培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的數(shù)學(xué)教學(xué)論文
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一、問題的提出
培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是社會(huì)發(fā)展的需要。縱觀當(dāng)今的科學(xué)技術(shù)，人文社會(huì)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展、生活變化各個(gè)方面，數(shù)學(xué)化已經(jīng)成為一種強(qiáng)大的趨勢(shì)，任何領(lǐng)域都離不開數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用。數(shù)感的培養(yǎng)有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)的現(xiàn)展，人們也進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到:數(shù)學(xué)不應(yīng)被等同于知識(shí)的簡(jiǎn)單匯集，而應(yīng)主要地被看成人類的一種活動(dòng)，一種以“數(shù)學(xué)共同體”為主體、并在一定文化環(huán)境中所從事的創(chuàng)造性活動(dòng)。國(guó)內(nèi)外心理學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者都對(duì)小學(xué)生數(shù)感進(jìn)行了不同程度的研究，這些研究涉及到數(shù)感的內(nèi)涵、數(shù)感的構(gòu)成要素、數(shù)感的發(fā)展水平、數(shù)感發(fā)展水平的評(píng)估以及數(shù)感的培養(yǎng)等問題。然而，在有關(guān)小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展與特征研究中，還存在著這樣一個(gè)普遍的問題，那就是這些研究更多地從心理學(xué)的角度出發(fā)對(duì)學(xué)生的數(shù)感進(jìn)行的研究，因此，如何更多地從數(shù)學(xué)課程的角度出發(fā)通過數(shù)感要素測(cè)試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析來研究小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)感發(fā)展規(guī)律與特征，并對(duì)小學(xué)生數(shù)感的發(fā)展規(guī)律與特征有更清晰地認(rèn)識(shí)，是我們?cè)跀?shù)學(xué)課程構(gòu)建中面臨的問題。本研究正是基于這樣考慮明確所要研究的問題。
二、新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)感的理解
1.數(shù)感是關(guān)于數(shù)字（量）的直覺
1954年，Dantzig首次提出數(shù)感的概念，認(rèn)為數(shù)感是對(duì)微小數(shù)量變化的一種直覺感受。卡彭特等人（Carpenter,Cpburn,Reys,&Wislon,1976年）在分析國(guó)家教育發(fā)展評(píng)價(jià)（NAEP）數(shù)據(jù)在估算上的作用之后，得出結(jié)論：在學(xué)生能很好地進(jìn)行估算之前,他們一定發(fā)展一種數(shù)量的直覺，一種用數(shù)字表現(xiàn)量的感覺。后來人們把這種關(guān)于數(shù)量的直覺稱為數(shù)感[2]。
2.數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)
JudithSowder（1988年）將數(shù)感定義為：“一個(gè)具有良好組織的概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它能夠使一個(gè)數(shù)字和它相關(guān)的操作特性相關(guān)聯(lián)，并且以靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字問題?！边@就是說，數(shù)感是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是隨著數(shù)概念的不斷擴(kuò)大（自然數(shù)→小數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)→復(fù)數(shù)）在人腦中逐步形成的，它幫助人腦接納數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)，使人開始以數(shù)為基礎(chǔ)逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)，并且能夠自覺地選擇靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字（量）的問題。
3.數(shù)感是與數(shù)字相關(guān)的教育目的的非精確形式
Resnick（1989年）用其它的非決定論的、開放式的推論和思考對(duì)數(shù)感進(jìn)行分類，她藉由其所著的EducationandLearningtoThink（1987年）一書，在“關(guān)于較高思維替換數(shù)感”的思考技術(shù)的描寫中，闡述了數(shù)感的特色。以下是她具有教育性的考慮：“數(shù)感抵抗我們已經(jīng)在學(xué)校教育中所設(shè)定的以聯(lián)系被指定目的的精確形式?！?/p>
4.數(shù)感是對(duì)于數(shù)與運(yùn)算的一般理解
馬云鵬、史炳星（2002年）認(rèn)為,“數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題作出有用的策略，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感主要是指：使學(xué)生具有應(yīng)用數(shù)字表示具體的數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的能力；能夠判定不同的算術(shù)運(yùn)算，有能力進(jìn)行計(jì)算，并具有選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缧乃?、筆算、使用計(jì)算器）實(shí)施計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)；能依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推論，并對(duì)數(shù)據(jù)和推論的精確性和可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)，建立數(shù)感就是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考”。
5.數(shù)感是數(shù)概念擴(kuò)展中產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)的敏感與理解
滕發(fā)祥認(rèn)為：數(shù)感是數(shù)概念擴(kuò)展中產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)的一種敏感與理解。表現(xiàn)在：這種敏感與理解是對(duì)數(shù)字（量）的直感迅速地反應(yīng)為數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)問題從感知層面敏捷地鏈接到數(shù)學(xué)思維；這種敏感與理解是關(guān)于數(shù)概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。這個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)幫助人們以數(shù)為基礎(chǔ)掌握更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，以選擇靈活而有創(chuàng)新的方式解決數(shù)量問題；這種敏感與理解具有非算法、非單一、非確定、非邏輯等特點(diǎn)，其反應(yīng)時(shí)間短，穩(wěn)定性差，是所需要解決的問題與數(shù)學(xué)思維之間的按鈕，其靈敏度與數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的個(gè)性化有關(guān)。
6.“數(shù)感”是對(duì)數(shù)的“感悟”
史寧中、呂世虎（2006年）認(rèn)為：“數(shù)感”不只限于“感覺”或“感知”的范圍，而含有思維的成分?！懊绹?guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中對(duì)“NumberSense”一詞的使用也具有同樣的特征。
7.數(shù)感是關(guān)于數(shù)及其運(yùn)算等方而的程序性知識(shí)
湯服成、郭海燕認(rèn)為：“數(shù)感應(yīng)屬于知識(shí)的范疇。它主要是后天習(xí)得的結(jié)果，是在大量的學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐后積累起來的一種儲(chǔ)存在潛意識(shí)中的內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)性的關(guān)于數(shù)及其運(yùn)算等方而的程序性知識(shí)”。
8.數(shù)感是對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)，以及運(yùn)用這種意識(shí)靈活地解決數(shù)字問題的能力
徐文彬、喻平認(rèn)為：數(shù)感是對(duì)數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式的意識(shí)，以及運(yùn)用這種意識(shí)靈活地解決數(shù)字問題的能力，其核心是指計(jì)算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維的”計(jì)算程序。2001年，我國(guó)教育部制定并頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）的總體目標(biāo)中提出要使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維?！辈⑶以趦?nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)階段都闡述了數(shù)感的問題，明確地把數(shù)感作為學(xué)習(xí)內(nèi)容，還把數(shù)感列在六個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容（數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力）的首位，并且在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)階段中都闡述了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的問題，《課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)：“理解數(shù)的意義；能用多種方法表示數(shù)；能在具體的情景中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)表達(dá)和交流信息；能為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋”。從《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，我們不難看出，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)感教育，就是要讓學(xué)生能夠?qū)λ佑|的事物有一個(gè)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)：能用數(shù)學(xué)的思維去思考事物的本質(zhì)；能以數(shù)學(xué)的理論去解釋事物的原理；能用數(shù)學(xué)的方法去解決所遇問題。在數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上，不在時(shí)簡(jiǎn)單的計(jì)算，而是能活用數(shù)學(xué)知識(shí)，就好比：一個(gè)西瓜與兩個(gè)蘋果，他們之間的比較可以是一個(gè)西瓜大于兩個(gè)蘋果，也可以是一個(gè)西瓜小于兩個(gè)蘋果，大于是比較它們的重量、體積；小于是比較它們的數(shù)量。
三、建立數(shù)感的重要意義
數(shù)感是人們對(duì)數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感悟，以及運(yùn)用數(shù)字關(guān)系和數(shù)字模式進(jìn)行推理與解決問題的能力，是一種主體主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。作為公民素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不只是用計(jì)算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的。學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實(shí)際問題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。建立數(shù)感可以理解為學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考的一個(gè)重要方面，我們沒有必要讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個(gè)公民都在一定程度上會(huì)數(shù)學(xué)地思考。
（一）建立數(shù)感是進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)
美國(guó)學(xué)者格勞斯(Grouws)認(rèn)為，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考就是形成數(shù)學(xué)化和抽象化的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行預(yù)測(cè)的能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決現(xiàn)實(shí)問題的能力。把數(shù)與實(shí)際背景聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的方式思考問題，這對(duì)每一個(gè)人都是至關(guān)重要的。數(shù)感使人眼中看到的世界有了量化的意味，數(shù)感較強(qiáng)的人眼中看到的世界可能與其他人不同，一旦遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，就能自然地、有意識(shí)地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，并試圖用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理和解釋。也就是說，數(shù)感是人對(duì)數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算方式的理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方式做出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的問題提出有用的策略。數(shù)感是建立明確數(shù)概念和有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，是將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)問題聯(lián)系起來的橋梁。
（二）數(shù)感的建立是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的需要
學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一方面是為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，另一方面是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法和數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理解周圍的事物，處理有關(guān)的問題。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感就是讓學(xué)生更多地接觸和理解現(xiàn)實(shí)問題，有意識(shí)地將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來，學(xué)會(huì)將一個(gè)生活中的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題。并自覺主動(dòng)地與一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能建立起聯(lián)系，這樣才有可能建構(gòu)與具體事物相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型。具備良好的數(shù)感是將現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來重要保證。
（三）數(shù)感的建立是適應(yīng)現(xiàn)代信息生活的需要
現(xiàn)代信息社會(huì)生活各個(gè)方面數(shù)學(xué)化已經(jīng)成為一種強(qiáng)大的趨勢(shì)，任何領(lǐng)域都離不開數(shù)學(xué)思想與方法的應(yīng)用。當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的突出特點(diǎn)是定量化，精確定量思維是對(duì)當(dāng)代科技人員的基本要求，20世紀(jì)后期，計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用出現(xiàn)了新的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅僅是通過在其他學(xué)科或工程技術(shù)中進(jìn)行單純的計(jì)算來間接應(yīng)用，而是從幕后走向臺(tái)前，直接開發(fā)新技術(shù)和新產(chǎn)品，為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。從生活化的角度來看，數(shù)學(xué)的定量化特征己越來越多地出現(xiàn)在人們的日常生活中，與人們生活密切相關(guān)大量的數(shù)學(xué)信息無時(shí)無刻地影響著人們的日常生活，而分析判斷這些數(shù)學(xué)信息需要有很好的數(shù)感。
四、培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略
學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解是學(xué)生數(shù)感發(fā)展的基礎(chǔ)。對(duì)基數(shù)和序數(shù)的區(qū)分是人類數(shù)字思維的一個(gè)質(zhì)的飛躍，它表明人類已經(jīng)有能力用抽象的方式理解計(jì)數(shù)的本質(zhì)，即已經(jīng)認(rèn)識(shí)到計(jì)數(shù)的本質(zhì)是明確數(shù)量之間的關(guān)系，而不僅僅是簡(jiǎn)單地羅列出各種數(shù)量。數(shù)學(xué)教育家弗蘭登塔爾將數(shù)的意義分為計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)幾個(gè)方面?？梢妼W(xué)生對(duì)于數(shù)的意義的理解從計(jì)數(shù)開始，到計(jì)算結(jié)束，貫穿于數(shù)的教學(xué)過程的始終，換言之，數(shù)的意義的理解處于數(shù)感培養(yǎng)中的基礎(chǔ)地位，而且在數(shù)的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算及數(shù)的問題解決等后續(xù)層次的教學(xué)過程中，也要不斷完善學(xué)生對(duì)數(shù)的意義的理解。
一、聯(lián)系生活，獲取數(shù)感
許多小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，學(xué)生在頭腦中不能很好地建立表象，更不能真正理解知識(shí)的內(nèi)涵和概念的本質(zhì)屬性。這就需要教師善于結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生采擷生活事例。如我在教小學(xué)數(shù)學(xué)第四冊(cè)對(duì)時(shí)間的認(rèn)識(shí)時(shí)，在教案中設(shè)計(jì)了大量的生活事例說明“時(shí)、分、秒”在人們?nèi)粘Ｉ畹淖饔茫巳魶]有時(shí)間概念，許多事情是做不成的，讓學(xué)生充分感知時(shí)間這個(gè)詞，然后充分利用游戲活動(dòng)感知1秒、1分、1小時(shí)，臨下課時(shí)，我又布置作業(yè)讓學(xué)生在實(shí)踐中去找時(shí)間。這樣就充分培養(yǎng)了學(xué)生時(shí)間方面的數(shù)感，在以后的上課中遇到和時(shí)間有關(guān)的問題時(shí)，學(xué)生就能很輕松地解答。又如在教長(zhǎng)度測(cè)量和計(jì)算面積時(shí)，可帶領(lǐng)學(xué)生在操場(chǎng)中走走、測(cè)測(cè)、量量，讓他們感受1米、10米、100米的長(zhǎng)短及1平方米、1公頃的大小。這些活動(dòng)深受學(xué)生的喜愛，他們?cè)诓恢挥X中受到了數(shù)感的啟蒙。
二、自主探索，體驗(yàn)數(shù)感
著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要?jiǎng)?chuàng)造各種形式的探討機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在自主探討的過程中具有良好的數(shù)感。如在教“認(rèn)識(shí)鐘表”一課時(shí)可以就學(xué)生自己動(dòng)手制作簡(jiǎn)易鐘表模型，再讓學(xué)生對(duì)自己一天的作息時(shí)間進(jìn)行規(guī)劃，并在時(shí)間的表達(dá)上用：數(shù)字、文字、圖形三種表達(dá)方式表達(dá)，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)時(shí)間的數(shù)字、文字、圖形三種表現(xiàn)形式的整體印象，加強(qiáng)數(shù)感。
三、合作學(xué)習(xí)，交流數(shù)感
小組合作學(xué)習(xí)有利于人人參與學(xué)習(xí)的全過程，它不僅能挖掘?qū)W生的潛能，還能培養(yǎng)學(xué)生集體合作的精神，人人可以嘗到成功的甜頭。學(xué)生之間的語言易理解，數(shù)感也能進(jìn)一步得到加強(qiáng)。如我在教學(xué)“有趣的‘11’”中，在黑板上直接寫出了36*11=396、28*11=308、57*11=627……學(xué)生很感興趣，再讓小組合作討論“老師為什么能直接寫出結(jié)果”。學(xué)生討論很熱烈。有的學(xué)生說：“老師是心算法算出來的吧？”有的同學(xué)說：“不可能，肯定用的是速算法?！本瓦@樣，幾個(gè)人一小組開始仔細(xì)觀察這幾個(gè)算式的第一個(gè)因數(shù)和積，終于得出規(guī)律，這樣學(xué)生的數(shù)感在討論和觀察中得到進(jìn)一步發(fā)展。
四、拓展運(yùn)用，強(qiáng)化數(shù)感
有良好數(shù)感的人，在需要數(shù)感發(fā)揮的時(shí)候，它便會(huì)自然出現(xiàn)。特別是在新授課時(shí)，良好的數(shù)感可幫學(xué)生進(jìn)行綜合運(yùn)用，從而使學(xué)生對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通，而要達(dá)到這樣的境界，則需要一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過程。如某教師在教“百分比的計(jì)算”后，引導(dǎo)學(xué)生思考討論：某種商品的利潤(rùn)為20%，如果進(jìn)貨價(jià)降低20%，售出價(jià)保持不變，那么此時(shí)的利潤(rùn)應(yīng)是多少呢？學(xué)生對(duì)這道題產(chǎn)生了濃厚的興趣，這時(shí)教師進(jìn)行了適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生不僅掌握了百分比的計(jì)算，而且理解了經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益的概念。
總之，教學(xué)中要注意讓學(xué)生運(yùn)用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式，在各種生動(dòng)具體的情境或現(xiàn)實(shí)情境中，體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流，引導(dǎo)他們自主探索，注意培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，鼓勵(lì)算法多樣化，解題策略多樣化，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，注重?cái)?shù)知識(shí)間的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)實(shí)踐過程中積累豐富的經(jīng)驗(yàn)，充分體會(huì)數(shù)的概念，通過實(shí)踐、思考、探索、交流獲得數(shù)感、發(fā)展數(shù)感，從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識(shí)、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。
