1）.

[3] 薛國鳳，王亞暉.當(dāng)代西方建構(gòu)主義教學(xué)理論評析[J].高等教育研究，2003（1）.

第5篇：函數(shù)概念范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；對應(yīng)；映射；數(shù)形結(jié)合

1要把握函數(shù)的實質(zhì)

17世紀(jì)初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的是萊布尼茲，歐拉在1734年首次用f(x)作為函數(shù)符號。關(guān)于函數(shù)概念有“變量說”、“對應(yīng)說”、“集合說”等。變量說的定義是：設(shè)x、y是兩個變量，如果當(dāng)變量x在實數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f(x)。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實質(zhì)——對應(yīng)缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f，還是f(x)，還是y=f(x)?使學(xué)生不易區(qū)別三者的關(guān)系。

迪里赫萊（P.G.Dirichlet）注意到了“對應(yīng)關(guān)系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應(yīng)，那么y叫x的一個函數(shù)。19世紀(jì)70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應(yīng)稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對應(yīng)說的優(yōu)點有：①它抓住了函數(shù)的實質(zhì)——對應(yīng)，是一種對應(yīng)法則。②它以集合為基礎(chǔ)，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學(xué)與身高（實數(shù)）的對應(yīng)；某班同學(xué)在某次測試的成績的對應(yīng)；全校學(xué)生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應(yīng)等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對應(yīng)法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實質(zhì)。

對于集合說是考慮到集合是數(shù)學(xué)中一個最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對應(yīng)”卻是一個外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了純集合論形式的定義：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這里f為直積A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動的直觀，既看不出對應(yīng)法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學(xué)生理解，而且在推導(dǎo)中也不便使用，如此完全化的數(shù)學(xué)語言只能在計算機中應(yīng)用。

2加強數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。在7—12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的，作圖在教學(xué)中顯得無比重要。我認(rèn)為這一部分的教學(xué)要做到學(xué)生心中有形，函數(shù)圖像就相當(dāng)于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問題時就會得心應(yīng)手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應(yīng)用。如函數(shù)y=log0.5|x2-x-12|單調(diào)區(qū)間，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函數(shù)的圖像是變形后的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4并開口向上，其x∈(-3，4)的部分由x軸下方翻轉(zhuǎn)到x軸上方，再考慮對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的實數(shù)根的個數(shù)，該方程實根個數(shù)就是兩個函數(shù)y=3x2+6x與y=1／x圖像的交點個數(shù)，作出圖像交點個數(shù)便一目了然。

3將映射概念下放

就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實質(zhì)的只有“對應(yīng)說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應(yīng)說”的定義，可有以下優(yōu)點：⑴體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。⑵凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。⑶變抽像內(nèi)容形像化，替換后學(xué)生會感到函數(shù)概念不再那么抽像難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學(xué)生就會感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學(xué)生完全能夠接受，因為從小學(xué)第一學(xué)段就已接觸到集合的表示方法，第二學(xué)段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔(dān)心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當(dāng)時不也有人得出反對意見嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學(xué)嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學(xué)生易于接受，學(xué)生就不會提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問題。

第6篇：函數(shù)概念范文

關(guān)鍵詞：函數(shù)；概念教學(xué)；觀察法；討論法

以下是一個函數(shù)概念教學(xué)的案例與分析。

首先，回顧舊知識，導(dǎo)入新知識。以提問的方式，讓學(xué)生回顧初中函數(shù)概念及正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，并在此基礎(chǔ)上提出問題，課件顯示：

對學(xué)生來講，解決這些問題是一個挑戰(zhàn)，因為這些函數(shù)例子的判定與學(xué)生已有的函數(shù)概念理解容易發(fā)生沖突，需要對函數(shù)概念進(jìn)行深入理解。學(xué)生的主要錯誤可能會集中在：問題1：y=1（x∈R）不是函數(shù)，因為式子中沒有自變量x；問題2：兩個函數(shù)是同一函數(shù)，因為經(jīng)過約分兩式是相同的。

其次，發(fā)揮學(xué)生自主、探究式的學(xué)習(xí)方式。進(jìn)入新授部分，教師不急于直接講授知識，而是放開手，請學(xué)生關(guān)注書本開頭部分的自學(xué)導(dǎo)引：

1.同學(xué)們進(jìn)入新學(xué)校學(xué)習(xí)，開學(xué)初要分配座位，每一位同學(xué)指定這個班的教室里唯一一把椅子。

2.住校的同學(xué)要分配宿舍，給我們班每一位住校生指定學(xué)生宿舍區(qū)里唯一一個寢室。

3.A乘2B

4.A平方B

5.A求導(dǎo)數(shù)B

要求學(xué)生觀察、討論這五個例子的特點，并說說有什么共同的地方，同桌之間交流自己的想法。學(xué)生通過觀察、思考、討論，最終快速的找到答案，教師作為引導(dǎo)者，把學(xué)生所說的答案作圖示分析，以加深學(xué)生對一一對應(yīng)的理解。接著直接用文字表述出函數(shù)概念及函數(shù)三要素定義域、值域、對應(yīng)法則；并指出兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)他們的定義域、值域、對應(yīng)法則完全相同時才是同一函數(shù)。至此，順利地引出了函數(shù)的概念。

在探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生必須綜合所學(xué)得的知識，并把它應(yīng)用于新的、未知的情景中去，這就需要學(xué)生使用恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗?，需要探索和猜想。因此，在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法和策略的運用顯得尤為重要。數(shù)學(xué)問題的解決，作為創(chuàng)造性思維活動過程，其重要特點是思維的變通性和流暢性。當(dāng)問題難于如手，那么思維不應(yīng)停留在原問題上，而應(yīng)將原問題轉(zhuǎn)化為一個比較熟悉或比較容易解決的問題，通過對新問題的解決，達(dá)到對原問題的解決。當(dāng)然，這就需要有正確的解題策略，而策略的培養(yǎng)最好的辦法就是對知識的探究，自己去認(rèn)識他們間的聯(lián)系。但是現(xiàn)代心理學(xué)家傾向于認(rèn)為僅僅在嘗試錯誤中學(xué)習(xí)是不夠的，正確的解題策略的產(chǎn)生有時還需要頓悟。

再次，鞏固練習(xí)，舉一反三。在做練習(xí)時，讓二位同學(xué)到黑板寫出“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則”。一位學(xué)生：“正比例函數(shù)定義域是正比例函數(shù)、值域是y=kx、對應(yīng)法則是k≠0；反比例函數(shù)定義域是反比例函數(shù)、值域是y=k/x，對應(yīng)法則是k≠0”。學(xué)生明顯對函數(shù)的概念了解的不夠深刻，有必要對函數(shù)的定義再鞏固一下。于是，利用準(zhǔn)備好的課件，幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)：

① 函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一種對應(yīng)關(guān)系。

② 符號“f：AB”表示A到B的一個函數(shù)，他的三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則三者缺一不可。

③ 集合A中數(shù)的任意性，集合B中數(shù)的唯一性。

④ f表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣。

第7篇：函數(shù)概念范文

關(guān)鍵詞 高一 函數(shù)概念 有效教學(xué)

一、高一學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的理解水平

（一）對基本概念、基本知識掌握不牢固

數(shù)學(xué)概念、基本知識的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，需要正確理解概念，正確、靈活運用概念、公式解決數(shù)學(xué)問題。在這方面絕大多數(shù)教師在教學(xué)中已經(jīng)作了很大努力，但考生對數(shù)學(xué)概念望文生義、臆造公式和法則，忽視雙基，導(dǎo)致基礎(chǔ)題丟分，成績不理想。函數(shù)概念學(xué)習(xí)中有許多錯誤表現(xiàn)為學(xué)生認(rèn)知的“慣性”。這種思維導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)概念中不知不覺地犯某種錯誤，表現(xiàn)為不恰當(dāng)?shù)耐茝V、擴大，不恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟw移，或者在過于限制的領(lǐng)域內(nèi)建立聯(lián)系，而沒有整體地去看問題，或者是對某一數(shù)學(xué)方法的偏好，而忽略其對立的方法，或者思考問題時思維的單向性、單一性。思維慣性影響低層次認(rèn)知水平向高層次認(rèn)知水平遷移，影響著新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和發(fā)展。

（二）知識的掌握不扎實、方法不熟練

由于學(xué)習(xí)進(jìn)度快，前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容沒能得到及時再鞏固，使大多數(shù)學(xué)生知識的掌握存在漏洞，不扎實、不系統(tǒng)、不牢固，在考試短時間內(nèi)綜合運用顯得力不從心，考慮到這就忽略那，從而造成答題不完整，步驟不全、條件不全等情況。

學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時，常常按過去的經(jīng)驗、結(jié)論、方法對概念作“合理”的推廣，由于沒有清楚新的概念層次與原來概念層次之間的差異，所以大多數(shù)“合理”推廣是錯誤的。但是推廣是數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)極為重要的途徑，是學(xué)生在同化與順應(yīng)過程中的思維構(gòu)造，它可以擴展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生探索能力。學(xué)生自身具有探索、創(chuàng)新的潛能與欲望，他們時刻自覺地在作嘗試、推廣工作。但他們掌握的知識畢竟有限，有時在推廣時考慮不那么全面，往往會導(dǎo)致出錯。特別是在函數(shù)概念學(xué)習(xí)中，他們同樣會這樣做，這種推廣是人類天性與潛能，有時會導(dǎo)致錯誤，但是只要教給學(xué)生一定的方法，錯誤還是能盡量避免的。

（三）基本運算能力不過關(guān)

運算能力的考察在平時的考試和學(xué)習(xí)中中占有一定分量，試卷中具有非常明顯的比例。由于運算不過關(guān)導(dǎo)致不能正確地對試題作答的情形在考生中十分普遍。計算和式子變形出錯很多，公式不熟，步驟、格式不規(guī)范，該寫的步驟不寫，該加的條件不加，符號表達(dá)不準(zhǔn)確等現(xiàn)象，造成該得到的結(jié)論沒有得到，這對下一步的思考帶來了障礙，使學(xué)生被一些表面現(xiàn)象所迷惑，對概念的理解也會出現(xiàn)失誤，從而影響正常的判斷。

二、對高一函數(shù)概念有效教學(xué)的建議

函數(shù)概念多元表征情景的創(chuàng)設(shè)是函數(shù)概念多元表征教學(xué)的前提。與實驗教材相比，新課標(biāo)中函數(shù)概念更注重多元表征情景的創(chuàng)設(shè)。譬如，函數(shù)具體實例表征由過去的“兩個數(shù)集對應(yīng)”，換成了 “解析式”、“圖象”、“列表”三種對應(yīng)。另外，時下數(shù)學(xué)課堂，雖注重多元表征教學(xué)情景的創(chuàng)設(shè)，但總體來看，很多教師只是照本宣科地由情景到情景，并沒有注意或意識到函數(shù)概念多元表征情景的優(yōu)化。本研究依據(jù)數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)視角，認(rèn)為優(yōu)化函數(shù)概念多元表征教學(xué)情景，可以遵循以下原則。

（一）導(dǎo)入遵循“變量說一對應(yīng)說”

函數(shù)概念經(jīng)過了 200多年的發(fā)展，在演進(jìn)過程中衍生多種界定，形成了不同的表征?？偟膩砜?，我國初中到高中對函數(shù)概念界定，主要遵循。變量說一對應(yīng)說。因此，對于高中函數(shù)概念的教學(xué)，應(yīng)該在變量說的基礎(chǔ)上再現(xiàn)函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展與形成過程。

（二）具體表征實例包含“式、圖、表”三種表征

解析式是函數(shù)的符號表征，具有抽象性、簡潔性、運算性等特點，是形成函數(shù)概念言語化表征的學(xué)習(xí)材料。圖象、列表是函數(shù)的圖象表征，具有直觀、形象，是形成函數(shù)概念視覺化表征的必要學(xué)習(xí)材料。有關(guān)多元表征功能的研究表明，言語表征與心象表征具有互補、限制解釋以及深度理解等功能，函數(shù)概念三種不同的表征形式，可以建構(gòu)多元表征的學(xué)習(xí)平臺，有利于促使學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的多元表征，并在多元表征的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯中實現(xiàn)對函數(shù)概念本質(zhì)的理解。

（三）“聽、說、看、寫”相結(jié)合

多次實際課堂觀摩發(fā)現(xiàn)，許多課堂注重關(guān)注學(xué)生的“聽”和“看”，這樣的“填鴨式”課堂，學(xué)生極度缺乏“說”和“寫”的機會，無法促進(jìn)學(xué)生深度加工各種表征，多元表征的教學(xué)與學(xué)習(xí)最終只能流于形式。

雙重編碼理論認(rèn)為，言語碼和心象碼可以通過不同的感覺通道獲得，各種編碼形式可以是視覺的、聽覺的、甚至觸覺的。因此，課堂上要求學(xué)生聽、說、看、寫等，可以促使他們從多元渠道學(xué)習(xí)函數(shù)概念，從而把握函數(shù)的多元屬性。

（四）深度解釋策略

從“解釋策略”的角度看，目前數(shù)學(xué)概念教學(xué)中主要存在著兩個缺陷：其一，以教師的解釋為主，甚至許多教師獨攬了解釋權(quán)；其二，許多概念的解釋過于形式化，。一個定義，幾點注意。常常淹沒了概念的本質(zhì)屬性。概念解釋的缺乏或解釋過于膚淺，都不利于多元表征的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)譯操作的產(chǎn)生以及實現(xiàn)。

深度解釋策略，主要包括教師的解釋與學(xué)生的解釋兩個方面，而且更突出后者。這是因為，通過深度解釋，學(xué)生使自己的編碼外顯化，通過對他人解釋的內(nèi)容批判性考察，學(xué)生間的個體數(shù)學(xué)知識可以相互補救，以促進(jìn)和增強深層碼、整合碼的建構(gòu)。

在函數(shù)概念的教學(xué)中，我們可以設(shè)計看圖說話、積極回答問題、積極參與討論、主動交流與分享等活動，促使學(xué)生對函數(shù)概念進(jìn)行深度解釋。譬如，在學(xué)習(xí)完函數(shù)的定義表征后，我們可以創(chuàng)設(shè)這樣的深度解釋機會：從宏觀看，函數(shù)概念包含了哪些主要因素？從微觀看，函數(shù)概念主要因素間應(yīng)該滿足什么條件？張同學(xué)通過觀察，認(rèn)為函數(shù)概念就像“加工廠”，他的這個比喻是否合理？為什么？這些問題的深度解釋，能引導(dǎo)學(xué)生從文字表征、符號表征、圖象表征等各方面進(jìn)行加工、轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯，有利于學(xué)生整合各種表征，從而抓住函數(shù)的本質(zhì)屬性。

參考文獻(xiàn)：

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第8篇：函數(shù)概念范文

    ,性質(zhì)

    首先是初等函數(shù)相關(guān)問題分析:

    1.絕對值函數(shù)的概念及性質(zhì)

    絕對值函數(shù)是個很廣的概念,可分為兩大部分,一部分是絕對值施加在X上的,另一部分是絕對值號施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據(jù)哪一個軸做軸對稱變換,記住這一點,不管多復(fù)雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數(shù)可以看作初等函數(shù)。

    1.1絕對值函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定義域:即x的取值集合,為全體實數(shù);

    值域: 不小于b的全體實數(shù)

    單調(diào)性:當(dāng)x<0,a>0時,單調(diào)減函數(shù);

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 減 ;

    1.2絕對值函數(shù)圖象規(guī)律:

    |f(x)|將f(x)在y軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于x軸翻折一下即可,在y軸正半軸的圖像不變。

    f(|x|)將f(x)在x軸負(fù)半軸的圖像關(guān)于y軸翻折一下即可,在x軸正半軸的圖像不變。。

    1.3帶絕對值的函數(shù)求導(dǎo),即將函數(shù)分段。

    2.取整函數(shù)的概念與性質(zhì)

    2.1取整函數(shù)是:設(shè)x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數(shù),并用"{x}"表示x的非負(fù)純小數(shù),則 y= [x] 稱為取整函數(shù),也叫高斯函數(shù)。任意一個實數(shù)都能寫成整數(shù)與非負(fù)純小數(shù)之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)稱為小數(shù)部分函數(shù)。

    2.2取整函數(shù)的性質(zhì):a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數(shù)y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(shù)(高斯函數(shù))是一個不減函數(shù),即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數(shù).e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內(nèi),恰好有[x/n]個整數(shù)是n的倍數(shù).h 設(shè)p為質(zhì)數(shù),n∈N+,則p在n!的質(zhì)因數(shù)分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)

    3.1導(dǎo)數(shù),是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時,稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上就是一個求極限的過程,導(dǎo)數(shù)的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導(dǎo)數(shù)另一個定義:當(dāng)x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數(shù)。這樣,當(dāng)x變化時,f'(x)便是x的一個函數(shù),我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))。

    3.2求導(dǎo)數(shù)的方法

    (1)求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟:① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限,得導(dǎo)數(shù).

    (2)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數(shù));⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數(shù);⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    補充:上面的公式是不可以代常數(shù)進(jìn)去的,只能代函數(shù),新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往忽略這一點,造成歧義,要多加注意。

    (3)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

    復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)--稱為鏈?zhǔn)椒▌t。

    4.高等函數(shù)的概念以及含義問題

    4.1一元微分

    1)一元微分是設(shè)函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義,x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù)),而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的,且AΔx稱作函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx。

    通常把自變量x的增量 Δ   x稱為自變量的微分,記作dx,即dx = x。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此,導(dǎo)數(shù)也叫做微商。 當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+X時,相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+X),如果存在一個與X無關(guān)的常數(shù)A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關(guān)于X

    的高階無窮小量,則稱A·X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微。一元微積分中,可微可導(dǎo)等價。記A·X=dy,則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其幾何意義為:設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標(biāo)上的增量,Δy是曲線在點M對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量,dy是曲線在點M的切線對應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Δx|很小時,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:與一元微分同理,當(dāng)自變量為多個時,可得出多元微分的定義。

    2)多元微分的運算法則

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函數(shù)中還有值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數(shù)等,本文就簡單的函數(shù)問題做一總結(jié)。

    【參考資料】

    1.復(fù)變函數(shù)論.高等教育出版社,2004,01.

    2.實變函數(shù)簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

第9篇：函數(shù)概念范文

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

一、引言

新課改的深入發(fā)展，對高中數(shù)學(xué)提出了更高的教學(xué)要求，加上學(xué)習(xí)即將接受高考，而數(shù)學(xué)是重要的考核指標(biāo)，這就深化了數(shù)學(xué)在高中教學(xué)的重要性。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重難點，教師在函數(shù)教學(xué)中，必須從宏觀上正確把握函數(shù)教學(xué)策略，建立切實可行的函數(shù)教學(xué)手段。

二、研究典型，準(zhǔn)確理解函數(shù)性質(zhì)

充分理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)好函數(shù)的重要支撐，這也是教師在教學(xué)中首要解決的教學(xué)難題。在本章節(jié)中有關(guān)基本初等函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)上，教師應(yīng)該對分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)等初等函數(shù)類型的基本性質(zhì)進(jìn)行明確，并通過研究典型問題的方法來準(zhǔn)確理解函數(shù)性質(zhì)。如在“對數(shù)函數(shù)”的教學(xué)中，教師可以以y=log2x和y=log0.5x為代表，采用研究典型問題的方法，明確了函數(shù)的性質(zhì)后，將問題慢慢過渡到對數(shù)函數(shù)y=logax的一般情況，其中a大于，且不等于1。在例題“f（x）=x+b/x（b>0）”的研究中，可以延伸出以下6個概念性質(zhì)問題。即函數(shù)f（x）的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、圖像以及該函數(shù)圖像與一次函數(shù)y=x和數(shù)軸y之間的位置關(guān)系。

通過開展這樣的教學(xué)，學(xué)生清楚的了解和掌握了函數(shù)f（x）=x+b/x（b>0）的性質(zhì)和圖像，并將其推廣到雙勾函數(shù)f（x）=ax+b/x（x≠0）。在高中數(shù)學(xué)中，雙勾函數(shù)被廣泛的應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)知識中，如不等式、復(fù)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過研究典型問題，不僅能準(zhǔn)確理解該函數(shù)性質(zhì)，還能良好的掌握一類函數(shù)，進(jìn)而提高教學(xué)效果，幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

三、數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)習(xí)解題能力

在中學(xué)階段，高中數(shù)學(xué)的抽象性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于初中，而在高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生剛從初中升入高中，抽象思維還不夠豐富，給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增加很大難度。函數(shù)知識更具抽象，必須使用科學(xué)的教學(xué)方法才能更好的提高教學(xué)質(zhì)量。數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，是高中數(shù)學(xué)教師在函數(shù)教學(xué)中常見的方法，教師可以使用圖表法、圖像法等將一個抽象函數(shù)具體化，這在函數(shù)題目的解答中也是有重要作用的。如在“函數(shù)的奇偶性”相關(guān)知識的教學(xué)中，教師可以使用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)。如圖1所示，曲線是函數(shù)y=f（x）所對應(yīng)的圖像，設(shè)它關(guān)于數(shù)軸y對稱，點A是函數(shù)f（x）圖像上的任意一點。

由此，引出四個問題，即點A（x，f（x））有關(guān)y軸所對稱點A?的具體坐標(biāo)是什么？點A?是否在函數(shù)y=f（x）圖像上？點A?的坐標(biāo)還能以什么形式表現(xiàn)出來？除了上述三個問題，你還能發(fā)現(xiàn)出什么？上述4個問題構(gòu)成了對函數(shù)的探究，第一個問題顯示出了點A?的坐標(biāo)是（-x，f（x）），第二和第三個問題顯示出了點A?的坐標(biāo)是（-x，f（-x）），問題四就是對上述三個問題的延伸，引導(dǎo)學(xué)生找出f（x）=f（-x）的結(jié)果，找出偶函數(shù)的基本含義?？梢姡瑘D像在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識過程中，能很好的將抽象問題直觀化和具體化。采用數(shù)形結(jié)合的方法，雖然能很好的提高學(xué)生的解題能力，但是要注意學(xué)生在解題中可能會使用幾何直觀來替代邏輯證明，所以教師要時刻觀察，以免學(xué)生產(chǎn)生這一的錯誤解題思路。

四、整合技術(shù)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

數(shù)學(xué)是一門極具邏輯性和技術(shù)性的學(xué)科，教師在實際教學(xué)中，可以將一些信息技術(shù)整合到課堂教學(xué)中，在豐富教學(xué)方法的同時，也能以新技術(shù)來吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如在指數(shù)、對數(shù)和冪函數(shù)的圖像、方程根存在性、數(shù)據(jù)擬合等教學(xué)活動中，教師可以將Excel、幾何畫板等信息技術(shù)融入教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生使用計算器、計算機等對教學(xué)難點進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和探索，讓學(xué)生能更好的理解函數(shù)知識，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

如在“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計一個這樣的教學(xué)活動，即已知函數(shù)y=（1/2）x，y=2x，y=10x。問：從上述解析式中能得出什么性質(zhì)？是否能確定這些解析式圖像在平面直角坐標(biāo)系中的區(qū)域？這些解析式在平面直角坐標(biāo)系中的具體圖像？對這些解析式的相同點和不同點進(jìn)行歸納？怎么把這些相同點和不同點進(jìn)行推廣？函數(shù)y=（1/2）x和y=2x有什么樣的圖像關(guān)系？在對上述問題進(jìn)行教學(xué)時，教師要利用Excel、幾何畫板等信息技術(shù)把函數(shù)的圖像畫出來，幫助學(xué)生能從具體函數(shù)和對圖像的比較得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。通過將信息技術(shù)整合到教學(xué)中，有效提高了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

五、結(jié)語

總之，為了提高高中“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”的教學(xué)質(zhì)量，教師在實際教學(xué)中，可以通過研究典型問題，來幫助學(xué)生更好的理解函數(shù)的概念和性質(zhì)，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法和將信息技術(shù)整合到教學(xué)中，來提高教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]許俊.高中教學(xué)策略研究――以“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”為例[J].文理導(dǎo)航（中旬），2014，34（02）：19-20

[2]沙紀(jì)忠.高中“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)”教學(xué)策略[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012，11（06）：22-23