專業(yè)結(jié)合的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)探討

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摘要:大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)是高等學(xué)校教育中的重要一環(huán)，其教學(xué)效果是專業(yè)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。論文分析了目前數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)中存在的一些典型問題，以及目前針對這些問題任課教師在教學(xué)方式、教學(xué)手段等方面提出的解決方法。同時探討了如何在獨立學(xué)院的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中結(jié)合授課對象所在專業(yè)來設(shè)計教學(xué)實例。通過與專業(yè)知識相結(jié)合的案例激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，提升教學(xué)效果并增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)問題的能力。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課;高等數(shù)學(xué);教學(xué)實例設(shè)計

一、緒論

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程在大學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)中占據(jù)著舉足輕重的地位。除了極少數(shù)文學(xué)藝術(shù)類專業(yè)，所有的理工農(nóng)醫(yī)學(xué)以及經(jīng)濟類等專業(yè)都要在大一學(xué)年修讀高等數(shù)學(xué)(微積分)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。一方面，數(shù)學(xué)類課程是后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是否較好地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識將直接影響學(xué)生在專業(yè)學(xué)習(xí)的表現(xiàn)和未來的學(xué)術(shù)成長;另一方面，數(shù)學(xué)類課程能夠培養(yǎng)大學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維，對實際問題進行數(shù)學(xué)建模的能力，并應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解釋實際應(yīng)用中出現(xiàn)的現(xiàn)象的能力。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)課程是大學(xué)生的學(xué)業(yè)生涯中一個非常重要的環(huán)節(jié)，也是大學(xué)教學(xué)體系中的重要基礎(chǔ)。2015年教育部等《關(guān)于引導(dǎo)部分地方普通本科高校向應(yīng)用型轉(zhuǎn)變的指導(dǎo)意見》提出“要大力推進應(yīng)用型高校的建設(shè)，創(chuàng)新應(yīng)用型技術(shù)技能型人才培養(yǎng)模式。建立以提高實踐能力為引領(lǐng)的人才培養(yǎng)流程，深化人才培養(yǎng)方案和課程體系改革。以社會經(jīng)濟發(fā)展和產(chǎn)業(yè)技術(shù)進步驅(qū)動課程改革，整合相關(guān)的專業(yè)基礎(chǔ)課、主干課、核心課、專業(yè)技能應(yīng)用和實驗實踐課，更加專注培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的技術(shù)技能和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力”。2019年教育部《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見》指出“深化本科教育教學(xué)改革，要提升學(xué)業(yè)挑戰(zhàn)度，強化人才培養(yǎng)方案、教學(xué)過程和教學(xué)考核等方面的質(zhì)量要求”“引導(dǎo)學(xué)生多讀書、深思考、善提問、勤實踐”。從以上的要求可以看出，在應(yīng)用型高校的人才培養(yǎng)中，如何結(jié)合專業(yè)特點實行更好的本專業(yè)基礎(chǔ)課程的教學(xué)是值得每位任課教師積極思考和探索的方向。

二、大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的典型問題

雖然大學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要性得到了學(xué)生和教師的廣泛認(rèn)同，但是目前在高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程的學(xué)習(xí)中仍然存在許多問題［1］。在學(xué)習(xí)方面，學(xué)生在高中階段已經(jīng)接觸到了導(dǎo)數(shù)、隨機變量、概率分布等概念，在大學(xué)中再面對這些知識的時候往往認(rèn)為自己已經(jīng)學(xué)過，從而放松了學(xué)習(xí)，但是，這些知識在高中階段只是非常淺顯的了解，并沒有系統(tǒng)地講解背后的理論基礎(chǔ)，學(xué)生只知其然而不知其所以然，忽略整個理論的來源和發(fā)展，不利于完整和系統(tǒng)的知識體系的構(gòu)建。還有部分學(xué)生剛剛從高中具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中脫離，不適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的抽象描述，例如高等數(shù)學(xué)中第一部分極限的定義，于是會對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒，認(rèn)為大學(xué)數(shù)學(xué)課程十分枯燥無味，降低學(xué)習(xí)熱情和主觀能動性，甚至由于學(xué)習(xí)效果沒有達到高中類似的程度而逐漸放棄學(xué)習(xí)，只求及格。在教學(xué)方面，一部分學(xué)生因為一直以來對數(shù)學(xué)的恐懼導(dǎo)致在課堂學(xué)習(xí)上的懈怠，無法配合教師的教學(xué)進度，也降低了教師的教學(xué)成就感。教師無法從課堂教學(xué)獲得充分的正向反饋，也會對教學(xué)失去信心、活力以及激情，會逐漸使數(shù)學(xué)課堂變得沉悶而且枯燥，這種情況在生源質(zhì)量本來就較差的獨立學(xué)院尤為嚴(yán)重。同時，由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身有著嚴(yán)密的發(fā)展和邏輯體系，大部分的任課教師在教學(xué)時都希望給學(xué)生建立對數(shù)學(xué)的完整認(rèn)識，于是往往注重對定理和公式的推導(dǎo)，而忽視了這些知識內(nèi)在聯(lián)系和如何在實際中應(yīng)用所學(xué)知識解決實際的問題［2］。在教學(xué)過程中，教師采用的教學(xué)手段比較單一和單調(diào)，缺乏一定的課堂吸引力，同時數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)班級往往較大，無法形成有效的教學(xué)互動和討論環(huán)節(jié)，從而影響學(xué)生的積極性。學(xué)生在課堂上一直處于被動聽講的狀態(tài)，不利于其邏輯思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。另外，教師在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中往往將教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為讓學(xué)生掌握知識本身，通過大量的習(xí)題來理解并記住相關(guān)的定理和公式，忽略對應(yīng)能力的培養(yǎng)，這樣導(dǎo)致的后果就是學(xué)生在大學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是延續(xù)了高中的題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)還是在解題，無法與自己的專業(yè)學(xué)習(xí)聯(lián)系起來，也無法感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的重要作用，也無法樹立一個良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。

三、大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一些改革與實踐

針對大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中出現(xiàn)的上述問題，近年來大43量文獻從教學(xué)手段、教學(xué)方法以及教學(xué)模式改革等方面提出了許多解決方案和設(shè)想［3］。針對高中和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的銜接問題上，教師可以從高中知識出發(fā)，在回顧的同時引導(dǎo)學(xué)生思考更深層的理論背景和來源，充分挖掘高中和大學(xué)知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，讓學(xué)生有一個平穩(wěn)的過渡，降低大學(xué)數(shù)學(xué)知識的理論性帶來的沖擊。在教學(xué)手段和方法上，隨著現(xiàn)代化信息技術(shù)的發(fā)展，各種軟件針對數(shù)學(xué)公式和幾何圖形的可視化提供了簡便的方式，任課教師也要在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程中適當(dāng)?shù)牟捎眠@些新的教學(xué)輔助手段來改進課堂教學(xué)。將大學(xué)數(shù)學(xué)課程中抽象的概念和定理采用圖形和動畫的形式表示出來，克服傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中黑板加粉筆的不足，也可以加深學(xué)生的直觀印象，這樣更有利于他們理解和掌握，并能抓住學(xué)生注意力，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時，任課教師也要時刻保持與時俱進，學(xué)習(xí)新興的教學(xué)形式和手段，適時更新教學(xué)案例和相關(guān)知識，通過觀看其他大學(xué)提供優(yōu)秀的數(shù)學(xué)公開課積極學(xué)習(xí)國內(nèi)外先進的教學(xué)經(jīng)驗。在教學(xué)模式上，教師在有條件的情況下，可以采取探究式學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生從被動接受知識變成主動學(xué)習(xí)，教師通過提出探究問題，讓學(xué)生以小組的形式進行問題的分析、討論、探究和解決，在此過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生自主思考的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)主動性。如果實際班級人數(shù)過多，那么小組學(xué)習(xí)的形式就不太適用，這時可以采用案例教學(xué)來增加課堂吸引力。通過課前的案例來讓學(xué)生思考、解決，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識建立數(shù)學(xué)模型，從而發(fā)現(xiàn)解決該問題所需要的新的知識，激發(fā)學(xué)習(xí)的主觀能動性，再順勢進入相關(guān)知識的學(xué)習(xí)然后解決之前的案例問題。案例驅(qū)動的教學(xué)模式能鼓勵學(xué)生主動思考、自主探究的能力。除了傳統(tǒng)的教學(xué)探討，也有教師將各種新的理論引入大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)改革中，例如，結(jié)合最近發(fā)展區(qū)理論所倡導(dǎo)的教學(xué)觀提出有效教學(xué)改革的實施方法［4］，倡導(dǎo)教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的發(fā)展，立足于教學(xué)的有效性，從而使學(xué)生從“知識接受者”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸R探索者”，使教學(xué)效果最大化。另外，也有不少學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程的教學(xué)不應(yīng)該局限于理論的推導(dǎo)和證明，現(xiàn)在的人才培養(yǎng)目標(biāo)正在從“知識獲得”逐漸向“能力培養(yǎng)”轉(zhuǎn)變。尤其是對于應(yīng)用型本科高校來說，要更多的讓數(shù)學(xué)課程和實際應(yīng)用和生產(chǎn)實踐緊密結(jié)合起來，讓學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)知識，還要學(xué)會如何應(yīng)用數(shù)學(xué)，增強數(shù)學(xué)教學(xué)的實用性，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，才有利于課堂教學(xué)。

四、與專業(yè)相結(jié)合的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)探討與實踐

作為一名獨立學(xué)院的教師，筆者長期從事大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)。獨立學(xué)院的人才培養(yǎng)目標(biāo)是以應(yīng)用型人才為主，受限于生源質(zhì)量和較大的生師比，在實際教學(xué)中無法開展探究式學(xué)習(xí)模式，大部分仍然以傳統(tǒng)的教學(xué)形式為主，再引入計算機輔助教學(xué)，能夠用可視化的方式來吸引學(xué)生并加深認(rèn)識。但是，教師在教學(xué)中往往忽視了學(xué)生所在專業(yè)的特點，僅僅把數(shù)學(xué)知識的講解作為教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中所使用的例題也幾乎是采用教材上提供的示例，對不同的專業(yè)都是千篇一律，且過于脫離實際和過時。任課教師如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)來選擇相關(guān)的實際問題作為理論知識的應(yīng)用，并將數(shù)學(xué)建模的思想融入課堂教學(xué)中是值得探討的一個問題。下面我們將以高等數(shù)學(xué)課程為例，介紹如何在教學(xué)中針對學(xué)生所在專業(yè)來設(shè)計應(yīng)用例題，使學(xué)生體會到大學(xué)數(shù)學(xué)不僅是理論知識的學(xué)習(xí)，更是解決專業(yè)問題的重要工具，增強數(shù)學(xué)教學(xué)的實用性，并為他們未來專業(yè)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程采用最廣泛教材是同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《高等數(shù)學(xué)》(上下冊)，筆者所在學(xué)校的金融數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程也使用該套教材。我們發(fā)現(xiàn)雖然該教材已經(jīng)更新到第七版，但是所采用的一些實際應(yīng)用案例與之前的版本相比仍然沒有太大變化。在教學(xué)中，該教材的有些內(nèi)容的應(yīng)用案例并不能很好的展示所學(xué)知識在解決實際問題的體現(xiàn)，將實際問題過于簡單化。同時，針對現(xiàn)在一些新興的交叉學(xué)科，像金融數(shù)學(xué)專業(yè)等，缺乏典型的實際案例作為應(yīng)用支撐。以一元函數(shù)的極值與最大值和最小這一節(jié)為例［5］，這部分內(nèi)容是很多專業(yè)都會用到的知識。工程技術(shù)、經(jīng)濟管理和科學(xué)實驗中常常會遇到可以轉(zhuǎn)化為求某一函數(shù)的最大值或最小值問題。這一節(jié)應(yīng)該是前面導(dǎo)數(shù)知識重要性的實際體現(xiàn)，但是我們看到本節(jié)教材中的七個例題中，三個是直接給出了一個函數(shù)求最值，兩個與物理相關(guān)(分別是光線的折射和圓木的抗彎截面模量)，還有兩個跟運費和生產(chǎn)利潤有關(guān)，都十分簡單，學(xué)生在高中就見多了此類應(yīng)用題，在課堂中往往無法產(chǎn)生新鮮感，并且無法跟所學(xué)專業(yè)聯(lián)系起來。因此，為了提升教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的解決專業(yè)問題的能力，我們使用了下面這個新的案例來替換原有的純數(shù)學(xué)例題。案例(最小風(fēng)險投資組合［6］)投資組合理論中，為了分散投資風(fēng)險通常選擇多只股票構(gòu)成投資組合，假設(shè)選擇兩只股票A和B，它們的收益率分別為RA，RB，風(fēng)險分別為σA，σB，收益率的相關(guān)系數(shù)為ρAB≠1，投資在兩只股票上的資金比例分別為wA，wB，那么由這兩只股票所構(gòu)成的投資組合的收益率為:Rp=wARA+wBRB組合風(fēng)險為:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B其中wA+wB=1。不同的投資比例wA，wB將構(gòu)成不同收益和風(fēng)險的投資組合，求出最小風(fēng)險投資組合的投資比例。本題是函數(shù)的最值問題在金融數(shù)學(xué)專業(yè)課程證券投資學(xué)的一個重要應(yīng)用，但是所用的知識恰好是目前要求掌握的基礎(chǔ)知識，將wB=1－wA代入σp的表達式即可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，于是有:σp=w2Aσ2A+1－wA()2σ2B+2wA1－wA()ρABσAσ槡BdσpdwA=wAσ2A－1－wA()σ2B+1－2wA()ρABσAσBw2Aσ2A+1－wA()2σ2B+2wA1－wA()ρABσAσ槡B令dσpdwA=0，可以得到唯一的駐點:w*A=σ2B－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－通過二階導(dǎo)數(shù)容易驗證σp在w*A處取得極小值，因此在此唯一駐點處取得最小值，且w*B=σ2A－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－。因此兩只股票可以構(gòu)成的最小風(fēng)險組合投資比例即為(w*A，w*B)。在實際教學(xué)中，可以進一步帶入具體數(shù)據(jù)進行計算最小風(fēng)險投資組合的風(fēng)險大小和組合收益。通過與采用傳統(tǒng)純數(shù)學(xué)例題教學(xué)對比，我們發(fā)現(xiàn)改用上述案例后，學(xué)生的注意力更為集中，思考更主動積極，因為該案例和他們所學(xué)專業(yè)密切相關(guān)。通過這個小的切入點，學(xué)生能夠體會到當(dāng)前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在之后專業(yè)課程中的應(yīng)用，教學(xué)的效果更好。同時，該實例還在高等數(shù)學(xué)(下)課程中仍然可以繼續(xù)使用，在多元函數(shù)的極值和最大最小值的教學(xué)中，拉格朗日乘子法是求帶等式約束的條件極值的重要方法，但是本節(jié)教材上的例題仍然是傳統(tǒng)的幾何極值和最大利潤問題，在教學(xué)中，學(xué)生對此類問題早就司空見慣，缺乏興趣。所以，我們可以再次使用上述案例，采用新的知識來解決它:把組合風(fēng)險σp看做是wA，wB的一個二元函數(shù)，那么此時該案例可以轉(zhuǎn)換為求組合風(fēng)險:σp=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B在等式約束wA+wB－1=0下的最值問題。設(shè)拉格朗日函數(shù):LwA，wB()=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ(wA+wB－1)令偏導(dǎo)數(shù):LwA=wAσ2A+wBρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0LwB=wBσ2B+wAρABσAσBw2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBρABσAσ槡B+λ=0Lλ=wA+wB－1=0可以解得唯一可能的極值點為:w*A=σ2B－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－，w*B=σ2A－ρABσAσBσ2A+σ2B－2ρABσAσB－該點即為最小值點，和前面采用一元函數(shù)求出的結(jié)果完全相同。該實例學(xué)生之前已經(jīng)熟悉，現(xiàn)在引入可以迅速理解并可以同時回顧之前學(xué)習(xí)的知識，起到承上啟下的作用。通過多元函數(shù)的求極值的方法再一次解決了它，掌握了針對同一個問題采用不同知識進行處理的思路，學(xué)會多角度思考問題的方式，進一步增強他們應(yīng)用知識的能力。

五、結(jié)語

大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程是不同專業(yè)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，其教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)成果對學(xué)生的后續(xù)成長有著重要的作用，因此，如何不斷改革高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程的教學(xué)方式和教學(xué)手段是每位任課教師都在積極思考和探索的課題。本文以獨立學(xué)院中高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中例題的選擇為例，探討了如何根據(jù)學(xué)生所學(xué)專業(yè)來設(shè)計對應(yīng)的應(yīng)用案例。這些例題與學(xué)生的專業(yè)課程密切相關(guān)，從而能更好地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和主動性，提高課堂注意力，提升教學(xué)效果，并能更好地讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識對其專業(yè)學(xué)習(xí)的重要性，也增強了他們應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

作者:馮霜 溫永川 李金權(quán) 單位:北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院